走向高考2013高三数学人教A版总复习同步练习87圆锥曲线的综合问题理
8-7圆锥曲线的综合问题(理)
基础巩固强化
1.(2012·潍坊教学质量监测)椭圆＋＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )
A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0
C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0
[答案] B
[解析] 依题意得e＝，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，)的连线的斜率为＝，则所求直线的斜率等于－，所以所求直线方程是y－＝－(x－1)，即4x＋6y－7＝0，选B.
2．(2011·宁波十校联考)已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于( )
A．3 B．4
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 设A(x1,3－x)，B(x2,3－x)，由于A、B关于直线x＋y＝0对称，∴解得或设直线AB的斜率为kAB，
∴|AB|＝|x1－x2|＝3.故选C.
3．设F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，点A是抛物线C1与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x
轴，则双曲线的离心率为( )
A．2 B.
C. D.
[答案] D
[解析] 由题意可知，抛物线C1的焦点为F(，0)，因为AF⊥x轴，则A(，±p)，不妨取A(，p)，则双曲线C2的渐近线的斜率为＝，∴＝2，令a＝1，则b＝2，c＝＝，∴e＝＝.
4．(2011·南昌检测)过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 记|F1F2|＝2c，则|PF1|＝，|PF2|＝，所以椭圆的离心率为＝＝，选B.
5．(2011·台州二模)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
[答案] C
[解析] 由题意设直线l的方程为y＝(x－)，即x＝＋，代入抛物线方程y2＝2px中，整理得y2－2py－p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＝p，yB＝－p，所以＝||＝3.
6．(2012·东北三校一模)已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝( )
A. B.
C. D．与P点位置有关
[答案] A
[解析] 设点A(x1，y1)、B(x2，y2)、P(x0，y0)，则由消去x得y2＝，y1＋y2＝0，y1y2＝－，(y1＋y0)(y2＋y0)＝y1y2＋y＋y0(y1＋y2)＝y－，(x1＋x0)(x2＋x0)＝(2y1＋x0)(2y2＋x0)＝4y1y2＋x＋2x0(y1＋y2)＝4y1y2＋x＝x－4×＝9(＋1)－4×＝(y－)，·＝.
由得＝，即＝·，同理有＝·，于是有kPA·kPB＝·＝()2··＝()2×＝，选A.
7．已知过双曲线－＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
[答案] (1，)
[解析] 由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即<1，∴<1，∴<2，
即e2<2，∵e>1，∴1
0，b>0)的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x2＋y2＝b2相切，当直线PF的倾斜角为时，此椭圆的离心率是________．
[答案]
[解析] 依题意得OP⊥PF，∵直线PF的倾斜角为，∴∠OFP＝，∴sin＝＝，椭圆的离心率e＝＝＝＝＝.
10．(2012·昆明一中测试)过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA⊥MB，并说明理由．
[解析] (1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y＝－的距离，∴1＋＝2，∴p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线C的焦点为F(0,1)，直线l的方程y＝2x＋1，
设点A、B、M的坐标分别为(x1，)、(x2，)、(x0，)，
由方程组消去y得，x2＝4(2x＋1)，
即x2－8x－4＝0，
由韦达定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－4.
∵MA⊥MB，∴·＝0，
∴(x1－x0)(x2－x0)＋(－)(－)＝0，
∴(x1－x0)(x2－x0)＋(x1－x0)(x2－x0)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0.
∵M不与A，B重合，∴(x1－x0)(x2－x0)≠0，
∴1＋(x1＋x0)(x2＋x0)＝0，x1x2＋(x1＋x2)x0＋x＋16＝0，
∴x＋8x0＋12＝0，∵Δ＝64－48>0.
∴方程x＋8x0＋12＝0有解，即抛物线C上存在一点M，使得MA⊥MB.
能力拓展提升
11.(2011·大纲全国理，10)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )
A. B.
C．－ D．－
[答案] D
[解析] 方法一：联立
解得或不妨设A在x轴上方，
∴A(4,4)，B(1，－2)，
∵F点坐标为(1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，
cos∠AFB＝＝＝－.
方法二：同上求得A(4,4)，B(1，－2)，|AB|＝3，|AF|＝5，|BF|＝2，
由余弦定理知，
cos∠AFB＝＝－.
