高考数学题分类汇编3函数与导数
2010 年全国各地高考数学真题分章节分类汇编
第 3 部分:函数与导数
一、选择题:
1．（2010 年高考山东卷文科 3）函数 2log 3 1xf x 的值域为
A. 0, B. 0, C. 1, D. 1,
【答案】A
【解析】因为3 1 1x ，所以 2 2log 3 1 log 1 0xf x ，故选 A。
【命题意图】本题考查对数函数的单调性、函数值域的求法等基础知识。
2 ． （ 2010 年 高 考 山 东 卷 文 科 5 ） 设 ( )f x 为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 当 0x 时 ，
( ) 2 2xf x x b （b 为常数），则 ( 1)f
（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3
【答案】A
【解析】因为 f(x) 为定义在 R 上的奇函数,所以有 0f(0)=2 +2 0+b=0 ,解得 b=-1,所以
当 x 0 时, xf(x)=2 +2x-1,即 f(-1)=-f(1)= 12 +2 1-1 =-3-（ ） ,故选 D.
【命题意图】本题考查函数的基本性质,熟练函数的基础知识是解答好本题的关键.
3．（2010 年高考山东卷文科 8）已知某生产厂家的年利润 y（单位：万元）与年产量 x（单
位：万件）的函数关系式为 31 81 2343y x x ，则使该生产厂家获得最大年利润的年
产量为
（A）13 万件 (B)11 万件
(C) 9 万件 (D)7 万件
【答案】C
【解析】令导数 ' 2 81 0y x ，解得 0 9x ；令导数 ' 2 81 0y x ，解得 9x ，
所以函数 31 81 2343y x x 在区间 (0,9) 上是增函数，在区间 (9, ) 上是减函数，所
以在 9x 处取极大值，也是最大值，故选 C。
【命题意图】本题考查导数在实际问题中的应用，属基础题。
4．（2010 年高考山东卷文科 10）观察 2 '( ) 2x x ， 4 ' 3( ) 4x x ， '(cos ) sinx x ，由归
纳推理可得：若定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f x f x ，记 ( )g x 为 ( )f x 的导函数，
则 ( )g x =
（A） ( )f x (B) ( )f x (C) ( )g x (D) ( )g x
【答案】D
【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数 ( )f x 是偶函数，则它的导函数是奇函数，
因为定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( )f x f x ，即函数 ( )f x 是偶函数，所以它的导函数
是奇函数，即有 ( )g x = ( )g x ，故选 D。
【命题意图】本题考查函数、归纳推理等基础知识，考查同学们类比归纳的能力。
5．（2010 年高考山东卷文科 11）函数 22xy x 的图像大致是
【答案】A
【解析】因为当 x=2 或 4 时，2x - 2x =0，所以排除 B、C；当 x=-2 时，2x - 2x = 1 4<04
，
故排除 D，所以选 A。
【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的
思维能力。
6．（2010 年高考天津卷文科 4）函数 f（x）= 2xe x 的零点所在的一个区间是
(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）
【答案】C
【解析】因为 0(0) 2 1 0f e ， 1(1) 1 2 1 0f e e ，所以选 C。
【命题意图】本小题考查函数根的存在性定理，属基础题。
7．（2010 年高考天津卷文科 6）设 5
5 4a log 4 b log c log 2
5， （ 3）， ，则
(A)a
0
f
（ 的零点个数为 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】B
【解析】当 0x 时，令 2 2 3 0x x 解得 3x ；
当 0x 时，令 2 ln 0x 解得 100x ，所以已知函数有两个零点，选 C。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
10 ． (2010 年 高 考 北 京 卷 文 科 4) 若 a,b 是 非 零 向 量 ， 且 a b ， a b ， 则 函 数
( ) ( ) ( )f x xa b xb a 是
（A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数
（C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数
11．(2010 年高考北京卷文科 6)给定函数①
1
2y x ，② 1
2
log ( 1)y x ，③ | 1|y x ，④
12xy ，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
12．(2010 年高考江西卷文科 4)若函数 4 2( )f x ax bx c 满足 '(1) 2f ，则 '( 1)f
A． 1 B． 2 C．2 D．0
【答案】B
【命题意图】本题考查函数与导数。
【解析】 ' 3( ) 4 2 ,f x ax bx 则此函数为奇函数，所以 ' '( 1) (1) 2f f 。
13．(2010 年高考江西卷文科 8)若函数
1
axy x
的图像关于直线 y x 对称，则 a 为
A．1 B． 1 C． 1 D．任意实数
14. (2010 年高考浙江卷文科 2)已知函数 1( ) log ( 1),f x x 若 ( ) 1,f =
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析： +1=2，故 =1，选 B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题
15. (2010 年高考浙江卷文科 9)已知 x 是函数 f(x)=2x+ 1
1 x
的一个零点.若 1x ∈（1， 0x ），
2x ∈（ 0x ，+ ），则
（A）f( 1x )＜0，f( 2x )＜0 （B）f( 1x )＜0，f( 2x )＞0
（C）f( 1x )＞0，f( 2x )＜0 （D）f( 1x )＞0，f( 2x )＞0
解析：选 B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题
16．(2010 年高考安徽卷文科 6)设 0abc ,二次函数 2( )f x ax bx c 的图像可能是
【答案】D
【解析】当 0a 时，b 、c 同号，（C）（D）两图中 0c ，故 0, 02
bb a
，选项（D）
符合
【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分 0a 或 0a 两种情况分类考虑.另外
还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
17．(2010 年高考安徽卷文科 7)设
2 3 2
5 5 53 2 2
5 5 5a b c （ ）, （ ）， （ ），则 a，b，c 的大小关系
是
（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a
【答案】A
【解析】
2
5y x 在 0x 时是增函数，所以 a c ， 2( )5
xy 在 0x 时是减函数，所以 c b 。
【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.
