高考数学第九章平面解析几何第3课时直线与直线的位置更多资料关注微博高中学习资料库

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平面解析几何第3课时　直线与直线的位置关系 ‎1. (必修2P104例2改编)两平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0的距离为________．‎ 答案： 解析：在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d即为两平行直线之间的距离．‎ d＝＝＝.‎ ‎2. (必修2P93习题7改编)已知直线x＋ay＝2a＋2与直线ax＋y＝a＋1平行，则实数a的值为________．‎ 答案：1‎ 解析：由平行直线斜率相等得＝a，解得，a＝±1，由于当a＝－1时两直线重合，∴ a＝1. ‎ ‎3. (必修2P93习题16改编)直线l经过点(3，0)，且与直线l′：x＋3y－2＝0垂直，则l的方程是______________．‎ 答案：3x－y－9＝0‎ 解析：直线l′：x＋3y－2＝0的斜率为k′＝－，由题意，得k′k＝k＝－1，则k＝3.所以l的方程为y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.‎ ‎4. (必修2P96习题5改编)若直线l经过直线2x－y＋3＝0和3x－y＋2＝0的交点，且垂直于直线y＝2x－1，则直线l的方程为______________．‎ 答案：x＋2y－11＝0‎ 解析：由得即交点(1，5)，直线y＝2x－1的斜率为k＝2，与其垂直的直线斜率为－＝－，所以所求直线方程为y－5＝－(x－1)，‎ 即x＋2y－11＝0.‎ ‎5. (必修2P106习题18改编)已知直线l：y＝3x＋3，那么直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程为____________．‎ 答案：7x＋y＋22＝0‎ 解析：由得交点坐标P.又直线x－y－2＝0上的点Q(2，0)关于直线l的对称点为Q′，‎ 故所求直线(即PQ′)的方程为＝，即7x＋y＋22＝0.‎ ‎1. 两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2‎ A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)‎ 相交 k1≠k2‎ A1B2－A2B1≠0(A2B2≠0时，≠)‎ 垂直 k1＝－或k1k2＝－1‎ A1A2＋B1B＝0(当B1B2≠0时，·＝－1)‎ 平行 k1＝k2且b1≠b2‎ 或(当A2B2C2≠0，记为＝≠)‎ 重合 k1＝k2且b1＝b2‎ A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0) (当A2B2C2≠0，记为＝＝)‎ ‎2. 两条直线的交点 设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．‎ ‎3. 几种距离 ‎(1) 两点间的距离 平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：‎ d(A，B)＝AB＝.‎ ‎(2) 点到直线的距离 点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.‎ ‎(3) 两条平行线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.‎ ‎[备课札记]‎ 题型1　两直线的平行与垂直 例1　两条直线l1：(m＋3)x＋2y＝5－3m，l2：4x＋(5＋m)y＝16，分别求满足下列条件的m的值．‎ ‎(1) l1与l2相交；‎ ‎(2) l1与l2平行；‎ ‎(3) l1与l2重合；‎ ‎(4) l1与l2垂直．‎ 解：可先从平行的条件＝(化为a1b2＝a2b1)着手．由＝，得m2＋8m＋7＝0，解得m1＝－1，m2＝－7.‎ 由＝，得m＝－1.‎ ‎(1) 当m≠－1且m≠－7时，≠，l1与l2相交．‎ ‎(2) 当m＝－7时，＝≠.l1∥l2.‎ ‎(3) 当m＝－1时，＝＝，l1与l2重合．‎ ‎(4) 当a1a2＋b1b2＝0，即(m＋3)·4＋2·(5＋m)＝0，m＝－时，l1⊥l2.‎ 已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，分别求满足下列条件的a、b的值．‎ ‎(1) 直线l1过点(－3，－1)，且l1⊥l2；‎ ‎(2) 直线l1与l2平行，且坐标原点到l1、l2的距离相等．‎ 解：(1) ∵ l1⊥l2，∴ a(a－1)＋(－b)·1＝0, 即a2－a－b＝0 ①.又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0 ②，由①②解得 a＝2，b＝2.‎ ‎(2) ∵ l1∥l2且l2的斜率为1－a. ∴ l1的斜率存在，即＝1－a，b＝.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a－1)x＋y＋＝0，l2：(a－1)x＋y＋＝0.∵ 原点到l1和l2的距离相等，‎ ‎∴ 4＝，解得a＝2或.‎ 因此或 题型2　两直线的交点 例2　求经过直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程．‎ 解：解得直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点为，由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为，进而得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.‎ 已知直线l经过点P(3，1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l的方程．‎ 解：(解法1)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1、l2的交点分别为A′(3，－4)和B′(3，－9)，截得的线段AB的长＝＝5，符合题意．‎ 若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1.‎ 解方程组，得A，‎ 解方程组，得B.‎ 由＝5，得＋(－＋)2＝52.‎ 解之，得k＝0，即所求的直线方程为y＝1.‎ 综上可知，所求l的方程为x＝3或y＝1.‎ ‎(解法2)由题意，直线l1、l2之间的距离为d＝＝，且直线l被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5(如图)．