2011年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析

2011年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析

‎2011年天津市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）‎ ‎1．（5分）（2011•天津）i是虚数单位，复数=（　　）‎ A．2﹣i B．2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 ‎【专题】数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．‎ ‎【解答】解：复数=‎ 故选A ‎【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意分母实数化，考查计算能力，常考题型．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2011•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最大值为（　　）‎ A．﹣4 B．0 C． D．4‎ ‎【考点】简单线性规划．菁优网版权所有 ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过（2，2）时，z最大．‎ ‎【解答】解：画出不等式表示的平面区域 将目标函数变形为y=3x﹣z，作出目标函数对应的直线，当直线过（2，2）时，直线的纵截距最小，z最大 最大值为6﹣2=4‎ 故选D ‎【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2011•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣4，则输出y的值为（　　）‎ A．0.5 B．1 C．2 D．4‎ ‎【考点】程序框图．菁优网版权所有 ‎【专题】算法和程序框图．‎ ‎【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当x＜3时跳出循环，输出结果．‎ ‎【解答】解：当输入x=﹣4时，‎ ‎|x|＞3，执行循环，x=|﹣4﹣3|=7‎ ‎|x|=7＞3，执行循环，x=|7﹣3|=4，‎ ‎|x|=4＞3，执行循环，x=|4﹣3|=1，‎ 退出循环，‎ 输出的结果为y=21=2．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查循环结构的程序框图，搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2011•天津）设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有 ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】化简集合A，C，求出A∪B，判断出A∪B与C的关系是相等的即充要条件．‎ ‎【解答】解：A={x∈R|x﹣2＞0}={x|x＞2}‎ A∪B={x|x＞2或x＜0}‎ C={x∈R|x（x﹣2）＞0}={x|x＞2或x＜0}‎ ‎∴A∪B=C ‎∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件 故选C ‎【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，先化简各个命题．考查充要条件的定义．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2011•天津）已知a=log23.6，b=log43.2，c=log43.6则（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b ‎【考点】对数值大小的比较．菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】利用换底公式可得a=log23.6=log43.62，然后根据对数函数y=log4x在（0，+∞）的单调性可进行比较即可．‎ ‎【解答】解：∵a=log23.6=log43.62‎ ‎∵y=log4x在（0，+∞）单调递增，‎ 又∵3.62＞3.6＞3.2∴log43.62＞log43.6＞log43.2‎ 即a＞c＞b 故选：B ‎【点评】本题考查利用对数函数的单调性比较对数值大小，考查了换底公式的应用，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2011•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．4‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有 ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），‎ 即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，‎ 则抛物线的焦点为（2，0）；‎ 则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；‎ 点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，‎ 由双曲线的性质，可得b=1；‎ 则c=，则焦距为2c=2；‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2011•天津）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（　　）‎ A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数 B．f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数 C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数 D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数 ‎【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．菁优网版权所有 ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】由函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=，且当x=时，f（x）取得最大值，代入可得，2sin（φ）=2，结合已知﹣π＜φ≤π可得φ= 可得，分别求出函数的单调增区间和减区间，结合选项验证即可 ‎【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=，‎ ‎∴f（x）=2sin（φ），‎ ‎∵当x=时，f（x）取得最大值，∴2sin（φ）=2，φ=+2kπ，‎ ‎∵﹣π＜φ≤π，∴φ=，∴，‎ ‎ 由 可得函数的单调增区间：，‎ 由可得函数的单调减区间：，‎ 结合选项可知A正确，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用函数的部分图象求解函数的解析式，还考查了函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的单调区间的求解，属于对基础知识的考查．