步步高广东专用高考数学二轮复习 专题训练七 排列组合与二项式定理 理

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步步高广东专用高考数学二轮复习 专题训练七 排列组合与二项式定理 理

第 1 讲 排列、组合与二项式定理 考情解读  1.高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不 在”问题、相邻问题、相间问题)为主,主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、 选取问题等;对二项式定理的考查,主要是利用通项求展开式的特定项,利用二项式定理展 开式的性质求有关系数问题.主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑 思维能力.2.排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查,一般以选择、填空 题的形式出现,难度中等,还经常与概率问题相结合,出现在解答题的第一或第二个小题中, 难度也为中等;对于二项式定理的考查,主要出现在选择题或填空题中,难度为易或中等. 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要 通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘. 2.排列与组合 (1)排列:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数公式是 Amn=n(n -1)(n-2)…(n-m+1)或写成 Amn= n! n-m!. (2)组合:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素组成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个组合.从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数公式是 Cmn= nn-1n-2…n-m+1 m! 或写成 Cmn= n! m!n-m!. (3)组合数的性质 ①Cmn=Cn-mn ; ②C mn+1=Cmn+Cm-1n . 3.二项式定理 (1)二项式定理:( a+b)n =C 0nanb0 +C 1nan - 1b+C 2nan - 2b2 +…+C rnan - rbr +…+C nna0bn(r= 0,1,2,…,n). (2)二项展开式的通项 Tr+1=Crnan-rbr,r=0,1,2,…,n,其中 C rn叫做二项式系数. (3)二项式系数的性质 ①对称性:与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等, 即 C0n=Cnn,C1n=Cn-1n ,…,Ckn=Cn-kn ,…. ②最大值:当 n 为偶数时,中间的一项的二项式系数 取得最大值;当 n 为奇数时,中间的 两项的二项式系数 , 相等,且同时取得最大值. ③各二项式系数的和 a.C0n+C1n+C2n+…+Ckn+…+Cnn=2n; b.C0n+C2n+…+C2rn +…=C1n+C3n+…+C2r+1n +…= 1 2·2n=2n-1. 热点一 两个计数原理 例 1  (1)将 1,2,3,…,9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中,要求每一行从左到右,每一 列从上到下分别依次增大.当 3,4 固定在图中的位置时,填写空格的方法为(  ) A.6 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种 (2)如果一 个三位正整数“ a1a2a3”满足 a10,即 5 2x2-m≤0 在区间[ 2 2 , 2]上恒 成立,所以 m≥( 5 2·x2)max,在区间[ 2 2 , 2]上,易知当 x= 2时, 5 2x2 有最大值,最大值为 5,所以 m≥5. 即实数 m 的取值范围是[5,+∞). (推荐时间:60 分钟) 一、选择题 1.(2014·安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60°的共有 (  ) A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对 答案 C 解析 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与面对角线 AC 成 60°角的面对 角线有 B1C,BC1,A1D,AD1,AB1,A1B,D1C,DC1,共 8 条,同理与 DB 成 60° 角的面对角线也有 8 条.因此一个面上的 2 条面对角线与其相邻的 4 个面上 的 8 条对角线共组成 16 对.又正方体共有 6 个面,所以共有 16×6= 96(对).又因为每对被计算了 2 次,因此成 60°角的面对角线有 1 2×96=48(对). 2.在(x- 2 x)5 的二项展开式中,x2 的系数为(  ) A.40 B.-40 C.80 D.-80 答案 A 解析 (x- 2 x)5 的展开式的通项为 Tr+1=Cr5x5-r(- 2 x)r=(-2)rCr5 , 令 5- 3r 2 =2,得 r=2,故展开式中 x2 的系数是(-2)2C25=40,故选 A. 3.从 8 名女生和 4 名男生中,抽取 3 名学生参加某档电视节目,如果按性别比例分层抽样, 则不同的抽取方法数为(  ) A.224 B.112 C.56 D.28 35 2 r x − 答案 B 解析 根据分层抽样,从 8 个人中抽取男生 1 人,女生 2 人;所以取 2 个女生 1 个男生的方 法:C28C14=112. 4.若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则 a0+a1+a3+a5 的值为(  ) A.122 B.123 C.243 D.244 答案 B 解析 在已知等式中分别取 x=0、x=1 与 x=-1,得 a0=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=35,a0 -a1+a2-a3+a4-a5=-1,因此有 2(a1+a3+a5)=35+1=244,a1+a3+a5=122,a0+a1+a3 +a5=123, 故选 B. 5.