18．（2010 年高考上海卷文科 17）若 0x 是方程式 lg 2x x 的解，则 0x 属于区间
[答]（ ）
（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）
解析： 04
1
4
7lg)4
7()75.1(,2lg)( ffxxxf 由构造函数
02lg)2( f 知 0x 属于区间（1.75，2）
19．（2010 年高考辽宁卷文科 10）设 2 5a b m ，且 1 1 2a b
，则 m
（A） 10 （B）10 （C）20 （D）100
解析：选 A. 21 1 log 2 log 5 log 10 2, 10,m m m ma b
又 0, 10.m m
20．（2010 年高考辽宁卷文科 12）已知点 P 在曲线 4
1xy e
上， 为曲线在点 P 处的切
线的倾斜角，则 的取值范围是
(A)[0,
4
) (B)[ , )4 2
（C） 3( , ]2 4
(D) 3[ , )4
解析：选 D. 2
4 4
12 1 2
x
x x
x
x
ey e e e e
， 1 2, 1 0x
xe ye
，
即 1 tan 0 ， 3[ , )4
21. (2010 年高考宁夏卷文科 4)曲线 2y 2 1x x 在点（1,0）处的切线方程为
（A） 1y x （B） 1y x
（C） 2 2y x （D） 2 2y x
【答案】A
解析： 23 2y x ，所以 1 1xk y ，所以选 A．
22. (2010 年高考宁夏卷文科 9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x 0），则 2 0x f x =
（A） 2 4x x x 或 （B） 0 4 x x x 或
（C） 0 6 x x x 或 （D） 2 2 x x x 或
【答案】B
解析：当 0x 时， ( ) 2 4 0 2xf x x ，又由于函数是偶函数，所以 x R 时，
( ) 0f x 的解集为{ 2x x 或 2}x ，故 ( 2) 0f x 的解集为{ 0x x 或 4}x ．
另解：根据已知条件和指数函数 2xy 的图像易知 ( ) 2 4 0xf x 的解集为{ 2x x 或
2}x ，故 ( 2) 0f x 的解集为{ 0x x 或 4}x ．
23. (2010 年高考宁夏卷文科 12)已知函数 f(x)=
lg 1,0 10
1 6, 02
x x
x x
若 a，b，c 均不相等，且
f(a)= f(b)= f(c)，则 abc 的取值范围是
（A）（1，10） （B）(5，6) （C）(10，12) （D）(20，24)
【答案】C
解 析 ： 不 妨 设 a b c ， 取 特 例 ， 如 取 1( ) ( ) ( ) 2f a f b f c ， 则 易 得
1 1
2 210 , 10 , 11a b c
，从而 11abc ，选 C．
另解：不妨设 a b c ，则由 ( ) ( ) 1f a f b ab ，再根据图像易得10 12c ，故选
C．
24．（2010 年高考广东卷文科 2）函数 )1lg()( xxf 的定义域是
A. ),2( B. ),1( C. ),1[ D. ),2[
解： 01 x ，得 1x ，选 B.
25. （2010 年高考广东卷文科 3）若函数 xxxf 33)( 与 xxxg 33)( 的定义域均为
R，则
A. )(xf 与 )(xg 与均为偶函数 B. )(xf 为奇函数， )(xg 为偶函数
C. )(xf 与 )(xg 与均为奇函数 D. )(xf 为偶函数， )(xg 为奇函数
解:由于 )(33)( )( xfxf xx ,故 )(xf 是偶函数,排除 B、C
26．（2010 年高考重庆卷文科 4）函数 16 4xy 的值域是
（A）[0, ) （B）[0,4]
（C）[0,4) （D） (0,4)
【答案】C
【解析】 4 0, 0 16 4 16 16 4 0,4x x x .