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2011•天津）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，1]∪（2，+∞） B．（﹣2，﹣1]∪（1，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2] D．[﹣2，﹣1]‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用．菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），的解析式，并画出f（x）的图象，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1）‎ ‎=，‎ 由图可知，当c∈（﹣2，﹣1]∪（1，2]‎ 函数f（x） 与y=c的图象有两个公共点，‎ ‎∴c的取值范围是 （﹣2，﹣1]∪（1，2]，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎9．（5分）（2011•天津）已知集合A={x∈R||x﹣1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于　3　．‎ ‎【考点】交集及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】集合．‎ ‎【分析】先根据绝对值不等式求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩Z，最后求出集合A∩Z中所有元素的和即可．‎ ‎【解答】解：A={x∈R||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，‎ 而Z为整数集，集合A∩Z={0，1，2}，‎ 故集合A∩Z中所有元素的和等于0+1+2=3，‎ 故答案为3．‎ ‎【点评】本题属于以绝对值不等式为依托，求集合的交集的基础题，同时考查了集合中元素的和．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2011•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为　4　m3．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 ‎【专题】立体几何．‎ ‎【分析】由题意可知，一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，根据所给的长度，求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由三视图可知，‎ 这是一个简单的组合体，‎ 上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，体积是1×1×2‎ 下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，体积是1×1×2‎ ‎∴几何体的体积是1×1×2+2×1×1=4m3，‎ 故答案为：4‎ ‎【点评】本题考查由三视图还原直观图，根据图形中所给的数据，求出要求的体积，本题是一个考查简单几何体体积的简单题目．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2011•天津）已知{an}为等差数列，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10值为　110　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】本题可根据等差数列的前n项和的一上性质{S（k+1）m﹣Skm}是以m2d为公差的数列，本题中令m=5，每五项的和也组成一个等差数列，再由数列中项知识求出前五项的和，由此建立方程求出公差，进而可求出S10的值 ‎【解答】解：由题意a3=16，故S5=5×a3=80，‎ 由数列的性质S10﹣S5=80+25d，S15﹣S10=80+50d，S20﹣S15=80+75d，‎ 故S20=20=320+150d，解之得d=﹣2‎ 又S10=S5+S10﹣S5=80+80+25d=160﹣50=110‎ 故答案为：110‎ ‎【点评】本题考点是等差数列的性质，考查等差数列前n项和的性质，以及数列的中项的运用，本题技巧性较强，属于等差数列的性质运用题，解答本题，要注意从题设条件中分析出应该用那个性质来进行转化．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2011•天津）已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为　18　．‎ ‎【考点】基本不等式；对数的运算性质．菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】先把已知条件转化为ab≥2，且a＞0，b＞0；再把所求用基本不等式转化到用ab表示即可．‎ ‎【解答】解：由log2a+log2b≥1得ab≥2，且a＞0，b＞0．‎ 又3a+9b=3a+32b≥2=2，‎ 因为a+2b≥2=2≥2=4，‎ 所以3a+9b≥2=18．‎ 即3a+9b的最小值为18．‎ 故答案为18．‎ ‎【点评】本题是对指数的运算性质，对数的运算性质以及基本不等式的综合考查．考查的都是基本知识点，只要课本知识掌握熟练，是道基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2011•天津）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且 DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为　　．‎ ‎【考点】圆的切线方程．菁优网版权所有 ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】设出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF求出k的值，利用切割定理求出CE．‎ ‎【解答】解：设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k2，即k=，‎ ‎∴AF=2，BF=1，BE=，AE=，‎ 由切割定理得CE2=BE•EA==，‎ ‎∴CE=．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，常考题型．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为　5　．‎ ‎【考点】向量的模．菁优网版权所有 ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．