2010高考数学一轮复习推理与证明

2010高考数学一轮复习推理与证明

考纲导读 推理与证明 ‎（一）合情推理与演绎推理 ‎1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。 ‎2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。 ‎3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 ‎（二）直接证明与间接证明 ‎1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 ‎2．了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。 ‎（三）数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 高考导航 ‎1．推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。 ‎2．推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。 第1课时 合情推理与演绎推理 基础过关 ‎1. 推理一般包括合情推理和演绎推理； ‎2.合情推理包括 和 ； 归纳推理：从个别事实中推演出 ，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是： 、 、 . 类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也 或 ，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是： 、 、 . ‎3.演绎推理：演绎推理是 ，按照严格的逻辑法则得到的 推理过程；三段论常用格式为：①M是P，② ，③S是P；其中①是 ，它提供了一个个一般性原理；②是 ，它指出了一个个特殊对象；③是 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断. ‎4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程． 典型例题 例1. 已知：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： ‎________________________________________=（ * ）并给出（ * ）式的证明. 解：一般形式: 证明：左边 = ‎ = ‎= ‎= = ‎（将一般形式写成 等均正确。） 变式训练1：设，，n∈N，则 解：，由归纳推理可知其周期是4 例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形， 按图所标边长，由勾股定理有： 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 . 解：。 变式训练2：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。 答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形， 所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。 取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A—BCD，且AB=a，AC=b，AD=c， 则此三棱锥的外接球的半径是。 例3. 请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。 答案： 推广的结论：若 都是正数， ‎ 证明： ∵都是正数 ∴ ， ‎………，， 变式训练3：观察式子：，…，则可归纳出式子为（ ） A、 B、 C、 D、 答案：C。解析：用n=2代入选项判断。 例4. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。 变式训练4：“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。 答案：菱形对角线互相垂直且平分 基础过关 第2课时 直接证明与间接证明⑴ ‎1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明； 直接证明的两种基本方法——分析法和综合法 ‎⑴ 综合法 —— ；⑵分析法 —— ；Þ Þ Þ ‎2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法；反证法即从 ‎ 开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）. 典型例题 例1．若均为实数，且。 求证：中至少有一个大于0。 答案：（用反证法） 假设都不大于0，即，则有， 而 = ‎∴均大于或等于0，，∴，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。 变式训练1：用反证法证明命题“可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是 答案：a,b中没有一个能被5整除。解析：“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。 例2. △ABC的三个内角A、B、C成等差数列， 求证：。 答案：证明：要证，即需证。 即证。 又需证，需证 ‎∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。 由余弦定理，有，即。 ‎∴成立，命题得证。 变式训练2：用分析法证明：若a>0，则。 答案：证明：要证， 只需证。 ‎∵a>0，∴两边均大于零，因此只需证 只需证， 只需证，只需证， 即证，它显然成立。∴原不等式成立。 例3．已知数列，，，． 记．．‎ 求证：当时，‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）。‎ 解：（1）证明：用数学归纳法证明．‎ ‎①当时，因为是方程的正根，所以．‎ ‎②假设当时，，‎ 因为 ‎ ，‎ 所以．‎ 即当时，也成立．‎ 根据①和②，可知对任何都成立．‎ ‎（2）证明：由，（），‎ 得．‎ 因为，所以．‎ 由及得，‎ 所以．‎ ‎（3）证明：由，得 所以，‎ 于是，‎ 故当时，，‎ 又因为，‎ 所以．‎ 推理与证明章节测试题 ‎1.考察下列一组不等式： .将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 .‎ 2． 已知数列满足，（），则的值为 ， 的值为 ． ‎ ‎3. 