高考解析几何与立体几何复习的几点思考

高考解析几何与立体几何复习的几点思考

高考解析几何与立体几何复习的几点思考 北师大昆明附中 宋祖发 ‎ 第一部分 解析几何 ‎ 解析几何是初等数学与高等数学的衔接点,是中学数学的重要内容.解析几何的核心思想是“ 坐标思想”,即通过坐标系,使点对应到数对,直线与曲线对应于方程,从而把几何问题转化为代数问题,通过代数方程来表示和研究曲线，从而使代数和几何之间建立实质性的联系，可以说，解析几何是各种数学思想方法的综合点，是主干知识的交汇点。‎ 一、解析几何命题的特点 ‎ 题型相对稳定，一般考查三个小题，一 个大题，文理科差异主要体现在小题上。‎ 三个小题着重考查基本概念与性质，一般会出现一个较难的题目，但入口较容易。 ‎ 二、解析几何的命题趋势（从内容上来看）‎ 1． 直线以倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等有关的问题为基本问题，其中要重视“对称问题”的解答方法；‎ 2． 与圆的位置有关的问题，一是研究方程组，二是充分利用平面几何知识，后者是常用方法；‎ 3． 求曲线的方程或轨迹问题，涉及圆锥曲线的概念和几何性质问题；‎ 4． 直线与圆椎曲线的位置关系问题，如参数的取值范围、最值问题等，这是高考的重点内容之一；（学科内的小综合）‎ 5． 以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点设计问题，其目的是加强联系、注重应用，以考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力。（大综合）‎ 三、需要突破的几个难点：‎ ‎（一）直线与圆的位置关系问题 ‎（二）求曲线的方程，讨论其几何性质 解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门属性为学科，主要表现为在坐标系的基础上求出曲线方程，进而根据方程研究曲线性质。‎ ‎ 评析： 应用定义求动点轨迹或其方程，其优势在于避免列式、化简等繁琐的代数处理过程，给人以简捷、明快之感。‎ ‎ ‎ 评析：向量与解析几何的结合是高考命题的新趋势。本题需要应用向量的数量积进行等价转化，这是向量背景下求动点轨迹的“直译法”，难度较小，但是，如果不能将“‎ 向量语言”准确转化为“坐标语言”，或在化简过程中不细心都会可能出现错误。“细节决定成败”。‎ ‎（三）直线与圆锥曲线的位置关系 直线和圆锥曲线的位置关系是平面几何的重要问题，它可以将解析几何中的一些主要内容有机地整合在一起。‎ ‎（四）适当交汇，注重联系 圆锥曲线问题是中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系多项内容的媒体，常与函数、不等式、数列、平面向量、导数等内容交叉渗透，题型新颖别致、自然流畅。这类题综合性强、解题灵活、思维抽象。因此在复习时要突出构建知识网络，从圆锥曲线整体的高度考虑问题，在解题实践中领悟蕴含的数学思想和方法。‎ 解:（Ⅰ）椭圆的半焦距，‎ 由知点在以线段为直径的圆上，故，‎ 所以，　‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得　‎ 设，，则 ‎，‎ ‎；‎ 因为与相交于点，且的斜率为，‎ 所以，　‎ 四边形的面积 ‎　‎ 当时，上式取等号　‎ ‎（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积　‎ 综上，四边形的面积的最小值为　‎ 评析：第一问实际上是证明点P在椭圆的内部；第二问把要解决的解析几何问题转化为代数中的方程、不等式或函数问题，这是在转化与化归思想指导下“几何问题代数化”的具体体现。‎ 在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量 求：‎ ‎（Ⅰ）点M的轨迹方程； （Ⅱ）的最小值 ‎ 解: 椭圆方程可写为: + =1 式中a>b>0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x>0,y>0) y=2(01,y>2) ‎ ‎(Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= =4+ , ‎ ‎∴| |2= x2－1++5≥4+5=9 且当x2－1= ,即x=>1时,上式取等号 ‎ 故||的最小值为3 ‎ 评析：与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题综合性较大，解题时需要根据具体问题，灵活运用平面几何、函数、不等式、三角等知识，正确地构建圆锥曲线与其它数学知识的联系。‎ 解析几何是高考命题的重要内容。选择题、填空题属容易或中等题，解答题计算量减少，思维量增大。重点仍然是直线与圆锥曲线位置关系，热点主要体现在以下几个方面：直线与圆锥曲线的基础题、轨迹问题、参数范围问题、最值问题，是否存在型的探索问题等。从“在知识网络交汇点设计试题”这一命题思想出发，还应该注重与平面向量、函数、导数、不等式、数列等相结合的解析几何问题。‎ 第二部分 立体几何 一、考纲解读 ‎ 1．掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图。能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。能够根据图形想象它们的位置关系。‎ ‎ 2．掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，理解异面直线的距离。‎ ‎ 3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理。掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理。掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念。掌握三垂线定理及逆定理。‎ ‎ 4．掌握两个平面平行的判断定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念。掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。‎ ‎ 5．了解多面体、凸多媒体的概念，了解正多面体的概念。‎ ‎ 6．了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。‎ ‎ 7．了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。‎ ‎ 8．了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。