高考数学平面向量

高考数学平面向量

高三一轮复习讲座五 ----平面向量 主讲教师：王思俭 （苏州中学）‎ 二、复习要求 1、 向量的概念；‎ ‎ 2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；‎ ‎3、向量运算的运用 三、学习指导 ‎ 1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。‎ 向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。‎ 2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。‎ 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。‎ 主要内容列表如下：‎ 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 ‎+=‎ ‎-=‎ 记=(x1,y1)，=(x1,y2)‎ 则+=(x1+x2,y1+y2)‎ ‎ -=（x2-x1,y2-y1）‎ ‎+=‎ 实数与向量 的乘积 ‎=λ λ∈R 记=(x,y)‎ 则λ=(λx,λy)‎ 两个向量 的数量积 ‎·=||||‎ cos<,>‎ 记=(x1,y1), =(x2,y2)‎ 则·=x1x2+y1y2‎ 3、 运算律 加法：+=+，(+)+=+(+)‎ 实数与向量的乘积：λ(+)=λ+λ；(λ+μ)=λ+μ，λ(μ)=‎ ‎(λμ) ‎ 两个向量的数量积：·=·；(λ)·=·(λ)=λ(·)，(+)·=·+·‎ 说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(±)2=‎ 1、 重要定理、公式 ‎ （1）平面向量基本定理；如果+是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对数数λ1，λ2，满足=λ1+λ2，称λ1λ+λ2为，的线性组合。‎ 根据平面向量基本定理，任一向量与有序数对(λ1,λ2)一一对应，称(λ1,λ2)为在基底{，}下的坐标，当取{，}为单位正交基底{，}时定义(λ1，λ2)为向量的平面直角坐标。‎ 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)‎ ‎ （2）两个向量平行的充要条件 符号语言：若∥，≠，则=λ 坐标语言为：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0‎ 在这里，实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ>0；当与异向时，λ<0。‎ ‎|λ|=，λ的大小由及的大小确定。因此，当，确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。‎ ‎ （3）两个向量垂直的充要条件 符号语言：⊥·=0‎ 坐标语言：设=(x1,y1), =(x2,y2)，则⊥x1x2+y1y2=0‎ ‎ （4）线段定比分点公式 如图，设 ‎ 则定比分点向量式：‎ 定比分点坐标式：设P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）‎ 则 特例：当λ=1时，就得到中点公式：‎ ‎ ，‎ 实际上，对于起点相同，终点共线三个向量，，（O与P1P2不共线），总有=u+v，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。‎ ‎ （5）平移公式：‎ ① 点平移公式，如果点P（x，y）按=（h，k）平移至P’（x’，y’），则 分别称（x，y），（x’，y’）为旧、新坐标，为平移法则 在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标 ‎②图形平移：设曲线C：y=f(x)按=（h，k）平移，则平移后曲线C’对应的解析式为y-k=f(x-h)‎ 当h，k中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移 利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质 ‎ （6）正弦定理，余弦定理 正弦定理：‎ 余弦定理：a2=b2+c2-2cbcosA ‎ b2=c2+a2-2cacosB ‎ c2=a2+b2-2abcosc 定理变形：cosA=，cosB=，cosC=‎ 正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本，理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。‎ ‎5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。‎ 四、典型例题 ‎ 例1、如图，，为单位向量，与夹角为1200， 与的夹角为450，||=5，用，表示。‎ 分析：‎ 以，为邻边，为对角线构造平行四边形 把向量在，方向上进行分解，如图，设=λ，=μ，λ>0，μ>0‎ 则=λ+μ ‎∵ ||=||=1‎ ‎∴ λ=||，μ=||‎ △ OEC中，∠E=600，∠OCE=750，由得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理 例2、已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。