福建省宁德市高考数学模拟试卷理科月份解析

福建省宁德市高考数学模拟试卷理科月份解析

‎2016年福建省宁德市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数z=1+i，则的值等于（　　）‎ A．i B．﹣i C．1 D．﹣1‎ ‎2．设全集U={0，1，2}，A={x|x2+ax+b=0}，若∁UA={0，1}，则实数a的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4‎ ‎3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的n=3，则输出的结果为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎4．Sn是等比数列{an}的前n项和，若S2，S4，S3成等差数列，则数列{an}的公比q等于（　　）‎ A． B．2 C．﹣2 D．‎ ‎5．已知双曲线的离心率为，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则该双曲线的方程可以是（　　）‎ A．x2﹣=1 B．x2﹣=1 C． =1 D． =1‎ ‎6．设x，y满足条件且z=x+y+a（a为常数）的最小值为4，则实数a的值为（　　）‎ A． B．2 C．4 D．5‎ ‎7．现有A，B两个箱子，A箱装有红球和白球共6，B箱装有红球4个、白球1个、黄球1个．现甲从A箱中任取2个球，乙从B箱中任取1个球．若取出的3个球恰有两球颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜．为了保证公平性，A箱中的红球个数应为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎8．已知命题p：y=sin（x﹣）在（0，π）上是减函数；命题q：“a=”是“直线x=为曲线f（x）=sinx+acosx的一条对称轴”的充要条件．则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q ‎9．在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，0，0），（2，1，1），（0，1，1）．若画该四面体三视图时，正视图以zOy平面为投影面，则得到的侧视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，若以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，则p的值为（　　）‎ A．8 B．8 C．12 D．16‎ ‎11．已知四面体ABCD的一条棱长为a，其余各棱长均为2，且所有顶点都在表面积为20π的球面上，则a的值等于（　　）‎ A．3 B．2 C．3 D．3‎ ‎12．已知点A（1，1），点P在曲线f（x）=x3﹣3x2+3x（0≤x≤2）上，点Q在直线y=3x﹣14上，M为线段PQ的中点，则|AM|的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知△ABC为等边三角形，在方向上的投影为2， =3，则=______．‎ ‎14．（1+2x）（x+）5展开式中x的系数为______．‎ ‎15．已知函数f（x）=若函数g（x）=f（x）﹣x恰有两个零点，则实数a的取值范围是______．‎ ‎16．若数列{an}满足++…+=﹣，且对任意的n∈N*，存在m∈N*，使得不等式an≤am恒成立，则m的值是______．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．‎ ‎（Ⅰ）求∠ABC；‎ ‎（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．‎ ‎18．某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图：‎ ‎（Ⅰ）试估计该校学生在校月消费的平均数；‎ ‎（Ⅱ）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：‎ ‎（ⅰ）对于任意一个学生，校服务部可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎（ⅱ）若校服务部计划每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=3，AD=4，AC=2，∠ADC=60°，E为线段PC上一点，且=λ．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥AE；‎ ‎（Ⅱ）若平面PAB⊥平面PAD，直线AE与平面PBC所成的角的正弦值为，求λ的值．‎ ‎20．已知点F（1，0），点P在圆E：（x+1）2+y2=16上，线段PF的垂直平分线交PE于点M．记点M的轨迹为曲线Γ．过x轴上的定点Q（m，0）（m＞2）的直线l交曲线Γ于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）求曲线Γ的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点A关于x轴的对称点为A′，证明：直线A′B恒过一个定点S，且|OS|•|OQ|=4．‎ ‎21．已知函数f（x）=﹣+（a﹣1）x+lnx．‎ ‎（Ⅰ）若a＞﹣1，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若a＞1，求证：（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．‎ ‎　‎ 四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，已知⊙A和⊙B的公共弦CD与AB相交于点E，CB与⊙A相切，⊙B半径为2，AE=3．