(2014·四川)在 x(1+x)6 的展开式中,含 x3 项的系数为(  ) A.30 B.20 C.15 D.10 答案 C 解析 因为(1+x)6 的展开式的第 r+1 项为 Tr+1=Cr6xr,x(1+x)6 的展开式中含 x3 的项为 C26x3 =15x3,所以系数为 15. 6.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画,排成一列,要求同一品 种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的排列方式的种数有(  ) A.A44A55 B.A33A44A35 C.C13A44A55 D.A22A44A55 答案 D 解析 先把 3 种品种的画看成整体,而水彩画受限制应优先考虑,不能放在头尾,故只能放 在中间,又油画与国画有 A 22种放法,再考虑国画与油画本身又可以全排列,故排列的方法有 A 22A44A 55种. 7.二项式( x- 1 3 x)n 的展开式中第 4 项为常数项,则常数项为(  ) A.10 B.-10 C.20 D.-20 答案 B 解析 由题意可知二项式( x- 1 3 x)n 的展开式的常数项为 T4=C3n( x)n-3(- 1 3 x)3=(-1)3C 3n , 令 3n-15=0,可得 n=5. 故所求常数项为 T4=(-1)3C35=-10,故选 B. 3 15 6 n x − 8.有 A、B、C、D、E 五位学生参加网页设计比赛,决出了第一到第五的名次.A、B 两位学生 去问成绩,老师对 A 说:你的名次不知道,但肯定没得第一名;又对 B 说:你是第三名.请 你分析一下,这五位学生的名次排列的种数为(  ) A.6 B.18 C.20 D.24 答案 B 解析 由题意知,名次排列的种数为 C13A33=18. 9.在二项式(x2- 1 x)n 的展开式中,所有二项式系数的和是 32,则展开式中各项系数的和为 (  ) A.32 B.-32 C.0 D.1 答案 C 解析 依题意得所有二项式系数的和为 2n=32,解得 n=5. 因此,令 x=1,则该二项展开式中的各项系数的和等于(12- 1 1)5=0,故选 C. 10.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的 4 个小方格内,每格涂一种颜色,相 邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,则所有涂色方法的种数为(  ) A.60 B.80 C.120 D.260 答案 D 解析 如图所示,将 4 个小方格依次编号为 1,2,3,4.如果使用 2 种颜色,则只 能是第 1,4 个小方格涂一种,第 2,3 个小方格涂一种,方法种数是 C25A22=20; 如果使用 3 种颜色,若第 1,2,3 个小方格不同色,第 4 个小方格只能和第 1 个小 方格相同,方法种数是 C35A33=60,若第 1,2,3 个小方格只用 2 种颜色,则第 4 个方格只能用第 3 种颜色,方法种数是 C35×3×2=60;如果使用 4 种颜色,方法种数是 C45A44=120.根据分类加 法计数原理,知总的涂法种数是 20+60+60+120=260,故选 D. 二、填空题 11.“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为 2013 年社 会关注的五个焦点.小王想利用 2014“五一”假期的时间调查一下社会对这些热点的关注 度.若小王准备按照顺序分别调查其中的 4 个热点,则“雾霾治理”作为其中的一个调查热 点,但不作为第一个调查热点的调查顺序总数为________. 答案 72 解析 先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这 4 个热点选出 3 个, 有 C 34种不同的选法;在调查时,“雾霾治理”安排的调查顺序有 A13种可能情况,其余三个热 点调查顺序有 A 33种,故不同调查顺序的总数为 C34A13A33=72. 12.(x-1)(4x2+ 1 x2-4)3 的展开式中的常数项为________. 答案 160 解析 (x-1)(4x2+ 1 x2-4)3=(x-1)(2x- 1 x)6,其中(2x- 1 x)6 展开式的第 r+1 项为 Tr+1=Cr6 (2x)6-r·(- 1 x)r=(-1)r·Cr6·26-r·x6-2r, 令 r=3,可得 T4=(-1)3C36·23=-160, 所以二项式(x-1)(4x2+ 1 x2-4)3 的展开式中常数项为(-1)×(-160)=160. 13.(2014·北京)把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不 相邻,则不同的摆法有________种. 答案 36 解析 将产品 A 与 B 捆绑在一起,然后与其他三种产品进行全排列,共有 A22A 44种方法,将产 品 A,B,C 捆绑在一起,且 A 在中间,然后与其他两种产品进行全排列,共有 A22A 33种方法.于 是符合题意的排法共有 A22A44-A22A33=36(种). 14.(2014·课标全国Ⅱ)(x+a)10 的展开式中,x7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写 答案) 答案  1 2 解析 设通项为 Tr+1=C r10x10-rar,令 10-r=7, ∴r=3,∴x7 的系数为 C 310a3=15,∴a3= 1 8,∴a= 1 2. 15.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每个车间至少分配一名员工, 且甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为________. 答案 36 解析 若甲、乙分到的车间不再分人,则分法有 C13×A22×C13=18 种;若甲、乙分到的车间再 分一人,则分法有 3×C13×A22=18 种.所以满足题意的分法共有 18+18=36 种. 16.已知(x+ a x)6(a>0)的展开式中常数项为 240,则(x+a)(x-2a)2 的展开式中 x2 项的系数 为________. 答案 -6 解析 (x+ a x)6 的二项展开式的通项为 Tr+1=Cr6x6-r( a x)r=Cr6a ,令 6- 3r 2 =0,得 r=4,则其常数项为 C46a4=15a4=240,则 a4 36 2 r x − =16,由 a>0,故 a=2.又(x+a)(x-2a)2 的展开式中,x2 项为-3ax2.故 x2 项的系数为(- 3)×2=-6.
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