‎ 设直线l与直线l1的夹角为θ，则sinθ＝＝，故θ＝45°.‎ 由直线l1：x＋y＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°.又直线l过点P(3，1)，故直线l的方程为x＝3或y＝1.‎ ‎(解法3)设直线l与l1、l2分别相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0.‎ 两式相减，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5.　①‎ 又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25，　②‎ 联立①②，可得或 由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°.‎ 故所求直线方程为x＝3或y＝1.‎ 题型3　点到直线及两平行直线之间的距离 例3　已知点A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P使|PA|＝|PB|，且点P到l的距离等于2.‎ 解：为使|PA|＝|PB|(如图)，点P必在线段AB的垂直平分线上，又点P到直线l的距离为2，所以点P又在距离l为2且平行于l的直线上，求这两条直线的交点即得所求点P.设点P的坐标为P(a，b)．‎ ‎∵ A(4，－3)，B(2，－1)．∴ AB的中点M的坐标为(3，－2)．又AB的斜率kAB＝＝－1.∴ AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.‎ 而P(a，b)在直线x－y－5＝0上．∴ a－b－5＝0①.‎ 又已知点P到l的距离为2，∴点P必在与l平行且距离为2的直线上，设直线方程为4x＋3y＋m＝0，由两条平行直线之间的距离公式，得＝2，‎ ‎∴ m＝8或－12.∴ 点P在直线4x＋3y＋8＝0或4x＋3y－12＝0上．∴ 4a＋3b＋8＝0或4a＋3b－12＝0 ②.由①②得a＝1，b＝－4或a＝，b＝－.‎ ‎∴点P(1，－4)或P(，－)为所求的点．‎ 已知点P1(2，3)、P2(－4，5)和A(－1，2)，求过点A且与点P1、P2距离相等的直线方程．‎ 解：(解法1)设所求直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点P1、P2到直线的距离相等得 ＝.‎ 化简得＝，‎ 则有3k－1＝－3k－3或3k－1＝3k＋3，‎ 解得k＝－或方程无解．‎ 方程无解表明这样的k不存在，但过点A，所以直线方程为x＝－1，它与P1、P2的距离都是3.‎ ‎∴所求直线方程为y－2＝－(x＋1)或x＝－1.‎ ‎(解法2)设所求直线为l，由于l过点A且与P1、P2距离相等，所以l有两种情况，如下图：‎ ‎①当P1、P2在l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝(x＋1)，即y－2＝－(x＋1)；‎ ‎②当P1、P2在l的异侧时，l必过P1、P2的中点(－1，4)，此时l的方程为x＝－1.‎ ‎∴所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)或x＝－1.‎ 题型4　对称问题 例4　直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．‎ 解：在直线l1上取一点A(2，0)，又设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，‎ 则解得B(，－)．‎ 又l1与l2的交点为M(3，－2)，故由两点式可求得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.‎ 已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：‎ ‎(1) 点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；‎ ‎(2) 直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；‎ ‎(3) 直线l关于点(1，1)对称的直线方程．‎ 解：(1) 设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，‎ 则线段PP′的中点M在对称轴l上，且PP′⊥l.‎ ‎∴解得 即P′坐标为.‎ ‎(2) 直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点P(x，y)关于l的对称点P′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立．‎ 由得 把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得7x－y－14＝0.‎ 即直线l2的方程为7x－y－14＝0.‎ ‎(3)‎ ‎ 设直线l关于点A(1，1)的对称直线为l′，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立．‎ 由得 将(x1，y1)代入直线l的方程得x＋2y－4＝0.‎ ‎∴直线l′的方程为x＋2y－4＝0.‎ 题型5　三角形中的直线问题 例5　直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，且A、B的坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求顶点C的坐标并判断△ABC的形状．‎ 解：由题意画出草图(如图所示)．‎ 设点A(－4，2)关于直线l：y＝2x的对称点为A′(a，b)，则A′必在直线BC上．以下先求A′(a，b)．由对称性可得解得 ‎∴ A′(4，－2)．‎ ‎∴直线BC的方程为＝，‎ 即3x＋y－10＝0.‎ 由得C(2，4)．‎ ‎∴ kAC＝，kBC＝－3，∴ AC⊥BC.‎ ‎∴△ABC是直角三角形．‎ 已知△ABC的顶点为A(3，－1)，AB边上的中线所在的直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在的直线方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在的直线方程．‎ 解：设B(4y1－10，y1)，由AB的中点在6x＋10y－59＝0上，可得6·＋10·－59＝0，解得y1＝ 5，‎ 所以B为(10，5)．‎ 设A点关于x－4y＋10＝0的对称点为A′(x′，y′)，‎ 则有A′(1，7)．