‎ ‎（Ⅰ）求弦CD的长；‎ ‎（Ⅱ）⊙B与线段AB相交于点F，延长CF与⊙A相交于点G，求CG的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点A，B为曲线C上的两点，且OA⊥OB，求|OA|•|OB|的最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣a|（a＞0）．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤x的解集；‎ ‎（Ⅱ）当x≤﹣时，不等式f（x）+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年福建省宁德市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数z=1+i，则的值等于（　　）‎ A．i B．﹣i C．1 D．﹣1‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】把z=1+i代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：∵数z=1+i，‎ ‎∴=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．设全集U={0，1，2}，A={x|x2+ax+b=0}，若∁UA={0，1}，则实数a的值为（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4‎ ‎【考点】补集及其运算．‎ ‎【分析】根据补集关系确定方程有两个相等的实根2，进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵∁UA={0，1}，‎ ‎∴A={2}，即方程x2+ax+b=0有两个相等的实根2，‎ 则﹣=2，即a=﹣4，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的n=3，则输出的结果为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算变量n的值，满足条件时退出循环，输出相应的i的值，模拟程序的运行过程，可得答案；‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 n=3，i=0‎ 不满足条件n是偶数，n=10，i=1‎ 不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=5，i=2‎ 不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是偶数，n=16，i=3‎ 不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=8，i=4‎ 不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=4，i=5‎ 不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=2，i=6‎ 不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=1，i=7‎ 满足条件n=1，退出循环，输出i的值为7．‎ 故选：B，‎ ‎　‎ ‎4．Sn是等比数列{an}的前n项和，若S2，S4，S3成等差数列，则数列{an}的公比q等于（　　）‎ A． B．2 C．﹣2 D．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵S2，S4，S3成等差数列，‎ ‎∴2S4=S3+S2，‎ ‎∴2a1（1+q+q2+q3）=a1（2+2q+q2），‎ 化为：1+2q=0，解得q=﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．已知双曲线的离心率为，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则该双曲线的方程可以是（　　）‎ A．x2﹣=1 B．x2﹣=1 C． =1 D． =1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据一个焦点到一条渐近线的距离为2，离心率的值，建立方程关系求出a，b的值即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y=，取bx﹣ay=0，‎ 所以焦点到渐近线的距离d==2，‎ ‎∵离心率e==，∴c=，‎ 则c2=a2+b2，‎ 即3a2=a2+4，‎ 即2a2=4，则a2=2，‎ 则该双曲线的方程可以是=1，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．设x，y满足条件且z=x+y+a（a为常数）的最小值为4，则实数a的值为（　　）‎ A． B．2 C．4 D．5‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 化目标函数z=x+y+a为y=﹣x+z﹣a，‎ 由图可知，当直线y=﹣x+z﹣a过点A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，‎ z有最小值为2+0+a=4，即a=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．现有A，B两个箱子，A箱装有红球和白球共6，B箱装有红球4个、白球1个、黄球1个．现甲从A箱中任取2个球，乙从B箱中任取1个球．若取出的3个球恰有两球颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜．为了保证公平性，A箱中的红球个数应为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】概率的意义．‎ ‎【分析】取出的3个球中有两个颜色相同包括：从A箱取出2个红球从B箱中取出的是白球或黄球；从A箱取出的是白球从B箱中取出红球或黄球；从A箱中取出一个红球一个白球从B箱中取出是黄球，这个事件的概率是．