北京专用高考数学总复习专题06数列分项练习理

北京专用高考数学总复习专题06数列分项练习理

专题06 数列 ‎1.【2006高考北京理第7题】设，则等于（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意，为首项为2，公比为8的前n＋4项求和，根据等比数列的求和公式可得D ‎2.【2008高考北京理第6题】已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C 考点：数列 ‎3.【2010高考北京理第2题】在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a‎1a2a3a4a5，则m等于 (　　)‎ A．9 B．‎10 C．11 D．12‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】‎ 试题分析：a1＝1，am＝a‎1a2a3a4a5＝＝q10＝a1q10＝a11，∴m＝11. ‎ 考点：等比数列的通项公式.‎ ‎4. 【2014高考北京理第5题】设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：对等比数列，若，则当时数列是递减数列；若数列是递增数列，则满足且，故当“”是”数列为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.‎ 考点：等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定，容易题.‎ ‎5. 【2015高考北京，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】先分析四个答案支，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，选C.‎ 考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.‎ ‎6. 【2007高考北京理第10题】若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】数列的通项公式，与的关系 ‎7. 【2008高考北京理第14题】某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，‎ 表示非负实数的整数部分，例如，．‎ 按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．‎ ‎【答案】(1,2) (3, 402)‎ 考点：数列的通项 ‎8. 【2009高考北京理第14题】已知数列满足：则________；=_________.‎ ‎【答案】1，0‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意，得，. ∴应填1，0.‎ 考点：周期数列等基础知识.‎ ‎9. 【2011高考北京理第11题】在等比数列中，若，，则公比________；________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由是等比数列得，又 所以，是以为首项，以2为公比的等比数列，。‎ ‎10. 【2012高考北京理第10题】已知等差数列为其前n项和。若，，则=_______。‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，‎ 所以，。‎ 考点：等差数列的通项公式,前n项和.‎ ‎11. 【2013高考北京理第10题】若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝__________；前n项和Sn＝__________.‎ ‎【答案】2　2n＋1－2‎ 考点：等比数列的通项公式,前n项和.‎ ‎12. 【2014高考北京理第12题】若等差数列满足，则当 时，的前项和最大.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以 所以，所以，，故数列的前8项最大.‎ 考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易题.‎ ‎13.【2017高考北京理第10题】若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，求得，那么.‎ ‎【考点】等差数列和等比数列 ‎【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎ ‎14. 【2005高考北京理第19题】（本小题共12分）‎ 设数列 记 ‎（Ⅰ）求a2，a3；‎ ‎（Ⅱ）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）求 ‎【答案】‎ ‎（II）‎ 因为,所以 所以 猜想：是公比为的等比数列.‎ 证明如下：‎ 因为 所以是首项为,公比为的等比数列.‎ ‎（III）‎ ‎15. 【2006高考北京理第20题】（本小题共14分）‎ 在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.‎ ‎（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；‎ ‎（Ⅱ）若“绝对差数列”中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；‎ ‎（Ⅲ）证明：任何 “绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.‎ ‎【答案】‎ 即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限 ‎ 不存在. ‎ 当时, ,所以 （Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下 假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而 当时, ; 当 时, 即的值要么比至少小1，要么比至少小1. 令 则 由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 ，这与() 矛盾. 从而必有零项. 若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，, , 即 ‎ 所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.‎ ‎16. 【2007高考北京理第15题】（本小题共13分）数列中，， （是常数，），且成公比不为的等比数列．‎ ‎（I）求的值； （II）求的通项公式．‎ 所以，‎ 又，故 ，‎ 当时，上式也成立，所以 .‎ ‎【考点】等比数列的定义，等差数列的求和，叠加法求数列的通项.‎ ‎17. 【2009高考北京理第20题】（本小题共13分）‎ 已知数集具有性质；对任意的 ‎，与两数中至少有一个属于.‎ ‎（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）证明：，且；‎ ‎（Ⅲ）证明：当时，成等比数列. ‎ ‎（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，‎ 由于，∴，故. ‎ 从而，∴. ‎ ‎∵， ∴，故.‎ 由A具有性质P可知.‎ 又∵，‎ ‎∴， ‎ 从而，‎ ‎∴. ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，‎ ‎ ∵，∴，∴，‎ 由A具有性质P可知. ‎ 由，得，且，∴，‎ ‎∴，即是首项为1，公比为成等比数列..‎ ‎18. 【2013高考北京理第20题】(本小题共13分)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.‎ ‎(1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；‎ ‎(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1,2,3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；‎ ‎(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1,2,3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.‎ 所以An＝Bn＋dn≤Bn.‎ 又因为an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1.‎ 于是，An＝an，Bn＝an＋1，‎ 因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，‎ 即{an}是公差为d的等差数列．‎ ‎(3)因为a1＝2，d1＝1，‎ 所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.‎ 故对任意n≥1，an≥B1＝1.‎ 假设{an}(n≥2)中存在大于2的项．‎ 设m为满足am＞2的最小正整数，‎ 则m≥2，并且对任意1≤k＜m，ak≤2.‎ 又因为a1＝2，所以Am－1＝2，且Am＝am＞2.‎ 于是，Bm＝Am－dm＞2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2.‎ 故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝0，与dm－1＝1矛盾．‎ 所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2.‎ 因为对任意n≥1，an≤2＝a1，‎ 所以An＝2.‎ 故Bn＝An－dn＝2－1＝1.‎ 因此对于任意正整数n，存在m满足m＞n，且am＝1，即数列{an}有无穷多项为1.‎