已知 ，猜想的表达式为（ ）‎ A.； B.； C.； D..‎ ‎4. 某纺织厂的一个车间有技术工人名（），编号分别为1、2、3、……、，有台（）织布机，编号分别为1、2、3、……、，定义记号：若第名工人操作了第号织布机，规定，否则，则等式的实际意义是（ ）‎ A、第4名工人操作了3台织布机； B、第4名工人操作了台织布机；‎ C、第3名工人操作了4台织布机； D、第3名工人操作了台织布机.‎ ‎5. 已知，计算得，，，，，由此推测：当时，有 ‎ ‎……‎ ‎6. 观察下图中各正方形图案，每条边上有个圆圈，每个图案中圆圈的总数是，按此规律推出：当时，与的关系式 ‎ ‎ ‎ 7. 观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论： .‎ ‎8.函数由下表定义：‎ 若，，，则 ．‎ ‎9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形,‎ ‎ 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用表示)‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ 图4‎ ‎10.将正奇数按下表排成5列 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ 第2行 ‎15‎ ‎13‎ ‎11‎ ‎9‎ 第3行 ‎17‎ ‎19‎ ‎21‎ ‎23‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎27‎ ‎25‎ 那么2003应该在第 行，第 列。‎ 11． 如右上图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，，一直数到2008时，对应的指头是 (填指头的名称). ‎ ‎12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为_____．‎ ‎13．观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有 个小正方形.‎ ‎14．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n的代数式表示）‎ ‎15.如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则.‎ 类比以上性质,体积为的三棱锥的第个面的面积记为, 此三棱锥内任一点到第个面的距离记为,若, 则 ( B ) ‎ A. B. C. D. 16.设O是内一点，三边上的高分别为，O到三边的距离依次为，则__ _______，类比到空间，O是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别为，O到这四个面的距离依次为，则有_ __ ‎ ‎17．在中，两直角边分别为、，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥中的三条侧棱、、两两垂直，且长度分别为、、，设棱锥底面上的高为，则 ．‎ ‎18、若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则= 时，数列也是等比数列。‎ ‎19．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且，如果b＝m（mN*），则这样的三角形共有 个（用m表示）．‎ ‎20．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n行(n≥2)中第2个数是________（用n表示）.‎ ‎21．在△ABC中，，判断△ABC的形状并证明.‎ ‎22．已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设 ‎ ‎23.中，已知，且，求证：为等边三角形。‎ ‎ ‎ ‎24．如图，、、…、 是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．‎ ‎（1）写出、、；‎ ‎（2）求出点（）的横坐标关于的表达式并证明.‎ 推理与证明章节测试题答案 ‎1. ‎ 2． ‎3. B.‎ ‎4. A ‎5.‎ ‎6. ‎ ‎7.‎ ‎8.4‎ ‎9.‎ ‎10.251,3‎ 11． 食指 ‎ ‎12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为__7____．‎ ‎13．‎ ‎14． ‎ ‎15、B提示:平面面积法类比到空间体积法 16． ‎1. 提示：平面面积法类比到空间体积法 ‎17．．‎ ‎18、提示：等差数列类比到等比数列，算术平均数类比到几何平均数 ‎19．‎ ‎20．‎ ‎21．解:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以三角形ABC是直角三角形 ‎22． 三个方程中都没有两个相异实根 ‎ ‎ 证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，‎ 则Δ1=4b2－‎4ac≤0，Δ2=‎4c2－4ab≤0，Δ3=‎4a2－4bc≤0.‎ 相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－‎2ac+a2≤0，‎ ‎（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0. ①‎ 由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.‎ ‎∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.‎ 方法总结：反证法步骤—假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立.‎ 凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.‎ ‎23.解: 分析：由 ‎ 由 ‎ ‎ ‎ 所以为等边三角形 ‎24.如图，、、…、 是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．‎ ‎（1）写出、、；‎ ‎（2）求出点（）的 横坐标关于的表达式并证明.‎ 解:（Ⅰ）……………….6分 ‎（2）依题意，得，由此及得 ‎，‎ 即．‎ ‎ 由（Ⅰ）可猜想：．‎ ‎ 下面用数学归纳法予以证明：‎ ‎ （1）当时，命题显然成立；‎ ‎ （2）假定当时命题成立，即有，则当时，由归纳假设及 得，即 ‎，‎ 解之得 ‎（不合题意，舍去），‎ 即当时，命题成立．‎ ‎ 由（1）、（2）知：命题成立．……………….10分