‎ 二、近三年立体几何试题情况 年份 ‎2006年 ‎2007年 ‎2008年 卷型 类别 题号 题号 题号 全国卷Ⅰ 理科 ‎7，13，19‎ ‎7，16，19‎ ‎11，16，18‎ 文科 ‎9，14，19‎ ‎7，15，19‎ ‎11，16，18‎ 全国卷Ⅱ 理科 ‎7，15，19‎ ‎7，15，19‎ ‎10，12，16，19‎ 文科 ‎7，14，20‎ ‎7，15，20‎ ‎8，12，16，19‎ ‎ 三、2008年立体几何考查的知识 ‎ 全国1卷 ‎11题 三棱柱中求线面所成角 理科16题 文科16题 三棱锥中求异面直线所成角 三棱锥中求点到平面的距离 理科18题、文科18题 四棱锥中(1)证明线线垂直；(2)求二面角。‎ 但理科、文科在第2问上给出的条件不同 ‎ ‎ ‎ 全国2卷（云南）‎ 文科 8题：‎ 理科10题：‎ 求正四棱锥的体积；‎ 正四棱锥中求异面直线所成角。‎ ‎12题 球的有关性质和计算 ‎16题 平行六面体的概念和性质，考查合情推理和类比思想，考查充要条件等知识.‎ 理科19题、文科20题 正四棱柱：(1)证明线面垂直；(2)求二面角。‎ 四、2008年全国2卷（云南）立体几何试题分析 1. 文8：正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为（ ）‎ A．3 B．‎6 ‎ C．9 D．18 ‎ 1. 理10：已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 1. 理12·文12：已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ 图2‎ 图2‎ 图2‎ 图1‎ 2. 理16·文16：平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：‎ 充要条件① ；‎ 充要条件② ．‎ ‎(写出你认为正确的两个充要条件)‎ 本题是一道开放题，根据平行六面体的定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，因此考生可以很容易地写出一个充要条件：底面是平行四边形．另外还可以写出其他一些充要条件，如：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点.‎ 3. ‎19·文20‎ 如图，正四棱柱中，，点在上且．‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ F H G ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ F A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小．‎ 图3‎ 图4‎ ‎ ‎ 图2‎ 图1‎ 五、备考策略 ‎（一）课本上的概念和公理、定理、推论是解决问题的基础 ‎ 对公理、定理、推论，要理解其语言文字的含义，会画出符合条件的图形，会用数学符号表达，能给出定理、推论有关的证明并知道其用途-----“口里说着语言（叙述），心里想着空间图形（直观），手里写着数学符号（抽象）”‎ 图3‎ 例1.(07湖北)　平面外有两条直线和，如果和在平面内的 射影分别是和，给出下列四个命题：‎ ‎①； ‎ ‎②；‎ ‎③与相交与相交或重合；‎ ‎④与平行与平行或重合　‎ 其中不正确的命题个数是（　　）‎ Ａ　1 Ｂ　2 Ｃ　3 Ｄ　4‎ 例2.(07浙江) 若是两条异面直线外的任意一点，则（　　）‎ Ａ . 过点有且仅有一条直线与都平行 Ｂ . 过点有且仅有一条直线与都垂直 Ｃ . 过点有且仅有一条直线与都相交 Ｄ . 过点有且仅有一条直线与都异面 例3.(07江苏) 已知两条直线，两个平面　给出下面四个命题：‎ ‎①，；②，，；‎ ‎③，；④，，　‎ 其中正确命题的序号是（　　）‎ Ａ　①、③ Ｂ　②、④ Ｃ　①、④ Ｄ　②、③‎ ‎（二）课本上的例题、习题、复习题所使用的方法是解决问题的基本方法 ‎ 课本上的习题、例题的解决，采用的是常规方法，就是我们常说的通性通法，同时也给我们解决问题的规范，应引起足够的重视，复习时不能把课本束之高阁。‎ 例4. 三个平面两两相交,求证:这三条交线交于一点或互相平行 分析:两条直线有三种位置关系(平行、相交、异面），三条直线之间应有 种关系，全部列出来在排除25种是相当繁杂，为此，可先考虑两条直线的位置的关系即降维思考。‎ 例5. 两条平行线与同一平面所成角相等 分析：直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线在平面外；直线在平面外又分平行与相交；相交又分斜交和垂直，故细分应有4种情况。两条直线与一个平面的位置关系应有种，列出来再排出亦是繁杂，可先考虑一条直线与平面的位置关性。‎ ‎（三）作辅助线或辅助平面常常要用到线段的中点 ‎ ‎ 纵观历年高考题，立体几何试题的设置大多与中点有关，其主要原因是中点联系 了平行与垂直的关系。常用到平面几何中定理：‎ 定理1：三角形中位线性质 定理2：等腰三角形底边上的中线、高线、垂直平分线重合。‎ ‎ 在解答立体几何问题时，灵活应用上述定理，可起到事半功倍的作用。‎ 例6．若线段所在直线是异面直线，分别是的中点。‎ 求证：‎ ‎（四）掌握空间求距离、求角的基本方法 ‎1．求空间距离，以求点到直线的距离为主，主要有直接法、体积法、向量法等 ‎2．求异面直线所成的角，主要是平移法，解三角形（正、余弦定理）；求直线与平面所成的角，关键是作出垂线，找到射影，再解三角形；求二面角的大小，关键找到二面角的平面角或面的法向量 ‎（五）如何突破立体几何大题------向量法 ‎1、建系；2、求点的坐标；3、求法向量 常用向量解决的问题：‎ ①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，其中，则点B到平面的距离为.‎ ②利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.‎ 1. ‎（2007全国Ⅰ•理科19题•文科19题）‎ S C D A B 四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）（文科）求直线SD与平面SBC所成角的大小．‎ ‎（理科）求直线SD与平面SAB所成角的大小．‎ 向量法：需先找出角（用到射影长定理）后，方能进行建系！ ‎ 2. ‎（2007全国Ⅱ•理科19题•文20题）‎ A E B C F S D 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．‎ ‎（1）证明平面；‎ ‎（2）设，求二面角的大小．‎