高考数学理一轮复习专题集训空间向量及其运算

高考数学理一轮复习专题集训空间向量及其运算

空间向量及其运算 一、选择题(每小题6分，共36分)‎ ‎1.(2012·德州模拟)已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)‎ ‎(A)a＋b－c (B)－a＋b＋c ‎(C)a－b＋c(D)a＋b－c ‎2.已知向量a＝(2，－3,5)与向量b＝(3，λ，)平行，则λ＝(　　)‎ ‎(A) (B) (C)－ (D)－ ‎3.(2012·汕头模拟)已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)‎ ‎(A)－2 (B)－ (C) (D)2‎ ‎4.(2012·淄博模拟)设A、B、C、D是空间不共面的四个点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是(　　)‎ ‎(A)钝角三角形 (B)直角三角形 ‎(C)锐角三角形 (D)无法确定 ‎5.已知四面体ABCD，O为△BCD内一点(如图)，则＝‎ (＋＋)是O为△BCD重心的(　　)‎ ‎(A)充分不必要条件 ‎(B)必要不充分条件 ‎(C)充要条件 ‎(D)既不充分又不必要条件 ‎6.(2012·青岛模拟)正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，点M在上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)‎ ‎(A) (B) (C) (D) 二、填空题(每小题6分，共18分)‎ ‎7.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝.‎ ‎8.(2012·威海模拟)A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，这四个点__________(填“共面”或“不共面”).‎ ‎9.(易错题)空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于.‎ 三、解答题(每小题15分，共30分)‎ ‎10.已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2).‎ ‎(1)求|‎2a＋b|；‎ ‎(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)‎ ‎11.如图，平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.‎ ‎(1)求AC1的长；‎ ‎(2)求BD1与AC夹角的余弦值.‎ ‎【探究创新】‎ ‎(16分)在棱长为1的正四面体OABC中，若P是底面ABC上的一点，求|OP|的最小值.‎ 答案解析 ‎1.【解析】选B.＝－＝(＋)－＝b＋c－a.‎ ‎【变式备选】已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点E为上底面A‎1C1的中心，若＝＋x＋y，则x、y的值分别为(　　)‎ ‎(A)x＝1，y＝1 (B)x＝1，y＝ ‎(C)x＝，y＝ (D)x＝，y＝1‎ ‎【解析】选C.‎ 如图，＝＋ ‎＝＋＝＋‎ (＋)，‎ 所以x＝，y＝.‎ ‎2.【解析】选C.由a∥b得，＝＝，解得λ＝－.‎ ‎3.【解析】选D.∵a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，‎ ‎∴a－λb＝(λ－2,1－2λ，3－λ)，由a⊥(a－λb)得－2(λ－2)＋1－2λ＋9－3λ＝0⇒λ＝2，选D.‎ ‎4.【解题指南】通过·，·，·的符号判断△BCD各内角的大小，进而确定出三角形的形状.‎ ‎【解析】选C.·＝(－)·(－)‎ ‎＝·－·－·＋2＝2>0，‎ 同理·>0，·>0.故△BCD为锐角三角形.‎ ‎5.【解析】选C.若O是△BCD的重心，则＝＋＝＋×(＋)＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝(＋＋)，‎ 若＝(＋＋)，‎ 则－＋－＋－＝0，‎ 即＋＋＝0.‎ 设BC的中点为P，则－2＋＝0，‎ ‎∴＝－2，即O为△BCD的重心.‎ ‎6.【解析】选A.设＝a，‎ ＝b，＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝0.‎ 由条件知＝＋＋ ‎＝－(a＋b＋c)＋a＋c ‎＝a－b＋c ‎∴2＝a2＋b2＋c2＝，‎ ‎∴||＝.‎ ‎7.【解析】设＝b，＝c，＝d，‎ 则＝d－c，＝d－b，＝c－b.‎ 原式＝b·(d－c)＋d·(c－b)－c·(d－b)＝0.‎ 答案：0‎ ‎8.【解析】＝(3,4,5)，＝(1,2,2)，＝(9,14,16)，设＝x＋y.