‎ ‎【解答】解：设A箱中有x个红球，则有（6﹣x）个白球，从6个球任取2个共有C62=15种，‎ 取出的3个球中有两个颜色相同包括：‎ 从A箱取出2个红球从B箱中取出的是白球或黄球，其概率为××2，‎ 从A箱取出的是白球从B箱中取出红球或黄球，其概率为×（+），‎ 从A箱中取出一个红球一个白球从B箱中取出是黄球，期概率为×（+），‎ 故××2+×（+）+×（+）=，‎ 解得x=5，‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎8．已知命题p：y=sin（x﹣）在（0，π）上是减函数；命题q：“a=”是“直线x=为曲线f（x）=sinx+acosx的一条对称轴”的充要条件．则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．‎ ‎【解答】解：∵0＜x＜π，∴﹣＜x﹣＜，‎ ‎∴y=sin（x﹣）在（0，π）上是增函数，‎ 命题p是假命题；‎ 若a=，则f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），‎ 对称轴x+=kπ+，∴x=kπ+，是充分条件，‎ 若直线x=为曲线f（x）=sinx+acosx的一条对称轴，‎ 则f（﹣x）=f（+x） 当x=即f（0）=f（）‎ ‎∴f（0）=a=f（）=+，解得a=，‎ 故命题q是真命题；‎ 则命题￢p∧q是真命题，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，0，0），（2，1，1），（0，1，1）．若画该四面体三视图时，正视图以zOy平面为投影面，则得到的侧视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】由题意，利用空间直角坐标系，借助于正方体在坐标系中画出几何体，再画出它的侧视图．‎ ‎【解答】解：由题意，画出直角坐标系，在坐标系中各点对应位置如图①所示；‎ 以平面zOy为投影面，得到的侧视图如图②所示：‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，若以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，则p的值为（　　）‎ A．8 B．8 C．12 D．16‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求得抛物线的焦点，设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，根据以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=2px的焦点F为（，0），‎ 设直线AB的方程为y﹣0=x﹣，‎ 即为y=x﹣，代入抛物线的方程，可得x2﹣3px+=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，x1x2=，‎ ‎∴y1+y2=2p 由抛物线的定义可得，|AB|=x1+x2+p=4p．‎ ‎∵以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，‎ ‎∴4p2=（8）2+p2，∴p=8‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知四面体ABCD的一条棱长为a，其余各棱长均为2，且所有顶点都在表面积为20π的球面上，则a的值等于（　　）‎ A．3 B．2 C．3 D．3‎ ‎【考点】球内接多面体．‎ ‎【分析】由题意画出几何体的图形，推出四面体的外接球的球心的位置，利用球的半径建立方程，即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：表面积为20π的球的半径为．‎ 画出几何体的图形，BC=a，BC的中点为O，连接AO，DO，则AO⊥BC，DO⊥BC，‎ ‎∴BC⊥平面AOD，‎ 取AD的中点E，则OE⊥AD，球的球心在AD的中点E与O的连线上，‎ 设球心为G，‎ ‎∵OA=OD=，AD=2，‎ ‎∴OE=‎ 设球的半径为R，GE=x，则R2=5=3+x2=+（﹣x）2，‎ ‎∴x=，a=3‎ 故选：C．．‎ ‎　‎ ‎12．已知点A（1，1），点P在曲线f（x）=x3﹣3x2+3x（0≤x≤2）上，点Q在直线y=3x﹣14上，M为线段PQ的中点，则|AM|的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出f（x）的导数，令导数为3，求得切线的方程，以及中点M所在直线的方程，运用点到直线的距离公式求出A到它们的距离，即可得到最小值．‎ ‎【解答】解：f（x）=x3﹣3x2+3x的导数为f′（x）=3x2﹣6x+3，‎ 令f′（x）=3，解得x=0或2，‎ 可得与直线y=3x﹣14平行，‎ 且与y=f（x）图象相切的直线为y=3x或y=3x﹣4，‎ 可得中点M所在直线的方程为y=3x﹣7或y=3x﹣9，‎ 由图象可得A到直线y=3x﹣7的距离为=，‎ A到直线y=3x﹣9的距离为=．‎ 即有|AM|的最小值为，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知△ABC为等边三角形，在方向上的投影为2， =3，则=　4　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】先由，在方向上的投影为2，求出三角形的边长为4，再根据=（）即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵△ABC为等边三角形，在方向上的投影为2，‎ ‎∴||=2，‎ ‎∴AB=AC=BC=4，‎ ‎∴=（）=（﹣）•=||2﹣•=×42﹣4×4×=4，‎ 故答案为：4‎ ‎　‎ ‎14．（1+2x）（x+）5展开式中x的系数为　40　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】展开式的x项来源于第一个括号的1和m=（x+）5展开式的x项的乘积或第一个括号的2x和m=（x+）5展开式的常数项的乘积，分别由m的展开式可得．