‎ ‎【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，‎ 则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）‎ 设P（0，b）（0≤b≤a）‎ 则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），‎ ‎∴=（5，3a﹣4b）‎ ‎∴=≥5．‎ 故答案为5．‎ ‎【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎15．（13分）（2011•天津）编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：‎ 运动员编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ ‎ 得分 ‎15‎ ‎35‎ ‎21‎ ‎28‎ ‎25‎ ‎36‎ ‎18‎ ‎34‎ 运动员编号 A9‎ A10‎ A11‎ A12‎ A13‎ A14‎ A15‎ A16‎ ‎ 得分 ‎17‎ ‎26‎ ‎25‎ ‎33‎ ‎22‎ ‎12‎ ‎31‎ ‎38‎ ‎（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；‎ 区间 ‎[10，20）‎ ‎[20，30）‎ ‎[30，40]‎ 人数 ‎（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，‎ ‎（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】（I）根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．‎ ‎（II）（i）根据（I）的结论，我们易列出在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果；‎ ‎（ii）列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率．‎ ‎【解答】解：（I）由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：‎ 得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人，‎ 故答案为4，6，6‎ ‎（II）（i）得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，‎ 从中随机抽取2人，计为（X，Y），则所有可能的抽取结果有：‎ ‎（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，A13），‎ ‎（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），（A5，A10），‎ ‎（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），（A10，A13），（A11，A13）共15种．‎ ‎（ii）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：‎ ‎（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A5，A10），（A10，A11）共5种 故这2人得分之和大于50分的概率P==‎ ‎【点评】本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件烽、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．‎ ‎　‎ ‎16．（13分）（2011•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）的值．‎ ‎【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．菁优网版权所有 ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】（I）利用三角形中的等边对等角得到三角形三边的关系；利用三角形的余弦定理求出角A的余弦．‎ ‎（II）利用三角函数的平方关系求出角A的正弦，利用二倍角公式求出角2A的正弦，余弦；利用两个角的和的余弦公式求出的值．‎ ‎【解答】解：（I）由B=C，可得 所以cosA==‎ ‎（II）因为 所以 ‎=‎ ‎【点评】本题考查三角形的余弦定理、考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2011•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；‎ ‎（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．‎ ‎【分析】（I）由O为AC中点，M为PD中点．结合平行四边形的对角线性质，考虑连接BD，MO，则有PB∥MO，从而可证 ‎（II）由∠ADC=45°，且AD=AC=1，易得AD⊥AC，PO⊥AD，根据线面垂直的判定定理可证 ‎（III）取DO中点N，由PO⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，从而可得∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△ANM中求解即可 ‎【解答】解：（I）证明：连接BD，MO 在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，‎ 所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO 因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM 所以PB∥平面ACM ‎（II）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC 又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC ‎（III）解：取DO中点N，连接MN，AN 因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD 所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．‎ 在Rt△DAO中，，所以，‎ ‎∴，‎ 在Rt△ANM中，==‎ 即直线AM与平面ABCD所成的正切值为 ‎【点评】本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力、推理论证能力．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2011•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点P（a，b）满足|PF2|=|F1F2|．