高考数学导学练系列导数及其应用

高考数学导学练系列导数及其应用

导数及其应用 考纲导读 ‎1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.‎ ‎2. 熟记八个基本导数公式(c,(m为有理数)， 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.‎ ‎3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．‎ 知识网络 高考导航 导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.‎ 第1课时 变化率与导数、导数的计算 基础过关 ‎1．导数的概念：函数y＝的导数，就是当Δ0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的 ，即＝ ＝ ．‎ ‎2．导函数：函数y＝在区间(a, b)内 的导数都存在，就说在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的 ，记作或，函数的导函数在时的函数值 ，就是在处的导数.‎ ‎3．导数的几何意义：设函数y＝在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的 .‎ ‎4．求导数的方法 ‎(1) 八个基本求导公式 ‎＝ ； ＝ ；(n∈Q) ‎ ‎＝ ， ＝ ‎ ‎＝ ， ＝ ‎ ‎＝ ， ＝ ‎ ‎(2) 导数的四则运算 ‎＝ ＝ ‎ ‎＝ ，＝ ‎ ‎(3) 复合函数的导数 设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导， 且＝ ，即.‎ 典型例题 例1．求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.‎ 解 ∵Δy=‎ ‎ ‎ 变式训练1. 求y=在x=x0处的导数. 解 ‎ 例2. 求下列各函数的导数：‎ ‎ （1） （2）‎ ‎ （3） （4）‎ ‎ 解 (1)∵‎ ‎ ∴y′‎ ‎ （2）方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.‎ ‎ 方法二 =‎ ‎=（x+3）+（x+1）（x+2）‎ ‎=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11. ‎（3）∵y=‎ ‎∴‎ ‎（4） ，‎ ‎∴‎ 变式训练2：求y=tanx的导数.‎ ‎ 解 y′‎ 例3. 已知曲线y= ‎（1）求曲线在x=2处的切线方程； ‎（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.‎ ‎ 解 （1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4.  ‎∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. ‎ ‎（2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点，‎ 则切线的斜率k=|=. ‎ ‎∴切线方程为即 ‎ ‎∵点P（2，4）在切线上，∴4=‎ 即∴‎ ‎∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,‎ 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. ‎ 变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= .‎ ‎ 答案 2或 例4. 设函数 (a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.‎ ‎（1）解 ，‎ 于是解得或 因为a,bZ，故 ‎（2）证明 在曲线上任取一点．‎ 由知，过此点的切线方程为 ‎．‎ 令x=1，得，切线与直线x=1交点为．‎ 令y=x，得，切线与直线y=x的交点为．‎ 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)．‎ 从而所围三角形的面积为．‎ 所以，所围三角形的面积为定值2.‎ 变式训练4：偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式. 解 ∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1. ① 又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）. 故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. ‎∴b=0，d=0. ② ‎∴f（x）=ax4+cx2+1. ‎∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）. ‎∴a+c+1=-1. ③ ‎∵=(4ax3+2cx)|x=1=‎4a+‎2c，∴‎4a+‎2c=1. ④ 由③④得a=，c=.∴函数y=f（x）的解析式为 ‎[来源:Z*xx*k.Com]‎小结归纳 ‎1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。‎ ‎2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.‎ ‎3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.[来源:学|科|网]‎ 第2课时 导数的概念及性质 基础过关 ‎1． 函数的单调性 ‎⑴ 函数y＝在某个区间内可导，若＞0，则为 ；若＜0，则为 .（逆命题不成立）‎ ‎(2) 如果在某个区间内恒有，则 .‎ 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.‎ ‎(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：‎ ‎① 确定函数的 ；‎ ‎② 求，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；‎ ‎③ 把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；‎ ‎④ 确定在各小开区间内的 ，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.‎ ‎2．可导函数的极值 ‎⑴ 极值的概念 设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有 （或 ），则称为函数的一个极大（小）值．称为极大（小）值点.‎ ‎⑵ 求可导函数极值的步骤：‎ ‎① 求导数；‎ ‎② 求方程＝0的 ；‎ ‎③ 检验在方程＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝在这个根处取得 ‎ ‎；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝在这个根处取得 .‎ ‎3．函数的最大值与最小值：‎ ‎⑴ 设y＝是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝在(a ,b )内有导数，则函数y＝在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值．