‎ ‎【解答】解：展开式的x项来源于第一个括号的1和m=（x+）5展开式的x项的乘积 或第一个括号的2x和m=（x+）5展开式的常数项的乘积，‎ 又m=（x+）5的通项为Tk+1=x5﹣k（）k=2k•x5﹣2k，‎ 令5﹣2k=1可得k=2，故m展开式中含x的项为40x，‎ 令5﹣2k=0可得k=∉Z，故m展开式中无常数项，‎ ‎∴原式展开式中x的系数为40，‎ 故答案为：40．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）=若函数g（x）=f（x）﹣x恰有两个零点，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎【考点】函数的图象；函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】画出函数f（x）=的图象，若函数g（x）=f（x）﹣x恰有两个零点，则函数f（x）的图象与函数y=x的图象有且只有两个交点，数形结合可得答案．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：‎ 当x＞0时，函数f（x）的图象与函数y=x的图象有且只有一个交点，‎ 即函数g（x）=f（x）﹣x恰有一个零点，‎ 故x≤0时，函数g（x）=f（x）﹣x也恰有一个零点，‎ 即x≤0时，函数f（x）的图象与函数y=x的图象有且只有一个交点，‎ 故a＞0，y=x与y=﹣x2+a相切，‎ 解得：a=﹣，‎ 故实数a的取值范围是：，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．若数列{an}满足++…+=﹣，且对任意的n∈N*，存在m∈N*，使得不等式an≤am恒成立，则m的值是　5　．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合．‎ ‎【分析】通过作差可知数列{an}的通项公式，计算出数列的前几项即可判断出数列的变化规律，进而即得结论．‎ ‎【解答】解：∵++…+=﹣，‎ ‎∴当n≥2时， ++…+=﹣，‎ 两式相减得： =﹣=，‎ ‎∴an=（2n﹣1）•（n≥2），‎ 又∵=﹣=﹣不满足上式，‎ ‎∴an=，‎ ‎∵a2=，a3=，a4=，a5=，a6=，‎ 且易知从第六项开始数列递减，‎ ‎∴m=5，‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．‎ ‎（Ⅰ）求∠ABC；‎ ‎（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．‎ ‎（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a=b（sinC+cosC），‎ ‎∴sinA=sinB（sinC+cosC），…‎ ‎∴sin（π﹣B﹣C）=sinB（sinC+cosC），‎ ‎∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），…‎ ‎∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，…‎ ‎∴cosBsinC=sinBsinC，‎ 又∵C∈（0，π），故sinC≠0，…‎ ‎∴cosB=sinB，即tanB=1． …‎ 又∵B∈（0，π），‎ ‎∴． …‎ ‎（Ⅱ）在△BCD中，DB=2，DC=1，‎ ‎∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD． …‎ 又，由（Ⅰ）可知，‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形，…‎ ‎∴，…‎ 又∵，…‎ ‎∴． …‎ ‎∴当时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为．…‎ ‎　‎ ‎18．某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图：‎ ‎（Ⅰ）试估计该校学生在校月消费的平均数；‎ ‎（Ⅱ）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：‎ ‎（ⅰ）对于任意一个学生，校服务部可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎（ⅱ）若校服务部计划每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出学生月消费的平均数．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）月消费值落入区间[200，400）、[400，800）、[800，1200]的频率分别为0.05、0.80、0.15，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．‎ ‎（ii）先求出服务部的月利润，再求出受助学生人数，由此能求出每个受助学生每月可获得多少元．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得学生月消费的平均数：‎ ‎…‎ ‎=680…‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）月消费值落入区间[200，400）、[400，800）、[800，1200]的频率分别为0.05、0.80、0.15，‎ ‎∴P（ξ=20）=0.05，‎ P（ξ=40）=0.80，‎ P（ξ=80）=0.15，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ‎ ξ ‎ 20‎ ‎ 40‎ ‎ 80‎ ‎ P ‎ 0.05‎ ‎ 0.80‎ ‎ 0.15‎ Eξ=20×0.05+40×0.80+80×0.15=45．‎ ‎（ii）服务部的月利润为45×2000=90000（元），‎ 受助学生人数为2000×0.05=100，‎ 每个受助学生每月可获得90000×÷100=200（元）．