27．（2010 年高考陕西卷文科 10）某学校要招开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一
名代表，当各班人数除以 10 的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 y
与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y＝[x]（[x]表示不大于 x 的最大整数）可以表示为
[B]
（A）y＝[
10
x ] （B）y＝[ 3
10
x ] （C）y＝[ 4
10
x ] （D）y＝[ 5
10
x ]
【答案】B
【解析】（方法一）当 x 除以10 的余数为 6,5,4,3,2,1,0 时，由题设知
10
xy ，且易验证
知此时
10
3
10
xx ,当 x 除以10的余数为 9,8,7 时，由题设知 110
xy ，且易验证
知此时
10
3110
xx ，故综上知，必有
10
3xy ,故选 B .
28．（2010 年高考陕西卷文科 7）下列四类函数中，个有性质“对任意的 x>0，y>0，函数 f(x)
满足 f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是
[C]
（A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数
【答案】C
29．（2010 年高考湖北卷文科 3）已知函数 3log , 0
( )
2 , 0x
x x
f x
x
，则 1( ( ))9f f
A.4 B. 1
4 C.-4 D- 1
4
【答案】B
【解析】根据分段函数可得 3
1 1( ) log 29 9f ，则 21 1( ( )) ( 2) 29 4f f f ，
所以 B 正确.
30．（2010 年高考湖北卷文科 5）函数
0.5
1
log (4 3)
y
x
的定义域为
A.( 3
4 ,1) B( 3
4 ,∞) C（1，+∞） D. ( 3
4 ,1)∪（1，+∞）
【答案】A
31．（2010 年高考湖南卷文科 8）函数 y=ax2+ bx 与 y=
| |
log b
a
x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一
直角坐标系中的图像可能是 D
32．（ 2010 年高考全国Ⅰ卷文科 10）设 1
2
3log 2, ln 2, 5a b c 则
（A） a b c （B）b c a (C) c a b (D) c b a
10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实
数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.
【解析 1】 a= 3log 2=
2
1
log 3 , b=In2=
2
1
log e ,而 2 2log 3 log 1e ,所以 a1)的反函数是
（A）y= 1xe -1(x>0) (B) y= 1xe +1(x>0)
(C) y= 1xe -1(x R) (D）y= 1xe +1 (x R)
【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数 Y=1+LN（X-1）(X>1)，∴
1 1ln( 1) 1, 1 , 1y xx y x e y e
35．（2010 年高考四川卷文科 2）函数 y=log2x 的图象大致是
(A) (B) (C) (D)
解析：本题考查对数函数的图象和基本性质.
答案：C
36．（2010 年高考四川卷文科 5）函数 2( ) 1f x x mx 的图像关于直线 1x 对称的
充要条件是
（A） 2m （B） 2m （C） 1m （D） 1m
解析：函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的对称
轴为 x＝－
2
m
w
于是－
2
m ＝1 m＝－2
答案：A
二、填空题：
1．（2010 年高考天津卷文科 16）设函数 f(x)=x- 1
x ,对任意 x [1, ），f(mx)+mf(x)<0
恒成立，则实数 m 的取值范围是 。
【答案】 ( , 1)
【解析】因为对任意 x [1, ) ， f(mx)+mf(x)=2mx- 1 0m
mx x
恒成立，所以
当 0m 时，有 2 2 22 1 0m x m 对任意 x [1, ) 恒成立，即 2 22 1 1 0m m ，解
得 2 1m ，即 1m ；当 0m 时，有 2 2 22 1 0m x m 对任意 x [1, ) 恒成立，x 无
解，综上所述实数 m 的取值范围是 1m 。
【命题意图】本题考查函数中的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想。
2．(2010 年高考北京卷文科 14)如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。
设顶点 p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是
( )y f x ，则 ( )f x 的最小正周期为 ；
( )y f x 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴
所围区域的面积为 。
说明：“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正
方向滚动是指以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再以顶点 B 为中心
顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动。
3．（2010 年高考上海卷文科 9）函数 3( ) log ( 3)f x x 的反函数的图像与 y 轴的交点坐
标是 (0,2) 。
解析：考查反函数相关概念、性质
法一：函数 3( ) log ( 3)f x x 的反函数为 33 xy ，另 x=0，有 y=-2
法二：函数 3( ) log ( 3)f x x 图像与 x 轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数
3( ) log ( 3)f x x 的反函数的图像与 y 轴的交点为（0，-2）
4．（2010 年高考陕西卷文科 13）已知函数 f（x）＝ 2
3 2, 1,
, 1,
x x
x ax x
若 f（f（0））＝4a，
则实数 a＝ .
