湖南高考理科数学试卷带详解

湖南高考理科数学试卷带详解

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数学（理工农医类）‎ 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分.‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎【测量目标】复数乘法的运算法则,复数集与复平面上的点对应关系.‎ ‎【考查方式】利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】复数对应复平面上的点是该点位于第二象限.‎ ‎2.某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 （ ）‎ A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 ‎ ‎【测量目标】分层抽样.‎ ‎【考查方式】给出实际案例，判断其解决问题的方法属于四种抽样方法的哪一种.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法.‎ ‎3.在锐角中，角所对的边长分别为.若则角等于 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【测量目标】正弦定理. ‎ ‎【考查方式】给出三角形中的边角关系，运用正弦定理求解未知角.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】在中，(为的外接圆半径).（步骤1）,（步骤2）又为锐角三角形，.（步骤3）‎ ‎4.若变量满足约束条件，则的最大值是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.‎ ‎【考查方式】利用线性规划知识求目标函数的最值问题.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】根据不等式组作出其平面区域，令结合的特征求解.不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，（步骤1）平行移动可知该直线经过与的交点时，有最大值为.（步骤2）‎ 第4题图 ‎ ‎5.函数的图象与函数的图象的交点个数为 （ ）‎ A．3 B．‎2 ‎ C．1 D．0 ‎ ‎【测量目标】函数图象的应用.‎ ‎【考查方式】先作出常见函数图象再确定其图象交点个数.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】又当时，（步骤1）在同一直角坐标系内画出函数与的图象，如图所示，可知与有2个不同的交点.（步骤2）‎ 第5题图 ‎ ‎6. 已知是单位向量，.若向量满足则的取值范围是 （ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【测量目标】向量数量积的运算及定义、向量加法的几何意义.‎ ‎【考查方式】将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律以及向量数量积定义的求解.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】由题意，不妨令，由得，（步骤1）可看做到原点的距离，而点在以为圆心，以1为半径的圆上．（步骤2）如图所示，当点在位置时到原点的距离最近，在位置时最远，而，故选A．（步骤3）‎ 第6题图 ‎ ‎7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【测量目标】空间几何体三视图.‎ ‎【考查方式】根据正方体的正视图的形状来求解其面积值.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为，如图所示．故正视图的面积为，∴，而，故面积不可能等于.‎ 第7题图 ‎ ‎8.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到点（如图）.若光线经过的重心，则等于（ ）‎ 第8题图 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【测量目标】直线的斜率，直线的方程.‎ ‎【考查方式】已知一个三角形的边长关系，建立平面直角坐标系求解未知边的值.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)．（步骤1）‎ 设△ABC的重心为D，则D点坐标为.设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴的对称点P1为(－m,0)，（步骤2）因为直线BC方程为x＋y－4＝0，所以P点关于BC的对称点P2为(4,4－m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，∴，即，（步骤3）解得，m＝或m＝0.当m＝0时，P点与A点重合，故舍去．∴.（步骤4）‎ 第8题图 ‎ 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.‎ ‎（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）‎ ‎9.在平面直角坐标系中，若(为参数)，过椭圆C（为参数）的右顶点，则常数 .‎ ‎【测量目标】参数方程的转化，椭圆的简单几何性质.‎ ‎【考查方式】先将参数方程化为普通方程后求解，再运用椭圆的简单几何性质求出未知参数.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】3‎ ‎【试题解析】由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为y＝x－a，椭圆的方程为，（步骤1）所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a，解得a＝3. （步骤2）‎ ‎10.