‎ ‎　‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=3，AD=4，AC=2，∠ADC=60°，E为线段PC上一点，且=λ．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥AE；‎ ‎（Ⅱ）若平面PAB⊥平面PAD，直线AE与平面PBC所成的角的正弦值为，求λ的值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（I）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD，在△ACD中使用正弦定理可得∠ACD=90°，故而CD⊥平面PAC，于是CD⊥AE；‎ ‎（II）由面面垂直可得AB⊥AD，以A为原点建立空间直角坐标系，求出和平面PBC的法向量，则|cos＜＞|=，列方程解出λ即可．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）在△ADC中，AD=4，，∠ADC=60°，‎ 由正弦定理得：，即，解得sin∠ACD=1，‎ ‎∴∠ACD=90°，即DC⊥AC．‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ ‎∴DC⊥PA．‎ 又AC∩PA=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，‎ ‎∴CD⊥平面PAC．∵AE⊂平面PAC，‎ ‎∴CD⊥AE．‎ ‎（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥AB，PA⊥AD．∴∠BAD即为二面角B﹣PA﹣D的平面角．‎ ‎∵平面PAB⊥平面PAD，∴∠BAD=90°．‎ 以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，‎ 则，‎ ‎． =（，3，﹣3）. =（0，0，3）．‎ ‎∴=（，3λ，﹣3λ），∴==（，3λ，3﹣3λ）．‎ 设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，‎ ‎∴，令，得=（，0，1）．‎ 设直线AE与平面PBC所成的角为θ，则，‎ ‎∴或．‎ ‎　‎ ‎20．已知点F（1，0），点P在圆E：（x+1）2+y2=16上，线段PF的垂直平分线交PE于点M．记点M的轨迹为曲线Γ．过x轴上的定点Q（m，0）（m＞2）的直线l交曲线Γ于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）求曲线Γ的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点A关于x轴的对称点为A′，证明：直线A′B恒过一个定点S，且|OS|•|OQ|=4．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（I）利用垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．‎ ‎（Ⅱ）由椭圆的对称性可得，定点S必在x轴上．设直线l的方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直线A'B与x轴的交点为S（s，0）则A'（x1，﹣y1），直线方程与椭圆方程联立可得：（3+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0，利用根与系数的关系，及其A'，B，S三点共线，进而得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，|MP|=|MF|，∴|ME|+|MF|=4，‎ ‎∵|ME|+|MF|＞|EF|，‎ ‎∴点M的轨迹是以点F（1，0）和E（﹣1，0）为焦点，2a=4的椭圆，‎ ‎∴，‎ ‎∴曲线Γ的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由椭圆的对称性可得，定点S必在x轴上．设直线l的方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直线A'B与x轴的交点为S（s，0）则A'（x1，﹣y1），‎ ‎∴=（x1﹣s，﹣y1），=（x2﹣s，y2），‎ 由得，（3+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0，‎ ‎△＞0，即（4﹣m2）k2+3＞0，‎ ‎∴，‎ 当k≠0时，由A'，B，S三点共线，可得（x1﹣s）y2+（x2﹣s）y1=0，‎ 即k（x1﹣s）（x2﹣m）+k（x2﹣s）（x1﹣m）=0，2x1x2﹣（s+m）（x1+x2）+2sm=0，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，k=0时，直线A'B与x轴重合，过点．‎ 综上述，直线A'B恒过一个定点，且=4．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=﹣+（a﹣1）x+lnx．‎ ‎（Ⅰ）若a＞﹣1，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若a＞1，求证：（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求导，令f′（x）=0，解得x1、x2，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间；‎ ‎（Ⅱ）a＞1，由函数单调性可知，f（x）在x=1取极大值，也为最大值，f（x）max=a﹣1，因此（2a﹣1）f（x）≤（2a﹣1）（a﹣1），构造辅助函数g（a）=，求导，求出g（a）的单调区间及最大值，＜=3，可知g（a）＜3，ea﹣3＞0，即可证明（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=﹣+（a﹣1）x+lnx，x＞0‎ 