2015高考平面向量综合应用

2015高考平面向量综合应用

‎15．（2010•湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣16‎ B．‎ ‎﹣8‎ C．‎ ‎8‎ D．‎ ‎16‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算；向量的加法及其几何意义．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 本题是一个求向量的数量积的问题，解题的主要依据是直角三角形中的垂直关系和一条边的长度，解题过程中有一个技巧性很强的地方，就是把变化为两个向量的和，再进行数量积的运算．‎ 解答：‎ 解：∵∠C=90°，‎ ‎∴=0，‎ ‎∴=（）‎ ‎==42=16‎ 故选D．‎ 点评：‎ 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质． ‎　‎ ‎10．（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣2，则λ=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 由题意可得=0，根据=﹣（1﹣λ）﹣λ=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，求得λ的值．‎ 解答：‎ 解：由题意可得=0，‎ 由于=（）•（）=[﹣]•[﹣]‎ ‎=0﹣（1﹣λ）﹣λ+0=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，‎ 解得 λ=，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．‎ ‎18．（2009•陕西）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学，则等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 向量的共线定理；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解．‎ 解答：‎ 解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，‎ 又由点P在AM上且满足 ‎∴P是三角形ABC的重心 ‎∴‎ ‎==﹣‎ 又∵AM=1‎ ‎∴=‎ ‎∴=﹣‎ 故选A 点评：‎ 判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：或取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数．‎ ‎　‎ ‎1．（2006•陕西）已知非零向量与满足（+）•=0，且•=﹣，则△ABC为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 等腰非等边三角形 B．‎ 等边三角形 ‎　‎ C．‎ 三边均不相等的三角形 D．‎ 直角三角形 考点：‎ 向量在几何中的应用；平面向量的综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 利用单位向量的定义及向量的数量积为0两向量垂直，得到等腰三角形；利用向量的数量积求出三角形的夹角，得到非等边三角形．‎ 解答：‎ 解：、分别是、方向的单位向量，‎ 向量+在∠BAC的平分线上，‎ 由（+）•=0知，AB=AC，‎ 由•=﹣，可得∠CAB=120°，‎ ‎∴△ABC为等腰非等边三角形，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查单位向量的定义；向量垂直的充要条件；向量数量积的应用．‎ ‎　‎ ‎3．（2005•湖南）P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 外心 B．‎ 内心 C．‎ 重心 D．‎ 垂心 考点：‎ 平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由，我们任取其中两个相等的量，如，根据平面向量乘法分配律，及减法法则，我们可得，同理我们也可以得到PA⊥BC，PC⊥AB，由三角形垂心的性质，我们不难得到结论．‎ 解答：‎ 解：∵，‎ 则由得：‎ ‎，∴‎ 同理PA⊥BC，‎ PC⊥AB，‎ 即P是垂心 故选D 点评：‎ 重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．该点叫做三角形的重心．‎ 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点．该点叫做三角形的外心．‎ 垂心定理：三角形的三条高交于一点．该点叫做三角形的垂心．‎ 内心定理：三角形的三内角平分线交于一点．该点叫做三角形的内心．‎ ‎4．设向量，满足，，＜＞=60°，则的最大值等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎1‎ 考点：‎ 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．‎ 解答：‎ 解：∵，‎ ‎∴的夹角为120°，‎ 设，则；=‎ 如图所示 则∠AOB=120°；∠ACB=60°‎ ‎∴∠AOB+∠ACB=180°‎ ‎∴A，O，B，C四点共圆 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=‎ 当OC为直径时，模最大，最大为2‎ 故选A 点评：‎ 本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．‎ ‎　‎ ‎9．（2014•浙江二模）在△ABC中，已知•=4，||=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则•的值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5‎ B．‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ ‎8‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 分析：‎ 取BC边的中点O，由向量加法的三角形法则，把•=4转化为，再由||=3求得，则可求，把•转化为|AO|2﹣|OM|2，再由已知求得，则答案可求．‎ 解答：‎ 解：如图，‎ 设BC的中点为O，由，‎ 得==，‎ ‎∵，‎ ‎∴，由此可得：，‎ 而===|AO|2﹣|OM|2，‎ 由已知，‎ ‎∴|AO|2﹣|OM|2=，‎ ‎∴=6．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（2014•商丘二模）已知向量与的夹角为120°，且，若，且，则实数λ的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎13‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ 考点：‎ 向量加减混合运算及其几何意义．菁优网版权所有 专题：‎ 平面向量及应用．‎ 分析：‎ 利用向量垂直与数量积之间的关系即可得出．‎ 解答：‎ 解：∵，且，‎ ‎∴===0．‎ 又向量与的夹角为120°，且，‎ ‎∴===﹣3．‎ ‎∴32﹣λ•22+（λ﹣1）×（﹣3）=0，‎ 解得λ=．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了向量垂直与数量积之间的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（2014•萧山区模拟）在△ABC中，点M是BC中点．若∠A=120°，，则的最小值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 平面向量及应用．‎ 分析：‎ 由题意表示出，通过向量的数量积以及基本不等式求出||的最小值．‎ 解答：‎ 解：在△ABC中，点M是BC中点，∴=．‎ 再由∠A=120°，，可得||•||•cosA=﹣，∴||•||=1．‎ 又 ==≥≥=，‎ 故的最小值是，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，基本不等式的应用，属于中档题．‎ ‎11．（2014•宜春模拟）如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎[﹣6，6]‎ C．‎ D．‎ ‎[﹣4，4]‎ 考点：‎ 向量在几何中的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题；转化思想；平面向量及应用．