高考数学基本不等式及其应用

高考数学基本不等式及其应用

第五讲 基本不等式及其应用 一、知识梳理：‎ ‎1、若，则 ，当且仅当时等号成立；‎ ‎2、若, 则 , 当且仅当时等号成立；‎ ‎3、若 , ,则 ‎⑴如果P是定值，那么当且仅当时，S的值最小；‎ ‎⑵如果S是定值，那么当且仅当时，P的值最大 ‎4、若，则，当且仅当时等号成立 二、知识回顾：‎ ‎1、若，则的最小值为 .‎ ‎2、已知，且，则的最大值为.‎ ‎3、已知，则下列不等式不正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4、已知，则的最小值是（ ）‎ A．2 B． C．4 D．5‎ ‎5、下列结论正确的是 ( ) ‎ A .当且时， B.时，‎ C．当时，的最小值为2 D.时，无最大值 ‎6、已知，且ab>0，则下列不等式不正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 三、典型例题 例1、已知, (x+y)( + )≥9对任意x,y恒成立,则a的最小值为( )‎ A.2 B‎.4 C.6 D.8‎ 例2、三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．‎ 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．‎ 乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．‎ 丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．‎ 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围 是 ．‎ 例3、函数的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0,求的最小值；‎ 例4、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，求的值．‎ 四、巩固与评价 ‎(一) 选择题 ‎1、“”是“对任意的正数，”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2、若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有（ ）‎ A.2∈M，0∈M； B‎.2‎M，‎0‎M； C.2∈M，‎0‎M； D‎.2‎M，0∈M．‎ ‎3、如果正数满足，那么（　　）‎ Ａ．，且等号成立时的取值唯一 Ｂ．，且等号成立时的取值唯一 Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一 Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一 ‎4、设若的最小值为（ ）‎ ‎ A . 8 B . ‎4 C. 1 D. ‎ ‎(二) 填空题 ‎5、已知，，则的最小值 ；‎ ‎ 6、①对任意；②“且”是“”的充要条件；③ 函数的最小值为。‎ 其中真命题的为_________（将你认为是真命题的序号都填上）；‎ ‎ 7、设x,y为正数, 则(x+y)( + )的最小值为_________；‎ ‎8、已知a,b为正实数，且的最小值为_________ 。‎ ‎(三) 解答题 ‎ ‎9、已知求证；‎ ‎10、关于的方程有解，求实数的取值范围；‎ ‎11、已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，求三角形面积的最小值；‎ ‎12、围建一个面积为‎360m2‎的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙,需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为‎2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)。‎ ‎（1）将y表示为x的函数； ‎ ‎（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。‎