‎ 即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)，‎ ‎∴，所以A、B、C、D四点共面.‎ 答案：共面 ‎9.【解析】由题意知·＝· (－)＝·－· ‎＝8×4×cos45°－8×6×cos60°‎ ‎＝16－24.‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝.‎ ‎∴OA与BC所成角的余弦值为.‎ 答案： ‎【误区警示】本题常误认为〈，〉即为OA与BC所成的角.‎ ‎【变式备选】已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则| |的值是.‎ ‎【解析】设P(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－1)，‎ ＝(－1－x,3－y,4－z)，‎ 由＝2知x＝－，y＝，z＝3，‎ 故P(－，，3).‎ 由两点间距离公式可得||＝.‎ 答案： ‎10.【解析】(1)‎2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，‎ 故|‎2a＋b|＝＝5.‎ ‎(2)令＝t(t∈R)，所以＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，‎ 若⊥b，则·b＝0，‎ 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，‎ 解得t＝.‎ 因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为(－，－，).‎ ‎【变式备选】已知b与a＝(2，－1,2)共线，且满足a·b＝18，(ka＋b)⊥(ka－b)，求b及k的值.‎ ‎【解析】∵a，b共线，‎ ‎∴存在实数λ，使b＝λa.‎ ‎∴a·b＝λa2＝λ|a|2＝λ( ) 2＝18，‎ 解得λ＝2.‎ ‎∴b＝(4，－2,4).‎ ‎∵(ka＋b)⊥(ka－b)，‎ ‎∴(ka＋b)·(ka－b)＝0，‎ ‎∴(ka＋‎2a)·(ka－‎2a)＝(k2－4)|a|2＝0，‎ ‎∴k＝±2.‎ ‎11.【解题指南】选、、为基向量，利用数量积解题.‎ ‎【解析】设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，‎ ‎〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，‎ ‎∴a·b＝b·c＝c·a＝.‎ ‎(1)| |2＝(a＋b＋c)2‎ ‎＝a2＋b2＋c2＋‎2a·b＋2b·c＋‎2a·c ‎＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6.‎ ‎∴AC1＝||＝.‎ ‎(2)＝b＋c－a，＝a＋b.‎ ‎∴||＝，||＝.‎ ·＝(b＋c－a)·(a＋b)‎ ‎＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.‎ ‎∴cos〈，〉＝.‎ ‎∴AC与BD1夹角的余弦值为.‎ ‎【方法技巧】用向量法解题的常见类型及常用方法 ‎1.常见类型 利用向量可解决空间中的平行、垂直、长度、夹角等问题.‎ ‎2.常用的解题方法 ‎(1)基向量法 先选择一组基向量，把其他向量都用基向量表示，然后根据向量的运算解题；‎ ‎(2)坐标法 根据条件建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标，根据向量的坐标运算解题即可.‎ ‎【探究创新】‎ ‎【解题指南】向量，，的模均为1，其夹角都是60°，故选取，，当基底，利用向量的运算求||的最小值.‎ ‎【解析】设＝a，＝b，＝c，‎ 由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝1，‎ ‎〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，‎ ‎∵点P在平面ABC上，‎ ‎∴存在实数x， y，z，‎ 使＝xa＋yb＋zc，且x＋y＋z＝1，‎ ‎∴2＝(xa＋yb＋zc)2‎ ‎＝x2＋y2＋z2＋2xya·b＋2yzb·c＋2xza·c ‎＝x2＋y2＋z2＋xy＋yz＋zx ‎＝(x＋y＋z)2－(xy＋yz＋zx)‎ ‎＝1－(xy＋yz＋zx)‎ ‎∵1＝(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx ‎＝[(x2＋y2)＋(y2＋z2)＋(z2＋x2)]＋2xy＋2yz＋2zx ‎≥(2xy＋2yz＋2zx)＋2xy＋2yz＋2zx ‎＝3(xy＋yz＋zx)，∴xy＋yz＋zx≤，‎ 当且仅当x＝y＝z＝时“＝”成立.‎ ‎∴2≥1－＝，‎ ‎∴||≥＝，‎ ‎∴|OP|的最小值为.‎