已知则的最小值为 .‎ ‎【测量目标】柯西不等式，最值问题.‎ ‎【考查方式】使用柯西不等式化简式子求其最值.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】12‎ ‎【试题解析】由柯西不等式得，即，（步骤1）当时等号成立，所以的最小值为12. （步骤2）‎ ‎11.如图，在半径为的中,弦相交于点，，则圆心到弦的距离为 .‎ 第11题图 ‎ ‎【测量目标】圆的相交弦定理及圆的弦的性质，解三角形.‎ ‎【考查方式】由相交弦定理求出圆内线段的长再根据弦的性质求解三角形中未知数.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】如图所示，取CD中点E，连结OE，OC．由圆内相交弦定理知，（步骤1）所以PC＝4，CD＝5，则CE＝，OC＝.（步骤2）所以到距离为.（步骤3）‎ 第11题图 ‎ 必做题（12-16题）‎ ‎12.若则常数的值为 .‎ ‎【测量目标】微积分基本定理.‎ ‎【考查方式】利用微积分基本定理建立方程求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】3‎ ‎【试题解析】∵，∴，∴. ‎ ‎13.执行如图所示的程序框图，如果输入 .‎ 第13题图 ‎ ‎【测量目标】循环结构的程序框图.‎ ‎【考查方式】阅读程序框图，运行程序得出结果.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】9‎ ‎【试题解析】输入不满足故a＝3；a＝3不满足a＞8，故a＝5；a＝5不满足a＞8，故a＝7；＝7不满足＞8，故＝9，满足＞8，终止循环．输出＝9.‎ ‎14．设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若且的最小内角为，则C的离心率为___.‎ ‎【测量目标】双曲线的定义，余弦定理.‎ ‎【考查方式】根据双曲线的定义及已知条件，利用余弦定理建立关于的方程求解.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】不妨设|PF1|＞|PF2|，由可得（步骤1）∵‎2a＜‎2c，∴∠PF‎1F2＝30°，∴，（步骤2）‎ 整理得，，即.（步骤3）‎ ‎15．设为数列的前项和，则（1）_____； （2）___________.‎ ‎【测量目标】已知递推关系求通项，数列的前项和.‎ ‎【考查方式】根据建立关于的关系式，根据的关系式归纳寻找其规律后求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】 ‎ ‎【试题解析】（步骤1）当为偶数时，当为奇数时，,（步骤2）当时.（步骤3）根据以上的关系式及递推式可求：（步骤4）（步骤6）‎ ‎16．设函数 ‎（1）记集合{不能构成一个三角形的三条边长，且}，则所对应的的零点的取值集合为____.‎ ‎（2）若是的三条边长，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）‎ ①‎ ②使不能构成一个三角形的三条边长；‎ ③若为钝角三角形，则，使 ‎【测量目标】对数的运算，对数、指数函数的性质，余弦定理，函数零点存在性定理.‎ ‎【考查方式】由三角形的构成条件与函数的零点存在性求解未知参数的范围，以及举反例验证.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】 ①②③‎ ‎【试题解析】(1)且不能构成三角形三边，（步骤1）令得，即.（步骤2）（步骤3）‎ ‎（2）①是三角形的三条边长，当时， （步骤4）故①正确（步骤5）；②令，则可以构成三角形.但却不能构成三角形，故②正确；（步骤6）③且为钝角三角形，又（步骤7）函数在上存在零点，故③正确. （步骤8）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（I）若是第一象限角，且.求的值；‎ ‎（II）求使成立的x的取值集合.‎ ‎【测量目标】两角和与差的正、余弦公式，二倍角的余弦公式以及三角函数不等式的解法.‎ ‎【考查方式】运用三角恒等变换公式化简函数求解.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】（I）.（步骤1）（步骤2）‎ ‎（II）（步骤3）‎ ‎（步骤4）‎ ‎18．（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51 ‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.‎ ‎（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；‎ ‎（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.‎ 第18题图 ‎ ‎【测量目标】古典概型，分布列数学期望.‎ ‎【考查方式】利用古典概型求概率，根据所求概率列出分布列，结合期望公式求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】(Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有,8对格点恰好“相近”.所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率.（步骤1）‎ ‎（Ⅱ）三角形共有15个格点.与周围格点的距离不超过‎1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4).