则f′（x）=﹣ax+（a﹣1）+=，‎ 令f′（x）=0，解得x1=1，x2=﹣，‎ 当﹣＞1，解得﹣1＜a＜0，‎ ‎∴﹣1＜a＜0，f′（x）＞0的解集为（0，1），（﹣，+∞），‎ f′（x）＜0的解集为（1，﹣），‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（﹣，+∞），‎ 函数f（x）的单调递减区间为（1，﹣）；‎ 当﹣＜1，解得a＞0，‎ ‎∴a＞0，f′（x）＞0的解集为（0，1），‎ f′（x）＜0的解集为（1，+∞）；‎ ‎∴当a＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），‎ 函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；‎ 综上可知：﹣1＜a＜0，函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（﹣，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（1，﹣）；‎ a＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；‎ ‎（Ⅱ）证明：∵a＞1，故由（Ⅰ）可知函数f（x）的单调递增区间为（0，1）单调递减区间为（1，+∞），‎ ‎∴f（x）在x=1时取最大值，并且也是最大值，即f（x）max=a﹣1，‎ 又∵2a﹣1＞0，‎ ‎∴（2a﹣1）f（x）≤（2a﹣1）（a﹣1），‎ 设g（a）=，g′（a）=﹣=﹣，‎ ‎∴g（a）的单调增区间为（2，），单调减区间为（，+∞），‎ ‎∴g（a）≤g（）==，‎ ‎∵2＞3，‎ ‎∴＜=3，‎ ‎∴g（a）＜3，‎ ea﹣3＞0，‎ ‎∴（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．‎ ‎　‎ 四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，已知⊙A和⊙B的公共弦CD与AB相交于点E，CB与⊙A相切，⊙B半径为2，AE=3．‎ ‎（Ⅰ）求弦CD的长；‎ ‎（Ⅱ）⊙B与线段AB相交于点F，延长CF与⊙A相交于点G，求CG的长．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连结CA，由圆的切线的性质、对称性，根据射影定理求出BE，再根据勾股定理，继而得出弦CD的长；‎ ‎（Ⅱ）在△CEF中，求出EF，CF的长，根据勾股定理求出AC，设⊙A与直线AB相交于M，N两点，分别求出AF，MF，NF，根据相交弦定理求得CF•FG，得出FG，继而求得CG的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：连结CA，则CA⊥CB，‎ ‎∵由圆的对称性知CD⊥AB，‎ ‎∴由射影定理得：BC2=BE•BA=BE•（BE+EA），‎ ‎∴22=BE•（BE+3），∴BE=1；‎ ‎∴在 Rt△BEC中，，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）在△CEF中，，EF=BF﹣BE=1，‎ ‎∴CF=2，‎ 在△ACE中，．‎ 设⊙A与直线AB相交于M，N两点，‎ AF=AE﹣EF=3﹣1=2，，‎ ‎∵由相交弦定理得CF•FG=FM•NF=（2+2）•（2﹣2）=8，‎ ‎∴FG=4，‎ ‎∴CG=4+2=6．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点A，B为曲线C上的两点，且OA⊥OB，求|OA|•|OB|的最小值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）曲线C：（α为参数），利用平方关系可得曲线C的普通方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C的极坐标方程．‎ ‎（2）由对称性，设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），，其中，代入极坐标方程化简利用三角函数的值域即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C：（α为参数），可得曲线C的普通方程为．‎ ‎∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（2）由对称性，设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），，其中，‎ 则=．‎ 当且仅当sin22θ=1即，|OA|•|OB|取到最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣a|（a＞0）．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤x的解集；‎ ‎（Ⅱ）当x≤﹣时，不等式f（x）+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（1）将a=1代入f（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最小值，根据函数恒成立求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）当a=1时，f（x）≤x化为|2x+1|﹣|x﹣1|≤x，…‎ 当，不等式化为2x+2≥0，解得；…‎ 当，不等式化为2x≤0，解得； …‎ 当x≥1，不等式化为2≤0，无解；…‎ 所以f（x）≤x解集为{x|﹣1≤x≤0}． …‎ ‎（2）∵当时f（x）=﹣2x﹣1﹣（a﹣x）=﹣x﹣a﹣1，‎ ‎∴． …‎ ‎∵t2+2t+3=（t+1）2+2≥2，…‎ 要使当时f（x）+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立，‎ 则当时f（x）+2≥0恒成立，…‎ ‎∴，又由已知a＞0‎ ‎∴． …‎ ‎　‎ ‎2016年9月20日