12.(2012·江西七校联考)如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2.则下列结论不正确的是( )
A．a1＋c1>a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2
C．a1c2a2c1
[答案] D
[解析] 依题意得，a1>a2，c1>c2，a1＋c1＞a2＋c2；两个椭圆的左焦点到左顶点的距离相等，即有a1－c1＝a2－c2；由a1>a2，得<，又a1－c1＝a2－c2，因此<，即有<，a1c2，即m2＋n2<5，所以点P(m，n)在圆x2＋y2＝5的内部，而该圆在椭圆＋＝1内部，故点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，所以过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1一定相交，故公共点的个数是2.
14．(2012·安徽文，14)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
[答案]
[解析] 本题考查抛物线定义、直线与抛物线的位置关系．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可知x1＋1＝3，x1＝2，∴A(2,2)，则直线AF斜率为k＝＝2，
所以AB方程为y＝2(x－1)，
由联立消去y得，2x2－5x＋2＝0，
解之得x1＝2，x2＝，∴B(，－)，
所以|BF|＝x2＋1＝＋1＝.
15．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
(3)在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由已知，椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0)．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴b＝c＝1，a＝.
所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)右焦点F(1,0)，直线l的方程为y＝x－1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由消去x得，3y2＋2y－1＝0，
解得y1＝－1，y2＝.
∴S△POQ＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝.
(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(00，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB
的距离为，其中A(0，－b)，B(a,0)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足·＝0，且||＝10，求直线l的方程．
[解析] (1)依题意有
解得a＝1，b＝，c＝2.
所以，所求双曲线的方程为x2－＝1.
(2)当直线l⊥x轴时，||＝6，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．
由消去y得，
(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.①
因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k2≠0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程①的两个正根，于是有
所以k2>3.②
因为·＝0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，||＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝|PQ|＝5.
又|MN|＝x0＋2＝5，∴x0＝3，
而x0＝＝＝3，∴k2＝9，解得k＝±3.
∵k＝±3满足②式，∴k＝±3符合题意．
所以直线l的方程为y＝±3(x－2)．
即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.
1．(2011·辽宁文，7)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
[答案] C
[解析] 如图所示：
∵|AF|＝|AK|，|BF|＝|BM|，
∴|AK|＋|BM|＝|AF|＋|BF|＝3，
∴AB的中点P到准线的距离为：
|PN|＝(|AK|＋|BM|)＝
∴点P到y轴的距离为－＝.
2.(2012·镇江调研)已知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，过它的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB.
(1)证明直线AB过定点；
(2)求抛物线顶点O在AB上射影M的轨迹方程．
[解析] (1)不妨设A(2px，2px1)，B(2px，2px2)(x1≠x2)，则直线AB的斜率是，
于是lAB：y－2px2＝(x－2px)，
即(x1＋x2)y＝2px1x2＋x，
又∵OA⊥OB，∴·＝－1.
因此，直线方程为(x1＋x2)y＝－2p＋x，令y＝0得x＝2p，
∴lAB恒过定点(2p,0)．
(2)由(1)的结论可知，AB过定点N(2p,0)．
设M(x，y)，当AB斜率存在时，由KOM·KAB＝－1可知，
·＝－1，即(x－p)2＋y2＝p2.
当AB⊥x轴时，点M与点N重合，方程也满足．
∴点M的轨迹方程是(x－p)2＋y2＝p2.它表示以点(p,0)为圆心，p为半径的圆(去掉坐标原点)．
3．已知动点P到定点F(，0)的距离与点P到定直线l：x＝2的距离之比为.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若·＝0，求|MN|的最小值．
[解析] (1)设点P(x，y)，
依题意有，＝，整理得＋＝1，
所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)∵点E与点F关于原点O对称，
∴点E的坐标为(－，0)．
∵M、N是直线l上的两个点，
∴可设M(2，y1)，N(2，y2)(不妨设y1>y2)．
∵·＝0，∴(3，y1)·(，y2)＝0，
∴6＋y1y2＝0，即y2＝－.
由于y1>y2，∴y1>0，y2<0.
∴|MN|＝y1－y2＝y1＋≥2＝2.
当且仅当y1＝，y2＝－时，等号成立．
故|MN|的最小值为2.