【答案】2
三、解答题：
1．（2010 年高考山东卷文科 21）（本小题满分 12 分）
已知函数 1( ) ln 1( )af x x ax a Rx
（I）当 1a 时，求曲线 ( )y f x 在点 (2, (2))f 处的切线方程；
（II）当 1
2a 时，讨论 ( )f x 的单调性.
【命题意图】本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力，
考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想。
【解析】解：（Ⅰ） 当 )(1 xfa 时， ),,0(,12ln xxxx
所以 )(' xf
因此， ，）（ 12 f
即 曲线 .1))2(2)( ，处的切线斜率为，在点（ fxfy ……………………
又 ,22ln)2( f
所以曲线
.02ln
,2)22(ln))2(2)(
yx
xyfxfy
即
处的切线方程为，在点（
（Ⅱ）因为 11ln)(
x
aaxxxf ，
所以 2
11)('
x
aaxxf 2
2 1
x
axax ),0( x ，
令 ,1)( 2 axaxxg ),,0( x
（1） 当 a=0 时，g(x)=-x+1，x∈（0，+∞），
所以 当 x∈(0，1)时，g(x)>0，此时 f(x)<0，函数 f(x)单调递减
（2） 当 a≠0 时，由f(x)=0，
即 ax2-x+1=0, 解得 x1=1,x2=1/a-1
① 当 a=1/2 时，x1= x2, g(x)≥0 恒成立，此时 f(x)≤0，函数 f(x)在（0，+∞）
上单调递减;
② 当 01>0
x∈(0，1)时，g(x)>0,此时 f(x)<0,函数 f(x)单调递减
x∈(1，1/a-1)时，g(x)>0,此时 f(x)0，此时 f(x)0,此时 f,(x)<0 函数 f(x)单调递减；
x∈（1 ，∞）时，g(x)<0 此时函数 f,(x)<0 单调递增。
综上所述：
当 a≤ 0 时，函数 f(x)在（0,1）上单调递减;
函数 f(x)在 (1, +∞) 上单调递增
当 a=1/2 时,函数 f(x)在(0, + ∞)上单调递减
当 00.
（Ⅰ）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间 1 1,2 2
上，f（x）>0 恒成立，求 a 的取值范围.
【命题意图】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等
式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.
【解析】（Ⅰ）解：当 a=1 时，f（x）= 3 23x x 12
，f（2）=3；f’(x)= 23 3x x , f’(2)=6.
所以曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为 y-3=6（x-2），即 y=6x-9.
（Ⅱ）解：f’(x)= 23 3 3 ( 1)ax x x ax .令 f’(x)=0，解得 x=0 或 x= 1
a
.
以下分两种情况讨论：
（1） 若 1 10 a 2 a 2
，则 ，当 x 变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：
X
1 02
， 0
1
2
0，
f’(x) + 0 -
f(x) 极大值
当 1 1x f x2 2
， 时， （ ）>0 等价于
5 a1 0,( ) 0, 82
1 5 a( ) 0, 0.2 8
f
f
即 ，
解不等式组得-52，则 1 10 a 2
.当 x 变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：
X
1 02
， 0
1
a
0， 1
a
1 1
a 2
，
f’(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
当 1 1x 2 2
， 时，f（x）>0 等价于
1f(- )2
1f( )>0,a
>0,
即
2
5
8
11- >0.2
a
a
>0,
，解不等式组得 2 52 a
或 2
2a .因此 20 等价于
5 a1 0,( ) 0, 82
1 5 a( ) 0, 0.2 8
f
f
即
解不等式组得-50,所以“ 3 2( ) 3
af x x bx cx d 在（-∞，+∞）内无极值点”等价于
“ 2( ) 2 0f x ax bx c 在（-∞，+∞）内恒成立”。
由（*）式得 2 9 5 , 4b a c a 。
又 2(2 ) 4 9( 1)( 9)b ac a a
解 0
9( 1)( 9) 0
a
a a
得 1,9a
即 a 的取值范围 1,9
5．(2010 年高考江西卷文科 17)（本小题满分 12 分）
设函数 3 26 3 2 2f x x a x ax ．
（1）若 f x 的两个极值点为 1x ， 2x ，且 1 2 1x x ，求实数 a 的值；
（2）是否存在实数 a ，使得 f x 是 , 上的单调函数？若存在，求出 a 的值；若不
存在，说明理由．
【答案】解： 2'( ) 18 6( 2) 2f x x a x a
（1）由已知有 1 2'( ) '( ) 0f x f x ，从而 1 2
2 118
ax x ，所以 9a ；
（2）由 2 236( 2) 4 18 2 36( 4) 0a a a ，
所以不存在实数 a ，使得 ( )f x 是 ( , ) 上的单调函数．
6. (2010 年高考浙江卷文科 21)（本题满分 15 分）已知函数 2( ) ( )f x x a （a-b）
( , ,a b R a 0),
由已知得 x =alnx，
1
2 x
= a
x
， 解德 a=
2
e ,x=e2,
两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为 k=f’(e2)= 1
2e
,
切线的方程为 y-e= 1
2e (x- e2).