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率e；‎ ‎（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆（x+1）2+=16相交于M，N两点，且|MN|=|AB|，求椭圆的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用|PF2|=|F1F2|，对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e；‎ ‎（Ⅱ）先把直线PF2与椭圆方程联立求出A，B两点的坐标以及对应的|AB|两点，进而求出|MN|，再利用弦心距，弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系，即可求椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）．‎ 由题得|PF2|=|F1F2|，即=2c，整理得2+﹣1=0，得=﹣1（舍），或=，‎ 所以e=．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线方程PF2为y=（x﹣c）．‎ A，B的坐标满足方程组，‎ 消y并整理得5x2﹣8xc=0，‎ 解得x=0，x=，得方程组的解为，，‎ 不妨设A（c，c），B（0，﹣c）．‎ 所以|AB|==c，于是|MN|=|AB|=2c．‎ 圆心（﹣1，）到直线PF2的距离d=，‎ 因为d2+=42，所以（2+c）2+c2=16，整理得c=﹣（舍）或c=2．‎ 所以椭圆方程为+=1．‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2011•天津）已知函数f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．‎ ‎（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【专题】导数的综合应用．‎ ‎【分析】（I）当t=1时，求出函数f（x），利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；‎ ‎（II）根据f'（0）=0，解得x=﹣t或x=，讨论t的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出单调区间即可；‎ ‎（III）根据函数的单调性分两种情况讨论，当≥1与当0＜＜1时，研究函数的单调性，然后根据区间端点的符号进行判定对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点从而得到结论．‎ ‎【解答】解：（I）当t=1时，f（x）=4x3+3x2﹣6x，f（0）=0‎ f'（x）=12x2+6x﹣6，f'（0）=﹣6，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣6x．‎ ‎（II）解：f'（x）=12x2+6tx﹣6t2，f'（0）=0，解得x=﹣t或x=‎ ‎∵t≠0，以下分两种情况讨论：‎ ‎（1）若t＜0，则＜﹣t，∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，），（﹣t，+∞）；f（x）的单调减区间是（，﹣t）‎ ‎（2）若t＞0，则＞﹣t，∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣t），（，+∞）；f（x）的单调减区间是（﹣t，）‎ ‎（III）证明：由（II）可知，当t＞0时，f（x）在（0，）内单调递减，在（，+∞）内单调递增，以下分两种情况讨论：‎ ‎（1）当≥1，即t≥2时，f（x）在（0，1）内单调递减．‎ f（0）=t﹣1＞0，f（1）=﹣6t2+4t+3≤﹣13＜0‎ 所以对于任意t∈[2，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．‎ ‎（2）当0＜＜1，即0＜t＜2时，f（x）在（0，）内单调递减，在（，1）内单调递增 若t∈（0，1]，f（）=+t﹣1≤＜0，‎ f（1）=﹣6t2+4t+3≥﹣2t+3＞0‎ 所以f（x）在（，1）内存在零点．‎ 若t∈（1，2），f（）=+t﹣1＜+1＜0，‎ f（0）=t﹣1＞0∴f（x）在（0，）内存在零点．‎ 所以，对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．‎ 综上，对于任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．‎ ‎【点评】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2011•天津）已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=（﹣2）n+1，bn=，n∈N*，且a1=2．‎ ‎（Ⅰ）求a2，a3的值 ‎（Ⅱ）设cn=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，证明{cn}是等比数列 ‎（Ⅲ）设Sn为{an}的前n项和，证明++…++≤n﹣（n∈N*）‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定．菁优网版权所有 ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）推出bn的表达式，分别当n=1时，求出a2=﹣；当n=2时，解出a3=8；‎ ‎（Ⅱ）设cn=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，利用等比数列的定义，证明{cn}是等比数列；‎ ‎（Ⅲ）求出S2n，a2n，S2n﹣1，a2n﹣1，求出+的表达式，然后求出++…++的表达式，利用放缩法证明结果．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由bn=，（n∈N*）可得bn=‎ 又bn+1an+bnan+1=（﹣2）n+1，‎ 当n=1时，a1+2a2=﹣1，可得由a1=2，a2=﹣；‎ 当n=2时，2a2+a3=5可得a3=8；‎ ‎（Ⅱ）证明：对任意n∈N*，a2n﹣1+2a2n=﹣22n﹣1+1…①‎ ‎2a2n+a2n+1=22n+1…②‎ ‎②﹣①，得a2n+1﹣a2n﹣1=3×22n﹣1，即：cn=3×22n﹣1，于是 所以{cn}是等比数列．‎ ‎（Ⅲ）证明：‎ a1=2，由（Ⅱ）知，当k∈N*且k≥2时，‎ a2k﹣1=a1+（a3﹣a1）+（a5﹣a3）+（a7﹣a5）+…+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）‎ ‎=2+3（2+23+25+…+22k﹣3）=2+3×=22k﹣1，‎ 故对任意的k∈N*，a2k﹣1=22k﹣1．‎ 由①得22k﹣1+2a2k=﹣22k﹣1+1，所以k∈N*，‎ 因此，‎ 于是，．‎ 故=‎ ‎=‎ 所以，对任意的n∈N*，++…++=（+）+…+（+）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=n﹣‎ ‎≤n﹣﹣=n﹣（n∈N*）‎ ‎【点评】本题考查等比数列的定义，等比数列求和等基础知识，考查计算能力、推理论证能力、综合发现问题解决问题的能力以及分类讨论思想．‎