所以（步骤2），与周围格点的距离不超过‎1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).所以（步骤3），与周围格点的距离不超过‎1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0，1) ,(0，2),(0，3).所以（步骤4）与周围格点的距离不超过‎1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1).所以（步骤5）如下表所示：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 频数 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ 概率P ‎. （步骤6）‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，在直棱柱，，.‎ ‎（I）证明：； （II）求直线与平面所成角的正弦值.‎ 第19题图 ‎ ‎【测量目标】线面垂直的判定与性质，线面角.‎ ‎【考查方式】利用空间线面垂直的性质证明线线垂直，建立空间直角坐标系用向量法证明，再求直线与平面所成角的正弦值 ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】(Ⅰ)是直棱柱面，且面面（步骤1）又，且，面，面.（步骤2） ‎ ‎（Ⅱ）直线与平面的夹角即直线与平面的夹角.（步骤3）‎ 建立直角坐标系，用向量解题.设原点在点，为轴正半轴，为轴正半轴，为z的正半轴.‎ 设，则 ‎（步骤4）‎ 设平面的法向量为，则平面的一个法向量（步骤5）‎ 所以平面的一个法向量 所以与平面夹角的正弦值为.（步骤6）‎ 第19题（Ⅱ）图 ‎ ‎20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径与路径都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面内三点处.现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心.‎ ‎（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；‎ ‎（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.‎ 第20题图 ‎ ‎【测量目标】绝对值函数最值.‎ ‎【考查方式】将实际案例中的关系先列出式子再将其转化为含绝对值的和的形式，进行分类讨论求解.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】（I）设点，且点P到点A（3，20）的“L路径”的最短距离d 等于水平距离加上垂直距离，即，其中（步骤1）‎ ‎（Ⅱ）点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v（且h和v互不影响）.显然当y=1时，v = 20+1=21；显然当时，水平距离之和,且当x=3时，h=24.因此,当P(3,1)时，d=21+24=45. （步骤2）‎ 所以，当点满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45. （步骤3）‎ ‎21．（本小题满分13分）过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线 ‎，且，相交于点A，B，与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为.‎ ‎（I）若，证明；；‎ ‎（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程.‎ ‎【测量目标】抛物线的定义，向量数量积的定义，圆的方程，直线与抛物线的位置关系.‎ ‎【考查方式】先将直线方程带入抛物线的方程，利用向量数量积的坐标运算求解，再求出圆的相交弦方程利用点到直线的距离公式及函数思想求解.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】(Ⅰ)已知抛物线的焦点为设（步骤1）直线方程：与抛物线方程联立，化简整理得（步骤2）‎ ‎（步骤3）同理.（步骤4）（步骤5）‎ 所以，成立. （步骤6）‎ ‎（Ⅱ）设圆的半径分别为 ‎（步骤7）同理则的方程分别为， （步骤7）直线的方程为：‎ ‎.‎ ‎（步骤8）‎ 点到直线的距离为：‎ ‎.抛物线的方程为（步骤9）‎ ‎22．（本小题满分13分）已知，函数.‎ ‎（I）记在区间上的最大值为求的表达式；‎ ‎（II）是否存在，使函数在区间内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【测量目标】利用导数求分段函数的最值，导数的几何意义.‎ ‎【考查方式】根据已知条件转化函数为分段函数再求导，判断极值点所在区间进行分类讨论，依题意将问题转化为函数单调性不一致区间上的两个点处的导数之积等于建立方程求解.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】(Ⅰ)当 当或时，是单调递增的；（步骤1）,当时，是单调递减的.由上知，（步骤2）当时在上单调递减，其最大值为,（步骤3）当时，在上单调递减，在上单调递增. （步骤4）令，解得：，即当时，的最大值为，（步骤5）‎ 当时，的最大值为，综上，.（步骤6）‎ ‎（II）由前知，的图象是由两段反比例函数的图象组成的.因此，若在图象上存在两点满足题目要求，则P,Q分别在两个图象上，且.（步骤7）‎ ‎()（步骤8）‎ 不妨设 ‎（步骤9）‎ 所以，当时，函数在区间内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直. （步骤10） ‎