‎ 故BC边所在的直线方程为2x＋9y－65＝0.‎ ‎1. 设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件．‎ 答案：充分不必要 解析：由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.‎ ‎2. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________．‎ 答案： 解析：因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为－＝2－＝，所以曲线C1与直线l不能相交，故x2＋a＞x，即x2＋a－x＞0.设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，所以a＝.‎ ‎3. 与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为________．‎ 答案：3x＋4y＋5＝0‎ 解析：与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.‎ ‎4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＋＝1的右顶点，点D(1，0)，点P、B在椭圆上，＝.‎ ‎(1) 求直线BD的方程；‎ ‎(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长；‎ ‎(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1) 设P(x0，y0)．因为＝，‎ 且D(1，0)，A(3，0)，点B、P在椭圆上，所以B(－x0，y0)，所以x0＝1，将其代入椭圆，得y0＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.‎ ‎(2) 线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1.解方程组得圆心C的坐标为(0，－1)．所以圆C的半径r＝CP＝.因为圆心C(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2＝4.‎ ‎(3) 这样的圆M与圆N存在．由题意得，点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上．当圆M与圆N是两个相外切的等圆时，一定有P、M、N在一条直线上，且PM＝PN.M(0，b)，则N(2，4－b)．因为点N(2，4－b)在直线y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以这两个圆的半径为PM＝，方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎1. 若动点A、B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为______．‎ 答案：3 解析：依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝|m＋7|＝|m＋5|m＝－6，所以l的方程为x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.‎ ‎2. 点(1，cosθ)(其中0≤θ≤π)到直线xsinθ＋ycosθ－1＝0的距离是，那么θ等于________．‎ 答案：或 解析：由已知得＝，即|sin θ－sin2θ|＝，‎ ‎∴ 4sin2θ－4sinθ－1＝0或4sin2θ－4sin θ＋1＝0，∴ sin θ＝或sinθ＝.∵ 0≤θ≤π，∴ 0≤sin θ≤1，∴ sin θ＝，即θ＝或.‎ ‎3. 求直线a：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线b的方程．‎ 解：由解得a与l的交点E(3，－2)，E点也在b上．‎ ‎(解法1)设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－.‎ 则＝，解得k＝－.‎ 代入点斜式得直线b的方程为y－(－2)＝－(x－3)，即2x＋11y＋16＝0.‎ ‎(解法2)在直线a：2x＋y－4＝0上找一点A(2，0)，设点A关于直线l的对称点B的坐标为(x0，y0)，‎ 由解得B.‎ 由两点式得直线b的方程为＝，‎ 即2x＋11y＋16＝0.‎ ‎(解法3)设直线b上的动点P(x，y)关于l：3x＋4y－1＝0的对称点为Q(x0，y0)，则有 解得x0＝，y0＝.‎ Q(x0，y0)在直线a：2x＋y－4＝0上，‎ 则2×＋－4＝0，‎ 化简得2x＋11y＋16＝0，即为所求直线b的方程．‎ ‎(解法4)设直线b上的动点P(x，y)，直线a上的点Q(x0，4－2x0)，且P、Q两点关于直线l：3x＋4y－1＝0对称，则有 消去x0，得2x＋11y＋16＝0或2x＋y－4＝0(舍)．‎ ‎4. 已知△ABC的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，又知∠C的平分线所在的直线方程为2x－3y＋6＝0，求三角形各边所在直线的方程．‎ 解：设A点关于直线2x－3y＋6＝0的对称点为A′(x1，y1)，‎ 则 ‎∴解得即A′，‎ 同理，点B关于直线2x－3y＋6＝0的对称点为B′.‎ ‎∵角平分线是角的两边的对称轴，∴A′点在直线BC上．‎ ‎∴直线BC的方程为y＝x－1，‎ 整理得12x－31y－31＝0.‎ 同理，直线AC的方程为y－5＝(x＋1)，‎ 整理得24x－23y＋139＝0.‎ 直线AB的方程为y＝x－1，‎ 整理得6x＋y＋1＝0.‎ ‎1. 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．‎ ‎2. 在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出错．‎ ‎3. 对称问题主要包括中心对称和轴对称 ‎(1) 中心对称 ‎① 点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ‎②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．‎ ‎(2) 轴对称 ‎①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有×＝－1，A·＋B·＋C＝0.‎ ‎②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决