（2）由条件知
Ⅰ 当 a.>0 时，令 h ' (x)=0,解得 x= 24a ,
所以当 0 < x< 24a 时 h ' (x)<0，h(x)在（0， 24a ）上递减；
当 x> 24a 时，h ' (x)>0，h(x)在（0， 24a ）上递增。
所以 x> 24a 是 h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是 h(x)的最小值
点。
所以Φ （a）=h( 24a )= 2a-aln 24a =2
Ⅱ当 a ≤ 0 时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。
故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为 2a(1-ln2a) (a>o)
（3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a)
则 Φ 1（a ）=-2ln2a，令Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2
当 00，所以Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增
当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。
所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1
因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1 也是Φ（a）的最大值
所当 a 属于 (0, +∞)时，总有Φ（a） ≤ 1
12．（2010 年高考湖北卷文科 21）（本小题满分 14 分）
设函数 3 21 ax x bx c3 2f （x）= ，其中 a＞0，曲线 xy f （ ）在点 P（0， 0f（ ））
处的切线方程为 y=1
（Ⅰ）确定 b、c 的值
（Ⅱ）设曲线 xy f （ ）在点（ 1 1x xf，（ ））及（ 2 2x xf，（ ））处的切线都过点（0,2）
证明：当 1 2x x 时， 1 2'( ) '( )f x f x
（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线 xy f （ ）的三条不同切线，求 a 的取值范围。
13．（2010 年高考湖南卷文科 21）（本小题满分 13 分）
已知函数 ( ) ( 1)ln 15 ,af x x a x ax
其中 a<0,且 a≠-1.
（Ⅰ）讨论函数 ( )f x 的单调性；
（Ⅱ）设函数
3 3 2( 2 3 6 4 6 ) , 1
( ), 1
( ) {
xx ax ax a a e x
e f x x
g x
（e 是自然数的底数）。
是否存在 a，使 ( )g x 在[a,-a]上为减函数？若存在，求 a 的取值范围；
若不存在，请说明理由。
14．（ 2010 年高考全国Ⅰ卷文科 21）(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）
已知函数 4 2( ) 3 2(3 1) 4f x ax a x x
（I）当 1
6a 时，求 ( )f x 的极值;
（II）若 ( )f x 在 1,1 上是增函数，求 a 的取值范围
解：（Ⅰ） 24 1 3 3 1f x x ax ax
当 1
6a 时， 22( 2)( 1)f x x x ， ( )f x 在 ( , 2) 内单调减，在 2 （ ， ）内单调
增，在 2x 时， ( )f x 有极小值.
所以 ( 2) 12f 是 ( )f x 的极小值.
15．（2010 年高考全国卷Ⅱ文科 21）（本小题满分 12 分）
已知函数 f（x）=x 3 -3ax 2 +3x+1。
（Ⅰ）设 a=2，求 f（x）的单调期间；
（Ⅱ）设 f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围。
【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、
极值及函数与方程的知识。
（1）求出函数的导数，由导数大于 0，可求得增区间，由导数小于 0，可求得减区间。
（2）求出函数的导数 ( )f x ，在（2，3）内有极值，即为 ( )f x 在（2，3）内有一个零点，
即可根据 (2) (3) 0f f ，即可求出 A 的取值范围。
16．（2010 年高考四川卷文科 22）（本小题满分 14 分）
设 1
1
x
x
af ( x ) a
（ 0a 且 1a ），g(x)是 f(x)的反函数.
（Ⅰ）求 ( )g x ；
（Ⅱ）当 [2,6]x 时，恒有 2( ) log ( 1)(7 )a
tg x x x
成立，求 t 的取值范围；
（Ⅲ）当 0＜a≤1
2
时，试比较 f(1)+f(2)+…+f(n)与 4n 的大小，并说明理由.