‎ 分析：‎ 通过圆的方程求出圆的圆心与半径，求出ME，OM，利用向量的三角形法则，化简，然后利用数量积求解范围即可．‎ 解答：‎ 解：因为圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，圆心的坐标（3，3）半径为2，‎ 所以|ME|=，|OM|==3，‎ ‎，==，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴=6cos（π﹣∠OME）∈[﹣6，6]，‎ 的取值范围是[﹣6，6]．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查向量在几何中的应用，注意向量的垂直与向量的转化，数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．‎ ‎　‎ ‎14．（2014•西城区一模）已知平面向量=（2，﹣1），=（1，3），那么||等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎13‎ 考点：‎ 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 平面向量及应用．‎ 分析：‎ 利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出．‎ 解答：‎ 解：∵=（2，﹣1）+（1，3）=（3，2），‎ ‎∴==．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了向量的坐标运算和模的计算公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（2014•陕西二模）已知为单位向量，当的夹角为时，在上的投影为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 平面向量及应用．‎ 分析：‎ 由条件求得||和||的值，求得cos＜，＞= 的值，再根据在上的投影为||•cos＜，＞，计算求得结果．‎ 解答：‎ 解：由题意可得||===，‎ ‎||===，‎ cos＜，＞===，‎ 故在上的投影为：||•cos＜，＞=•=，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题主要考查一个向量在另一个向量上的投影的求法，求向量的模，两个向量的夹角公式，属于中档题．‎ ‎7．（2014•郑州一模）已知向量是与单位向量夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|t﹣|的最小值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎1‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ 由题意利用两个向量的数量积的定义可得•=，再根据|t﹣|==，利用二次函数的性质求得它的最小值．‎ 解答：‎ 解：由题意可得•=||×1×cos60°=，对任意的正实数t，‎ ‎∵|t﹣|====，‎ 故当t||=时，|t﹣|取得最小值为=，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，二次函数的性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．设、、是单位向量，且，则•的最小值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣2‎ B．‎ ‎﹣2‎ C．‎ ‎﹣1‎ D．‎ ‎1﹣‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 由题意可得 =，故要求的式子即 ﹣（）•+=1﹣ cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．‎ 解答：‎ 解：∵、、 是单位向量，，∴，=．‎ ‎∴•=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣ cos ‎=1﹣cos≥．‎ 故选项为D 点评：‎ 考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．‎ ‎12．（2011•辽宁）若为单位向量，且=0，，则的最大值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算；向量的模．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；整体思想．‎ 分析：‎ 根据及为单位向量，可以得到 ‎，要求的最大值，只需求的最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求得．‎ 解答：‎ 解：∵，‎ 即﹣+≤0，‎ 又∵为单位向量，且=0，‎ ‎∴，‎ 而=‎ ‎=3﹣2≤3﹣2=1．‎ ‎∴的最大值为1．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题是个中档题．考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，特别注意有关模的问题一般采取平方进行解决，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎1．（2013•辽宁）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 平行向量与共线向量；单位向量．菁优网版权所有 专题：‎ 平面向量及应用．‎ 分析：‎ 由条件求得 =（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为 求得结果．‎ 解答：‎ 解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，‎ 则与向量同方向的单位向量为 =，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 平面向量及应用．‎ 分析：‎ 令，，，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值．‎ 解答：‎ 解：令，，，‎ 如图所示：则，‎ 又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，‎ 易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，‎ 所以的取值范围为[﹣1，+1]．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．‎ ‎　‎ ‎23．（2014•宁波模拟）已知、、均为单位向量，且满足•=0，则（++）•（+）的最大值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1+2‎ B．‎ ‎3+‎ C．‎ ‎2+‎ D．‎ ‎2+2‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 平面向量及应用．‎ 分析：‎ 先求得（++）•（+）=2+•（2+），再根据|2+|=，||=1，利用两个向量的数量积的定义求得（++）•（+）的最大值．‎ 解答：‎ 解：∵、、均为单位向量，且满足•=0，‎ 则（++）•（+）=+++++=1+0+2++1 ‎ ‎=2+2+=2+•（2+），‎ 又|2+|=，‎ ‎∴2+•（2+）=2+1××cos＜，2+＞，‎ 故当＜，2+＞=0时，（++）•（+）取得最大值为2+，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量数量积的定义，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎30．（2013•许昌三模）设向量=（sinθ+cosθ+1，1），=（1，1），θ∈[，]，m是向量 在向量向上的投影，则m的最大值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．菁优网版权所有 专题：‎ 平面向量及应用．‎ 分析：‎ 由条件求得 =2sin（θ+）+2．由题意可得m=||•cos＜，＞=．再由θ∈[，]，利用正弦函数的定义域和值域求得 sin（θ+）的最大值，即可求得m的最大值．‎ 解答：‎ 解：∵向量=（sinθ+cosθ+1，1）=（2sin（θ+）+1，1），=（1，1），∴=2sin（θ+）+2．‎ 由题意可得m=||•cos＜，＞=||•=．‎ 再由θ∈[，]，可得θ+∈[，]，sin（θ+）∈[，1]，故m的最大值为 =2，‎ 故选C 点评：‎ 本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．‎ ‎　‎