高考数学专题七立体几何第练空间角与空间距离的求解练习创新

高考数学专题七立体几何第练空间角与空间距离的求解练习创新

‎【步步高】（浙江专用）2017年高考数学 专题七 立体几何 第55练 空间角与空间距离的求解练习 训练目标 ‎(1)会求线面角、二面角；(2)会解决简单的距离问题.‎ 训练题型 ‎(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离.‎ 解题策略 利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.‎ 一、选择题 ‎1.(2015·上海闵行区三模)如图，在底面是边长为a的正方形的四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且PA＝a，则直线PB与平面PCD所成的角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．(2015·邯郸上学期教学质量检测)在正四棱锥P－ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成的角为(　　)‎ A．90° B．60°‎ C．45° D．30°‎ ‎3.如图所示，在三棱锥S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，则点A到平面SBC的距离为(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎4．(2015·丽水二模)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为平面ABB1A1的中心，则MC1与平面BB1C1C所成角的正切值为________．‎ ‎5．如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝，则二面角S－BC－A的大小为________．‎ ‎6.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题：‎ ‎①异面直线C1P与CB1所成的角为定值；‎ ‎②二面角P－BC1－D的大小为定值；‎ ‎③三棱锥D－BPC1的体积为定值；‎ ‎④异面直线A1P与BC1间的距离为定值．‎ 其中真命题的个数为________．‎ 三、解答题 ‎7．(2015·浙江名校交流卷)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点O在AB上，且OB＝OC＝AB，PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝PO.‎ ‎(1)求证：PB∥平面COD；‎ ‎(2)求二面角O－CD－A的余弦值．‎ ‎8．(2015·宁波二模)如图，正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．‎ ‎(1)求证：EP⊥AC；‎ ‎(2)当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．‎ ‎9．(2015·安徽江南十校上学期期末大联考)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PB与底面ABCD所成的角为45°，E为PB的中点，过A，E，D三点的平面记为α，PC与α的交点为Q.‎ ‎(1)试确定Q的位置并证明；‎ ‎(2)求四棱锥P－ABCD被平面α所分成上下两部分的体积之比；‎ ‎(3)若PA＝2，截面AEQD的面积为3，求平面α与平面PCD所成的锐二面角的正切值．‎ 答案解析 ‎1．D　[设B到平面PCD的距离为h，直线PB与平面PCD所成的角为α，则由等体积法可得 ××a·a·h＝×a·a·a，‎ ‎∴h＝a.‎ 又∵PB＝a，∴sin α＝，‎ 又∵α∈(0，)，∴cos α＝.故选D.]‎ ‎2．C　[如图，连接AC，BD交于点O，连接OE，OP.‎ 因为E为PC中点，所以OE∥PA，‎ 所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．‎ 因为四棱锥P－ABCD为正四棱锥，‎ 所以PO⊥平面ABCD，‎ 所以AO为PA在平面ABCD内的射影，‎ 所以∠PAO即为PA与平面ABCD所成的角，‎ 即∠PAO＝60°.‎ 因为PA＝2，所以OA＝OB＝1，OE＝1.‎ 所以在直角三角形EOB中，∠OEB＝45°，‎ 即异面直线PA与BE所成的角为45°.故选C.]‎ ‎3．A　[作AD⊥CB交CB的延长线于点D，连接SD，如图所示．‎ ‎∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.又BC⊥AD，SA∩AD＝A，SA⊂平面SAD，AD⊂平面SAD，∴BC⊥平面SAD，又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面ASD，且平面SBC∩平面ASD＝SD.在平面ASD内，过点A作AH⊥SD于点H，则AH⊥平面SBC，AH的长即为点A到平面SBC的距离．在Rt△SAD中，SA＝3a，AD＝AB·sin 60°＝a.由＝，得AH＝＝＝，即点A到平面SBC的距离为.]‎ ‎4. 解析　‎ 如图，过点M作BB1的垂线，垂足为N，‎ 则MN⊥平面BB1C1C，‎ 连接NC1，‎ 则∠MC1N为MC1与平面BB1C1C所成的角．‎ 设正方体的棱长为2a，‎ 则MN＝a，NC1＝a，‎ 所以tan∠MC1N＝.