数学建模高考志愿选择策略

数学建模高考志愿选择策略

高考志愿选择策略 目录 一、 摘要……………………………………………………………………………………2‎ 二、 问题重述………………………………………………………………………………3‎ 三、 模型假设………………………………………………………………………………3‎ 四、 符号说明………………………………………………………………………………4‎ 五、 模型建立与求解………………………………………………………………………5-9‎ 六、 模型推广………………………………………………………………………………10‎ 七、 模型评价………………………………………………………………………………10‎ 八、 参考文献………………………………………………………………………………11‎ 摘要 本文主要解决的是在综合考虑各种因素下如何进行高考志愿选择的问题。‎ 高考志愿选择的优劣有时对考生今后的发展起着至关重要的影响。本文主要通过利用层次分析法解决考生高考志愿选择问题。‎ 首先我们对问题进行合理的假设，做出影响高考志愿诸因素的层次结构图，然后做出各层的判断矩阵，对矩阵进行一致性检验，算出权向量，最后得到决策层对目标层的权重，从而解决了高考志愿选择的问题。‎ ‎ 关键词 高考志愿 层次分析法 判断矩阵 一致性检验 权重 一、问题重述 一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，如果抉择不当很可能就会错过自己心仪的高校。在考生决策的过程需要考虑很多因素，如下表，假设每个考生可填写四个志愿。现有北京甲、上海乙、成都丙、重庆丁四所大学。考生通过网上信息初步考虑因素重要性主观数据如下表，试建立一个数学模型，经过建模计算，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。‎ ‎ 表（1）‎ 相关权数 北京甲 上海乙 成都丙 重庆丁 校誉 名校自豪感 ‎0.22‎ ‎0.75‎ ‎0.7‎ ‎0.65‎ ‎0.6‎ 录取风险 ‎0.198‎ ‎0.7‎ ‎0.6‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ 年奖学金 ‎0.024‎ ‎0.6‎ ‎0.8‎ ‎0.3‎ ‎0.7‎ 就业前景 ‎0.133‎ ‎0.8‎ ‎0.7‎ ‎0.85‎ ‎0.5‎ 生活环境 离家近 ‎0.061‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎1‎ ‎0.8‎ 生活费用 ‎0.064‎ ‎0.7‎ ‎0.3‎ ‎0.9‎ ‎0.8‎ 气候环境 ‎0.032‎ ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎0.8‎ ‎0.6‎ 学习环境 专业兴趣 ‎0.132‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.6‎ ‎0.8‎ 师资水平 ‎0.034‎ ‎0.7‎ ‎0.9‎ ‎0.7‎ ‎0.65‎ 可持续发展 硕士点 ‎0.064‎ ‎0.9‎ ‎0.8‎ ‎0.75‎ ‎0.8‎ 博士点 ‎0.03‎ ‎0.75‎ ‎0.7‎ ‎0.6‎ ‎0.5‎ 二、模型的假设 ‎1、考生除考虑表中的因素外，其他因素忽略不计。‎ ‎2、考生通过网络获取各高校的信息是全面和权威的。‎ ‎3、考生根据各高校的信息做出的主观数据可以真实的反映考生的意愿。‎ 三、符号说明 ‎ 学校选择 ‎ 校誉 ‎ 生活环境 ‎ 学习环境 ‎ 可持续发展 ‎ 名校自豪感 ‎ 录取风险 ‎ 年奖学金 ‎ 就业前景 ‎ 离家近 ‎ 生活费用 ‎ 气候环境 ‎ 专业兴趣 ‎ 师资水平 ‎ 硕士点 ‎ 博士点 ‎ 北京甲 ‎ 上海乙 ‎ 成都丙 ‎ 重庆丁 ‎ 一致性指标 ‎ 一致性比率 ‎ 随机一致性指标 ‎ 最大特征值 四、模型建立与求解 ‎（一）、构造考生高考志愿决策诸多因素的递阶层次结构 生活费用 学校选择 校誉 生活环境 学习环境 可持续发展 名校自豪感 录取风险 年奖学金 就业前景 离家近 气候环境 专业兴趣 师资水平 硕士点 博士点 北京甲 上海乙 成都丙 重庆丁 ‎（二）、判断矩阵的尺度 重要性标度 含义 ‎1‎ 两因素相比，同等重要 ‎3‎ 两因素相比，前者稍微重要 ‎5‎ 两因素相比，前者较强重要 ‎7‎ 两因素相比，前者强烈重要 ‎9‎ 两因素相比，前者极端重要 ‎2，4，6，8‎ 两因素相邻判断的中间值 倒数 两因素前后者重要性之比为a，‎ ‎1/a就是后者对前者的重要性 ‎(三)、构造两两因素成对判断矩阵 ‎ 由于矩阵是互反的故只列出上三角同时将其权向量附在其后wk（k=1-17）‎ 权向量的计算见（四）‎ A B1‎ B2‎ B3‎ B4‎ W1‎ B1‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎0.575‎ B2‎ ‎　‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎0.157‎ B3‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎0.166‎ B4‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎1‎ ‎0.094‎ B1‎ C11‎ C12‎ C13‎ C14‎ w2‎ C11‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎0.4839‎ C12‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎0.2928‎ C13‎ ‎1‎ ‎1/5‎ ‎0.0407‎ C14‎ ‎1‎ ‎0.1826‎ ‎ ‎ B2‎ C21‎ C22‎ C23‎ w5‎ C21‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎0.4545‎ C22‎ ‎　‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎0.4545‎ C23‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎1‎ ‎0.0910‎ B3‎ C31‎ C32‎ W3‎ C31‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎0.875‎ C32‎ ‎1‎ ‎0.125‎ B4‎ C41‎ C42‎ W4‎ C41‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎0.833‎ C42‎ ‎　‎ ‎1‎ ‎0.167‎ C11‎ D1‎ D2‎ D3‎ D4‎ W6‎ D1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎0.48‎ D2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.24‎ D3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0.16‎ D4‎ ‎1‎ ‎0.12‎ C12‎ D1‎ D2‎ D3‎ D4‎ W7‎ D1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎0.3947‎ D2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.3947‎ D3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0.1316‎ D4‎ ‎1‎ ‎0.790‎ C13‎ D1‎ D2‎ D3‎ D4‎ W8‎ D1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎0.3000‎ D2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎0.3000‎ D3‎ ‎1‎ ‎1/3‎ ‎0.3000‎ D4‎ ‎1‎ ‎0.1000‎ C14‎ D1‎ D2‎ D3‎ D4‎ W9‎ D1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎0.3529‎ D2‎ ‎1‎ ‎1/2‎ ‎2‎ ‎0.1765‎ D3‎ ‎1‎ ‎1/3‎ ‎0.3529‎ D4‎ ‎1‎ ‎0.1177‎ C21‎ D1‎ D2‎ D3‎ D4‎ W10‎ D1‎ ‎1‎ ‎1/2‎ ‎1/7‎ ‎1/5‎ ‎0.0667‎ D2‎ ‎1‎ ‎1/3‎ ‎1/2‎ ‎0.1334‎ D3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.4669‎ D4‎ ‎1‎ ‎0.3335‎ C22‎ D1‎ D2‎ D3‎ D4‎ W11‎ D1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1/2‎ ‎1‎ ‎0.2308‎ D2‎ ‎1‎ ‎1/5‎ ‎1/3‎ ‎0.1154‎ D3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.4616‎ D4‎ ‎1‎ ‎0.2308‎ C23‎ D1‎ D2‎ D3‎ D4‎ W13‎ D1‎ ‎1‎ ‎1/2‎ ‎1/3‎ ‎1/2‎ ‎0.1250‎ D2‎ ‎1‎ ‎1/2‎ ‎1‎ ‎0.2500‎ D3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.3750‎ D4‎ ‎1‎ ‎0.2500‎ C31‎ D1‎ D2‎ D3‎ D4‎ W12‎ D1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1/2‎ ‎1/3‎ ‎0.1429‎ D2‎ ‎1‎ ‎1/3‎ ‎1/2‎ ‎0.1429‎ D3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.2858‎ D4‎ ‎1‎ ‎0.4287‎ C32‎ D1‎ D2‎ D3‎ D4‎ W15‎ D1‎ ‎1‎ ‎1/2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0.20‎ D2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.40‎ D3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0.20‎ D4‎ ‎1‎ ‎0.20‎ C41‎ D1‎ D2‎ D3‎ D4‎ W16‎ D1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.3529‎ D2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0.3529‎ D3‎ ‎1‎ ‎1/2‎ ‎0.1765‎ D4‎ ‎1‎ ‎0.1176‎ C42‎ D1‎ D2‎ D3‎ D4‎ W17‎ D1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎0.48‎ D2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.24‎ D3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.16‎ D4‎ ‎1‎ ‎0.12‎ ‎（四）、权向量求法和一致性检验 B1‎ C11‎ C12‎ C13‎ C14‎ C11‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎9‎ ‎5‎ C12‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎1‎ C13‎ ‎1/9‎ ‎1/7‎ ‎1‎ ‎1/5‎ C14‎ ‎1/5‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎1‎ 判断矩阵较多，这里试举一例 上面的判断矩阵利用matlab求出最大特征值和特征向量 ‎>> A=[1 1 9 5;1 1 7 1;1/9 1/7 1 1/5;1/5 1 5 1];‎ ‎>> [a,b]=eig(A);‎ maxeignvalue=max(max(b))‎ index=find(b==max(max(b)));‎ eigenvector=a(:,index)‎ maxeignvalue = %求最大特征根 ‎4.2481‎ eigenvector = %求特征向量 ‎ 0.8123‎ ‎ 0.4916‎ ‎ 0.0683‎ ‎0.3065‎ A=[0.8123;0.4916;0.0683;0.3065]; %定义特征向量 a= A./repmat((sum(A)),size(A,1),1) %对特征向量归一化得到权向量 a =‎ ‎ 0.4839‎ ‎ 0.2928‎ ‎ 0.0407‎ ‎0.1826‎ 所以一致性指标 ‎= ==‎ 查表得 易得 所以构造的判断矩阵符合一致性 ‎（五）、层次总排序 总排序是指每个判断矩阵各因素针对目标层的相对权重。这一权重的计算采用从上而下的方法。‎ 很显然，B对A的权重就是总排序，设为P1。则C层的11个元素相对B层的单排序分别就是（二）中的权向量W2-W5，记W1=（W1,W2,W3,W4）,所以C层的总排序P2= W1 *P1 。同样的计算方法，求出D层对A的总排序P3。‎ B层对A层总排序P1‎ B1‎ B2‎ B3‎ B4‎ ‎0.575‎ ‎0.16‎ ‎0.166‎ ‎0.094‎ 由B层计算得C层对A层排序P2‎ C11‎ ‎ C12‎ ‎ C13‎ ‎ C14‎ C21‎ C22‎ C23‎ C31‎ C32‎ C41‎ C42‎ ‎0.2782‎ ‎0.1684‎ ‎0.0234‎ ‎0.105‎ ‎0.0727‎ ‎0.0727‎ ‎0.0146‎ ‎0.1453‎ ‎0.0208‎ ‎0.079‎ ‎0.015‎ 由C层计算得D层A层排序P3‎ D1‎ D2‎ D3‎ D4‎ ‎0.3275‎ ‎0.2411‎ ‎0.2458‎ ‎0.1856‎ 所以根据考生考虑的因素，四所高校的排序为北京甲、成都丙、上海乙、重庆丁 综上所述所以考生应该选择北京甲 五、模型的推广 本文采用的层次分析法具有的特点是在对复杂的高考志愿决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。‎ 所以此模型应用非常广泛，尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。因此根据具体问题利用模型中的层次分析法，可以很好的解决。具体的应用有收入分配、电力水力的分流管理、职业规划、企业规划等等。‎ 六、模型的评价 本模型具有以下优点：‎ ‎ （1）、假设的合理性，使模型得到简化。‎ ‎ （2）、模型具有普遍性和一般性，扩大了模型应用范围。‎ ‎ （3）、处理判断矩阵时采用上三角阵，简化数据整理的繁琐。‎ ‎ （4）、在计算权向量使用matlab编程，简化了计算。‎ ‎（5）、处理总排序时层层考虑，使模型的求解精确而有条理。‎ 本模型存在的不足：‎ ‎ （1）、在构造判断矩阵时，可能会因为尺度选取导致一定的误差。‎ ‎（2）、模型需要构造大量的判断矩阵，使模型的计算相对繁琐。‎ 七、参考文献 ‎[1] 姜启源等，数学模型（第三版），北京；高等教育出版社，2003.‎ ‎[2] 宋翔，函数与公式词典，北京；科学出版社，2004‎ ‎ [3] 李海涛等，MATLAB 7.0 基础及应用技巧，北京；国防工业出版社，2002.3‎ ‎ [4] 赵静等，数学建模与数学实验，北京；高等教育出版社，2002.‎ ‎ [5] 王沫然，MATLAB 5.X与科学计算，北京；清华大学出版社，2000.5‎ ‎ [6] 幺焕民等，数学建模，哈尔滨；哈尔滨工业大学出版社，2003.4‎