‎ ‎(2) 求最值可分两步进行：‎ ‎① 求y＝在(a ,b )内的 值；‎ ‎② 将y＝的各 值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.‎ ‎(3) 若函数y＝在[a ,b ]上单调递增，则为函数的 ，为函数的 ；若函数y＝在[a ,b ]上单调递减，则为函数的 ，为函数的 .‎ 典型例题 例1. 已知f(x)=ex-ax-1. ‎（1）求f(x)的单调增区间； ‎（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围； ‎（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.‎ 解：=ex-a. ‎（1）若a≤0，=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增. 若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). ‎（2）∵f（x）在R内单调递增，∴≥0在R上恒成立. ‎∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立. ‎∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0. ‎（3）方法一 由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立. ‎∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数. ‎∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立. ‎∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1. 方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴=0,即e0-a=0,∴a=1.‎ 变式训练1. 已知函数f(x)=x3-ax-1. ‎（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； ‎（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由； ‎（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方. ‎（1）解 由已知=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数， ‎∴=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立. ‎∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，=3x2≥0, 故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0. ‎（2）解 由=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立. ‎∵-10,即e-ax(-ax2+2x)>0,得02时,f(x）在（1，2）上是减函数, ‎∴f（x）max=f（1）=e-a. ‎ ‎②当1≤≤2,即1≤a≤2时， f(x)在上是增函数，在上是减函数， ‎∴f(x)max=f=‎4a-2e-2. ‎ ‎③当>2时，即02时，f(x)的最大值为e-a. ‎ 变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R. ‎（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；‎ ‎（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值. 解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x, f(2)=-2,=-3x2+4x-1, ‎-12+8-1=-5, ‎∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为 ‎5x+y-8=0. ‎（2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x, ‎=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a), 令=0,解得x=或x=a. 由于a≠0，以下分两种情况讨论. ‎①若a>0，当x变化时，的正负如下表： x ‎(-∞,)‎ ‎(,a)‎ a ‎(a,+∞)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎0‎ ‎↘‎ 因此，函数f(x)在x=处取得极小值f（）， 且f（）=- 函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0. ‎②若a<0，当x变化时，的正负如下表： x ‎(-∞,a)‎ a ‎(a,)‎ ‎(,+∞)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↘‎ ‎0[来源:学科网]‎ ‎↗‎ ‎-‎ ‎↘‎ 因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0； 函数f(x)在x=处取得极大值f（）, 且f（）=-.‎ 例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式； ‎（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.‎ 解 （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］. ‎(2) =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+‎2a-3x). 令=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）. ‎∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤. 在x=6+a两侧L′的值由正变负. 所以①当8≤6+a＜9即3≤a＜时，Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). ‎②当9≤6+a≤，即≤a≤5时， Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］2=4(3-a)3. 所以 答 若3≤a＜，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若≤a≤5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)= (万元).‎ 变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).