‎ ‎5．60°‎ 解析　取BC的中点O，连接SO，AO，‎ 因为AB＝AC，O是BC的中点，‎ 所以AO⊥BC，同理可证SO⊥BC，‎ 所以∠SOA是二面角S－BC－A的平面角．‎ 在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1，‎ 所以AO＝1×sin 60°＝.‎ 同理可求SO＝.‎ 又SA＝，所以△SOA是等边三角形，‎ 所以∠SOA＝60°，‎ 所以二面角S－BC－A的大小为60°.‎ ‎6．4‎ 解析　对于①，因为在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，‎ 点P在线段AD1上运动，‎ 在正方体中有B1C⊥平面ABC1D1，‎ 而C1P⊂平面ABC1D1，‎ 所以B1C⊥C1P，‎ 所以这两个异面直线所成的角为定值90°，故①正确；‎ 对于②，因为二面角P－BC1－D的实质为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，‎ 而这两个平面为固定不变的平面，‎ 所以夹角也为定值，故②正确；‎ 对于③，三棱锥D－BPC1的体积还等于三棱锥P－DBC1的体积，‎ 而△DBC1面积一定，‎ 又因为P∈AD1，‎ 而AD1∥平面BDC1，‎ 所以点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，‎ 所以三棱锥的体积为定值，故③正确；‎ 对于④，因为直线A1P和BC1分别位于平面ADD1A1，‎ 平面BCC1B1中，且这两个平面平行，‎ 由异面直线间的距离定义及求法，‎ 知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离，‎ 所以这两个异面直线间的距离为定值，故④正确．‎ ‎7．(1)证明　因为PO⊥平面ABC，AD∥PO，AB⊂平面ABC，‎ 所以PO⊥AB，DA⊥AB.‎ 又DA＝AO＝PO，所以∠AOD＝45°.‎ 因为OB＝AB，‎ 所以OA＝AB，所以OA＝OB，‎ 又AO＝PO，所以OB＝OP，‎ 所以∠OBP＝45°，即OD∥PB.‎ 又PB⊄平面COD，OD⊂平面COD，‎ 所以PB∥平面COD.‎ ‎(2)解　如图，过A作AM⊥DO，垂足为M，‎ 过M作MN⊥CD于N，‎ 连接AN，‎ 则∠ANM为二面角O－CD－A的平面角．‎ 设AD＝a，‎ 在等腰直角三角形AOD中，‎ 得AM＝a，在直角三角形COD中，得MN＝a，‎ 在直角三角形AMN中，得AN＝a，‎ 所以cos∠ANM＝.‎ ‎8．(1)证明　设AC交BD于O，‎ ‎∵S－ABCD为正四棱锥，‎ ‎∴SO⊥底面ABCD，BD⊥AC，‎ 又AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴SO⊥AC，∵BD∩SO＝O，‎ ‎∴AC⊥平面SBD，‎ ‎∵E，F，G分别为BC，SC，CD的中点，‎ ‎∴FG∥SD，BD∥EG.‎ 又FG∩EG＝G，SD∩BD＝D，‎ ‎∴平面EFG∥平面BSD，‎ ‎∴AC⊥平面GEF.‎ 又∵PE⊂平面GEF，∴PE⊥AC.‎ ‎(2)解　过B作BH⊥GE于H，连接PH，‎ ‎∵BD⊥AC，BD∥GH，‎ ‎∴BH∥AC，‎ 由(1)知AC⊥平面GEF，‎ 则BH⊥平面GEF.‎ ‎∴∠BPH就是直线BP与平面EFG所成的角．‎ 在Rt△BHP中，BH＝，PH＝，PB＝，‎ 故cos∠BPH＝＝.‎ ‎9．解　(1)Q为PC的中点．证明如下：‎ 因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ 故AD∥平面PBC.‎ 又由于平面α∩平面PBC＝EQ，故AD∥EQ，‎ 所以BC∥EQ.‎ 又E为PB的中点，故Q为PC的中点．‎ ‎(2)如图，连接EQ，DQ，‎ 因为PA⊥底面ABCD，‎ 所以PB与底面ABCD所成的角为∠PBA＝45°.‎ 故PA＝AB.‎ 又因为E为PB的中点，‎ 所以PE⊥AE.‎ 因为四边形ABCD是矩形，‎ 所以AD⊥AB.‎ 又PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，所以AD⊥PA.‎ 又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，‎ 又PE⊂平面PAB，所以AD⊥PE.‎ 又AE∩AD＝A，AE⊂平面α，AD⊂平面α，‎ 故PE⊥平面α.‎ 设PA＝h，AD＝2a，‎ 设四棱锥P－ABCD被平面α所分成的上下两部分的体积分别为V1和V2，则EQ＝a.‎ 又因为AD⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AD⊥AE.‎ V上＝PE·S梯形AEQD ‎＝··(a＋2a)·＝，‎ V下＝PA·S底面ABCD－V上 ‎＝·h·2a·h－＝，‎ 所以＝＝.‎ ‎(3)过E作EF⊥DQ，连接PF，‎ 因为PE⊥平面α，所以PE⊥DF.‎ 又由于EF∩PE＝E，所以DF⊥平面PEF，则DF⊥PF.‎ 所以∠PFE是平面α和平面PCD所成的二面角．‎ 因为PA＝2，即h＝2，截面AEQD的面积为3，‎ 所以S梯形AEQD＝(a＋2a)h＝3，‎ 解得a＝.‎ 又因为AD∥EQ，‎ 且EQ＝AD，‎ 故S△EQD＝S梯形AEQD＝1，‎ QD＝＝2.‎ 又S△EQD＝EF·DQ＝1，解得EF＝1.‎ 又PE＝PB＝.‎ 在直角三角形PEF中，tan∠PFE＝＝，‎ 即平面α与平面PCD所成的锐二面角的正切值为.‎