专题双曲线讲高考数学一轮复习讲练测解析版

专题双曲线讲高考数学一轮复习讲练测解析版

‎2015年高考数学第9章解析几何 专题6双曲线 ‎〖考纲解读〗‎ ‎1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．[来源:学科网]‎ ‎2．理解数形结合的思想．‎ ‎〖备考明向〗‎ ‎1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.‎ ‎2.2015年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.‎ ‎〖知识梳理〗‎ ‎1. 双曲线的概念[来源:学#科#网]‎ 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。‎ 注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支（含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。‎ 椭圆和双曲线比较：[来源:学科网ZXXK]‎ 椭 圆 双 曲 线 定义 ‎]‎ 方程 焦点 注意：如何有方程确定焦点的位置！‎ ‎2．双曲线的性质 ‎①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。‎ ‎②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。‎ ‎③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。‎ 令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。‎ ‎（1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。‎ ‎（2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。‎ ‎④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。‎ ‎⑤等轴双曲线：‎ ‎（1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；‎ ‎（2）等轴双曲线的性质：‎ 渐近线方程为： ；‎ 渐近线互相垂直。‎ 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。‎ ‎（3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在 轴，当时焦点在轴上。‎ ‎⑥注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。‎ ‎〖分析考向〗‎ 考向一：双曲线的定义 ‎ ‎【典型例题】已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2、P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于(　　)‎ A．24　　　　　　　　　　 B．36‎ C．48 D．96‎ ‎【典型例题】已知为双曲线 .‎ ‎【迁移训练1】点P是双曲线－y2＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋)2＋y2＝1和(x－)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值是 ‎(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ 考向二：双曲线的标准方程 ‎ ‎【典型例题】求与双曲线－＝1共渐近线且过点A(2，－3)的双曲线的方程及其离心率．‎ ‎【典型例题】双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【迁移训练1】设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．‎ ‎(1)求C的圆心轨迹L的方程；‎ ‎(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．‎ 考向三：双曲线的几何性质 ‎ 几何性质：对称性，范围，焦点与焦距；离心率；渐近线 ‎【典型例题】如图，已知F1、F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线 交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求双曲线的渐近线方程．‎ ‎【典型例题】已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【迁移训练1】已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(　　)‎ A．(1,2]　　　　　　　　B．(1,2)‎ C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)‎ 考向四：直线与双曲线的关系 ‎ ‎（1）联立方程，用判别式来判断 ‎（2）利用数形结合，比较和渐近线的斜率以及相切的位置 ‎【典型例题】已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．‎ ‎(1)求双曲线C2的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．‎ ‎【迁移训练】P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.‎ ‎(1)求双曲线的离心率；‎ ‎(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．‎ ‎〖考题回放〗‎ ‎2014年高考题组 ‎1. 【2014高考北京卷文第10题】设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则 的方程为 .‎ ‎2. 【2014高考大纲卷文第11题】双曲线C:的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（ ）‎ A. 2 B. C.4 D.‎ ‎3． 【2014高考广东卷文第8题】若实数满足，则曲线与曲线的（ ）‎ A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 ‎4. 【2014高考江西卷文第9题】过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于.若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，则双曲线的方程为（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎5. 【2014高考全国1卷文第4题】已知双曲线的离心率为2，则（ ）‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎6. 【2014高考天津卷卷文第6题】已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎7. 【2014高考重庆卷文第8题】设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得 则该双曲线的离心率为( )‎ A. ‎ B. C.4 D.‎ ‎8. 【2014高考广东卷理第4题】若实数满足，则曲线与曲线的（ ）‎ ‎ A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等 ‎9. 【2014大纲高考理第9题】已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 【2014高考福建理第19题】已知双曲线的两条渐近线分别为 ‎.‎ ‎ （1）求双曲线的离心率；‎ ‎ （2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，‎ ‎ 四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公 ‎ 共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎2013年高考题组[来源:学科网]‎ ‎1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 】双曲线的离心率为 .‎ ‎2.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】双曲线的两条渐近线的方程为 .‎ ‎3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】设F1，F2是双曲线C， (a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为________________.‎ ‎4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）】双曲线（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国】‎ 已知双曲线的左、右焦点分别为离心率为直线与C的两个交点间的距离为 ‎（I）求；‎ ‎（II）设过的直线l与C的左、右两支分别相交有A、B两点，且证明：‎ ‎〖复习小结〗‎ 明确高考：‎ ‎1.双曲线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，双曲线的离心率、渐近线或与其他知识结合是高考的热点；‎ ‎2.选择题、填空题、解答题均有所考查 解题经验：‎ ‎1．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．‎ ‎2．定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．‎ ‎3．待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．‎ ‎4．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.‎ ‎5．双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．‎ ‎6．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x.‎