‎ ‎（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本） ‎（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ ‎（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？‎ 解：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5 000(x∈N*，且1≤x≤20); MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275 (x∈N*,且1≤x≤19). ‎（2）=-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ‎∵x>0,∴=0时,x=12， ‎∴当00,当x>12时，<0, ‎∴x=12时，P(x)有最大值. 即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大. ‎（3）MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305. 所以，当x≥1时，MP(x)单调递减， 所以单调减区间为［1，19］，且x∈N*. MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.‎ 小结归纳 研究可导函数的单调性、极值（最值）时，应先求出函数的导函数，再找出＝0的x取值或>0(<0)的x的取值范围．‎ 导数及其应用单元检测题 一、选择题[来源:Zxxk.Com]‎ ‎1.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）‎ A.e2 B.2e‎2 C.e2 D. ‎2.如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=的图象可能是 ( )‎ ‎3.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是 （ ） A.(0, B.(+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(,+∞） ‎4.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点，则 ( ) A.a<-1 B.a>-1 C.a<- D.a>- ‎5.已知函数y=f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且y极小值=-4，那么p、q的值分别为 （ ） A.6,9 B.9,‎6 C.4,2 D.8,6 ‎6.已知x≥0,y≥0，x+3y=9,则x2y的最大值为 （ ） A.36 B‎.18 C.25 D.42 ‎7.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是 （ ） ‎①f(x)>0的解集是{x|00  D.b<‎ 二、填空题 ‎ ‎13.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为 . ‎14.如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断： ‎①f(x）在［-2，-1］上是增函数； ‎②x=-1是f(x)的极小值点； ‎③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数； ‎④x=3是f(x)的极小值点. 其中判断正确的是 . ‎15.函数f(x)的导函数y=的图象如右图，则函数f(x)的单调递增区间为 . ‎16.已知函数f(x)的导函数为,且满足f(x)=3x2+2x,则= . 三、解答题 ‎17.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ ‎(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围; ‎(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)2或c<-1，所以c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）.‎ ‎18.解 命题p:由原式得f(x)=x3-ax2-4x+‎4a, ‎∴=3x2-2ax-4,y′的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线. 由条件得≥0且≥0, 即∴-2≤a≤2. 命题q: ‎∵该不等式的解集为R，∴a<-1. 当p正确q不正确时,-1≤a≤2; 当p不正确q正确时，a<-2. ‎∴a的取值范围是（-∞，-2）∪［-1，2］. ‎19.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2+ax ‎∴=3x2-2(a+1)x+a 要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需=3x2-2(a+1)x+a在（2，+∞）上满足≥0即可. ∵=3x2-2(a+1)x+a的对称轴是x=, ‎∴a的取值应满足：或 解得:a≤.∴a的取值范围是a≤.‎ ‎20.解 （1）∵函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数, ‎∴F(-x)=-F(x)，化简计算得b=3. ‎∵函数f(x)在x=-1处取极值，∴=0. f(x)=-2x3+3x2+cx, =-6x2+6x+c ‎∴=-6-6+c=0,c=12.‎ ‎∴f(x)=-2x3+3x2+12x, ‎（2）=-6x2+6x+12=-6(x2-x-2). 令=0,得x1=-1,x2=2, x ‎-3‎ ‎(-3,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,2)‎ ‎2‎ ‎（2，3）‎ ‎3[来源:学,科,网]‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎45‎ ‎↘‎ ‎-7‎ ‎↗‎ ‎20‎ ‎↘‎ ‎9‎ ‎∴函数f(x)在［-3，-1］和［2，3］上是减函数， 函数f(x)在［-1，2］上是增函数.‎ ‎21. 解 设P（x0，y0），则y0=, ‎∴过点P的切线斜率k=x0, 当x0=0时不合题意，∴x0≠0. ‎∴直线l的斜率kl=-, ‎∴直线l的方程为y-. 此式与y=联立消去y得 x2+‎ 设Q（x1,y1）,M(x,y).∵M是PQ的中点， ‎∴‎ 消去x0，得y=x2++1 (x≠0)就是所求的轨迹方程.由x≠0知x2>0, ‎∴y=x2++1≥2‎ 上式等号仅当x2=,即x=±时成立， 所以点M到x轴的最短距离是+1.‎ ‎22. 解 =3t2+2bt+c. 由图象可知，s(t)在t=1和t=3处取得极值. 则=0, =0. 即解得 ‎∴=3t2-12t+9=3(t-1)(t-3). 当t∈［，1）时，>0. 当t∈(1,3)时，<0. 当t∈(3,4)时，>0. 则当t=1时，s(t)取得极大值为4+d. 又s(4)=4+d， 故t∈［，4］时，s(t)的最大值为4+d. 已知s(t)<3d2在［，4］上恒成立，[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎∴s(t)max<3d2.即4+d<3d2. 解得d>或d<-1.∴d的取值范围是{d|d>或d<-1}.‎ www.ks5u.com