‎ 分析：‎ 用解方程组思想 设D（x，y），则=（x-2，y+1）‎ ‎∵=（-6，-3），·=0‎ ‎∴ -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0 ①‎ ‎∵=(x-3，y-2)，∥‎ ‎∴ -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 ②‎ 由①②得：‎ ‎∴ D（1，1），=（-1，2）‎ 例3、求与向量=，-1）和=（1，）夹角相等，且模为的向量的坐标。 ‎ 分析：‎ 用解方程组思想 法一：设=（x，y），则·=x-y，·=x+y ‎∵ <，>=<，>‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 即 ①‎ 又||=‎ ‎∴ x2+y2=2 ②‎ 由①②得 或（舍）‎ ‎∴=‎ 法二：从分析形的特征着手 ‎∵ ||=||=2‎ ‎ ·=0‎ ‎∴ △AOB为等腰直角三角形，如图 ‎∵ ||=，∠AOC=∠BOC ‎∴ C为AB中点 ‎∴ C（）‎ 说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。‎ 例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量。‎ 分析：‎ ‎∵ B、P、M共线 ‎∴ 记=s ‎∴ ①‎ 同理，记 ‎∴ = ②‎ ‎∵ ,不共线 ‎∴ 由①②得解之得：‎ ‎∴ ‎ 说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。‎ 例5、已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点 （1） 利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED=450；‎ （2） 若∠PED=450，求证：P、D、C、E四点共圆。‎ 分析：‎ 利用坐标系可以确定点P位置 如图，建立平面直角坐标系 则C（2，0），D（2，3），E（1，0）‎ 设P（0，y）‎ ‎∴ =（1，3），=（-1，y）‎ ‎∴ ‎ ‎ ·=3y-1‎ 代入cos450=‎ 解之得（舍），或y=2‎ ‎∴ 点P为靠近点A的AB三等分处 （3） 当∠PED=450时，由（1）知P（0，2）‎ ‎ ∴ =（2，1），=（-1，2）‎ ‎ ∴·=0‎ ‎∴ ∠DPE=900‎ 又∠DCE=900‎ ‎∴ D、P、E、C四点共圆 说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算计算结果；⑤得到结论。‎ 同步练习 （一） 选择题 1、 平面内三点A（0，-3），B（3，3），C（x，-1），若∥，则x的值为：‎ A、 ‎-5 B、-1 C、1 D、5‎ ‎ 2、平面上A（-2，1），B（1，4），D（4，-3），C点满足，连DC并延长至E，使||=||，则点E坐标为：‎ A、（-8，） B、（） C、（0，1） D、（0，1）或（2，）‎ 2、 点（2，-1）沿向量平移到（-2，1），则点（-2，1）沿平移到：‎ 3、 A、（2，-1） B、（-2，1） C、（6，-3） D、（-6，3）‎ 4、 ‎△ABC中，2cosB·sinC=sinA，则此三角形是：‎ A、 直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、以上均有可能 5、 设，， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：‎ ‎①(·)-(·)=0‎ ‎②||-||<|-|‎ ‎③(·)-(·)不与垂直 ‎④(3+2)·(3-2)=9||2-4|2中，‎ 真命题是：‎ A、①② B、②③ C、③④ D、②④‎ ‎6、△ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，则∠C度数是：‎ A、600 B、450或1350 C、1200 D、300‎ ‎7、△OAB中，=，=，=，若=，t∈R，则点P在 A、∠AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上 C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上 ‎8、正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=（0，3），=（4，0），则=‎ A、（） B、（） C、（7，4） D、（）‎ （一） 填空题 ‎ 9、已知{，|是平面上一个基底，若=+λ，=-2λ-，若，共线，则λ=__________。‎ ‎10、已知||=，||=1，·=-9，则与的夹角是________。‎ ‎11、设，是两个单位向量，它们夹角为600，‎ 则(2-)·(-3+2)=____________。‎ ‎12、把函数y=cosx图象沿平移，得到函数___________的图象。‎ （二） 解答题 ‎13、设=（3，1），=（-1，2），⊥，∥，试求满足+=的的坐标，其中O为坐标原点。‎ ‎14、若+=（2，-8），-=（-8，16），求、及与夹角θ的余弦值。‎ ‎15、已知||=，||=3，和夹角为450，求当向量+λ与λ+夹角为锐角时，λ的取值范围。‎ 参考答案 ‎ （一）1、C 2、B 3、D 4、B 5、D 6、B 7、A 8、A ‎ （二）9、 10、 11、 12、y=sinx+1‎ ‎ （三）13、（11，6）‎ ‎ 14、=（-3，4），=（5，-12），‎ ‎ 15、λ<，或λ>且λ≠1‎