高考理科数学试题全国卷及解析

高考理科数学试题全国卷及解析

‎2016年全国高考理科数学试题全国卷2‎ 第Ⅰ卷 一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（2）已知集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）已知向量，且，则m=（ ）‎ ‎（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8‎ ‎（4）圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）‎ ‎（A）24 （B）18 （C）12 （D）9‎ ‎（6）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）‎ ‎（A）7 （B）12 （C）17 （D）34‎ ‎（9）若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则E的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎（12）已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）‎ ‎（A）0 （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎(13) 的内角的对边分别为，若，，，则 ．‎ ‎(14) 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎（1）如果，那么.[]‎ ‎（2）如果，那么.‎ ‎（3）如果，那么.‎ ‎（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.‎ 其中正确的命题有 ．.(填写所有正确命题的编号）‎ ‎（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．‎ ‎（16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本题满分12分）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前1 000项和．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[]‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2[]‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 概率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0. 05‎ ‎（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；‎ ‎（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；‎ ‎（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值．‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的面积；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的取值范围．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，； ‎ ‎(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作，垂足为．‎ ‎(Ⅰ) 证明：四点共圆；‎ ‎(Ⅱ)若，为的中点，求四边形的 面积．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数，为不等式的解集．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，．‎ ‎2016年全国高考理科数学试题全国卷2‎ 参考答案 ‎（1）【解析】A ‎∴，，∴，故选A．‎ ‎（2）【解析】C ‎，‎ ‎∴，∴，‎ 故选C．‎ ‎（3）【解析】D ‎ ，‎ ‎∵，∴‎ 解得，‎ 故选D．‎ ‎（4）【解析】A 圆化为标准方程为：，‎ 故圆心为，，解得，‎ 故选A．‎ ‎（5）【解析】B 有种走法，有种走法，由乘法原理知，共种走法 故选B．‎ ‎【解析二】：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有条路，再从F处到G处最短共有条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为条，故选B.‎ ‎（6）【解析】C 几何体是圆锥与圆柱的组合体，‎ 设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．‎ 由图得，，由勾股定理得：，‎ ‎，‎ 故选C．‎ ‎（7）【解析】B 由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.‎ ‎（8）【解析】C ‎ 第一次运算：，‎ 第二次运算：，‎ 第三次运算：，‎ 故选C．‎ ‎（9）【解析】D ‎∵，，‎ 故选D．‎ 解法二：对展开后直接平方 解法三：换元法 ‎（10）【解析】C 由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中 由几何概型概率计算公式知，∴，故选C．‎ ‎（11）【解析】A ‎ 离心率，由正弦定理得．‎ 故选A．‎ ‎（12）【解析】B 由得关于对称，‎ 而也关于对称，‎ ‎∴对于每一组对称点 ，‎ ‎∴，故选B．‎ ‎13．【解析】 ‎ ‎∵，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 由正弦定理得：解得．‎ ‎（14）【解析】②③④‎ 对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.‎ ‎（15）【解析】 ‎ 由题意得：丙不拿（2，3），‎ 若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，‎ 若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，‎ 故甲（1，3），‎ ‎（16）【解析】 ‎ 的切线为：（设切点横坐标为）‎ 的切线为：‎ ‎∴‎ 解得 ‎ ‎∴．‎ ‎17．【解析】⑴设的公差为，，‎ ‎∴，∴，∴．‎ ‎∴，，．‎ ‎⑵记的前项和为，则 ‎．‎ 当时，；‎ 当时，；‎ ‎ 当时，；‎ 当时，．‎ ‎∴．‎ ‎18．⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，‎ ‎．‎ ‎⑵设续保人保费比基本保费高出为事件，‎ ‎．‎ ‎⑶解：设本年度所交保费为随机变量．‎ 平均保费 ‎ ，‎ ‎∴平均保费与基本保费比值为．‎ ‎19.【解析】⑴证明：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵四边形为菱形，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴；‎ 又，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴面．‎ ‎⑵建立如图坐标系．‎ ‎，，，，‎ ‎，，，‎ 设面法向量，‎ 由得，取，‎ ‎∴．‎ 同理可得面的法向量，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎20．【解析】 ⑴当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，‎ 则直线AM的方程为．‎ 联立并整理得，‎ 解得或，则 因为，所以 因为，，‎ 所以，整理得，‎ 无实根，所以．‎ 所以的面积为．‎ ‎⑵直线AM的方程为，‎ 联立并整理得，‎ 解得或，‎ 所以 所以 因为 所以，整理得，．‎ 因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得 解得．‎ ‎（21）【解析】⑴证明：‎ ‎ ‎ ‎ ∵当时，‎ ‎ ∴在上单调递增 ‎ ∴时，‎ ‎ ∴‎ ‎⑵ ‎ ‎ ‎ ‎ 由(1)知，当时，的值域为，只有一解．‎ ‎ 使得，‎ 当时，单调减；当时，单调增 记，在时，，∴单调递增 ‎∴．‎ ‎（22）【解析】（Ⅰ）证明：∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎∴B，C，G，F四点共圆．‎ ‎（Ⅱ）∵E为AD中点，，‎ ‎∴，‎ ‎∴在中，，‎ 连接，，‎ ‎∴．‎ ‎（23）解：⑴整理圆的方程得，‎ ‎ 由可知圆的极坐标方程为．‎ ‎ ⑵记直线的斜率为，则直线的方程为，‎ ‎ 由垂径定理及点到直线距离公式知：，‎ ‎ 即，整理得，则．‎ ‎（24）【解析】解：⑴当时，，若；‎ 当时，恒成立；‎ 当时，，若，．‎ 综上可得，．‎ ‎⑵当时，有，‎ 即， ‎ 则，‎ 则，‎ 即，‎ ‎ 证毕．‎