北京高考文科数学试题及答案解析

北京高考文科数学试题及答案解析

‎2017年北京市高考文科数学试卷逐题解析 数 学（文）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷的答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题 ‎1. 已知全集，集合或，则 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】或，，故选.‎ ‎2. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在第二象限.‎ 得.故选.‎ ‎3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为 ‎ A. ‎ ‎ B. ‎ ‎ C. ‎ ‎ D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】. 成立，，.‎ 成立，，. 成立，，. ‎ 不成立，输出.故选.‎ ‎4.若满足，则的最大值为 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设，则，当该直线过时，‎ 最大. 当时，取得最大值，故选.‎ ‎5.已知函数，则 ‎ A. 是偶函数，且在上是增函数 B. 是奇函数，且在上是增函数 C. 是偶函数，且在上是减函数 D. 是奇函数，且在上是减函数 ‎【答案】‎ ‎【解析】 且定义域为.‎ 为奇函数. 在上单调递增，在上单调递减在上单调递增.‎ 在上单调递增，故选.‎ ‎6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如下：，故选.‎ ‎7.设为非零向量，则“存在负数，使得 ”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】‎ ‎【解析】存在负数，使得，且为非零向量.‎ 与方向相反. ‎ ‎“存在负数，使得”是“”的充分条件.‎ 若，则，则.‎ ‎，与不一定反向.‎ 不一定存在负数，使.故选 ‎8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而 可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是 ‎（参考数据：）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，，两边取对数 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎9.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得 所以 ‎10.若双曲线的离心率为，则实数 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得 且，解得 ‎11.已知，且，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时，取得最小值为 当或时，取得最大值为 的取值范围为 ‎12.已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】点在圆上 ‎ 设点坐标，满足 ‎ ，，‎ ‎ ，‎ ‎ 的最大值为 ‎13.能够说明“设是任意实数.若，则”是假命题的一组整数的值依次为_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】取分别为不满足，故此命题为假命题 ‎ （此题答案不唯一）‎ ‎14.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：‎ ‎( i ) 男学生人数多于女学生人数；‎ ‎(ii ) 女学生人数多于教师人数；‎ ‎(iii) 教师人数的两倍多于男学生人数.‎ ‎ ① 若教师人数为，则女学生人数的最大值为_______；‎ ‎ ② 该小组人数的最小值为_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ①若教师人数为人，则男生人数小于人，则男生人数最多为人，女生最多为人。‎ ‎ ②若教师人数为人，则男生人数少于人，与已知矛盾 若教师人数为人，则男生人数少于人，与已知矛盾 若教师人数为人，则男生人数少于人，则男生为 人，女生人。‎ 所以小组人数最小值为人 ‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎15.（本小题13分）‎ 已知等差数列和等比数列满足，，. ‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设公差为，公比为.‎ 则，即.‎ 故，即.‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，则，.‎ 为公比为的等比数列.‎ 构成首项为，公比为的等比数列.‎ ‎.‎ ‎16.（本小题13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，.‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ 所以最小正周期.‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ 由（Ⅰ）知.‎ 当，即时，取得最小值.‎ 得证.‎ ‎17．（本小题13分）‎ 某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（I）从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率；‎ ‎（II）已知样本中分数小于的学生有人，试估计总体中分数在区间内的人数；‎ ‎（III）已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.‎ ‎【解析】‎ ‎（I）由频率分布直方图得：‎ ‎ 分数大于等于的频率为分数在和的频率之和，‎ ‎ 即，由频率估计概率 ‎ 分数小于的概率为 ‎（II）设样本中分数在区间内的人数为，则由频率和为得 ‎ 解之得 ‎ 总体中分数在区间内的人数为（人）‎ ‎（III）设样本中男生人数为，女生人数为 ‎ 样本中分数不小于的人数共有（人）‎ ‎ 分数不小于的人中男生，女生各占人 ‎ 样本中男生人数为（人）‎ ‎ 女生人数为（人）‎ ‎ 总体中男生和女生的比例为 ‎18．（本小题14分）‎ ‎ 如图，在三棱锥中，，，，‎ ‎，为线段的中点，为线段上一点.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）求证：平面平面；‎ ‎（III）当平面时，求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】‎ ‎（I），，‎ ‎ 又平面，平面 ‎ 平面 ‎ 又平面 ‎ ‎ ‎（II）在中，为中点 ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 由（I）知，而，，平面 ‎ 平面 ‎ 又平面且平面 ‎ 平面平面 ‎（III）由题知平面 ‎ 平面，平面平面 ‎ ‎ ‎ 平面平面 ‎ 又为中点 为中点 ‎ ，‎ ‎ 在中，‎ ‎ 且 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题14分）‎ 已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点.求证：与的面积之比为. ‎ ‎【解析】（Ⅰ）焦点在轴上且顶点为 椭圆的方程为：‎ ‎（Ⅱ）设且，，则 ‎ ‎ ‎ ‎ 直线:‎ 直线:‎ 由 得 得证 ‎20．（本小题13分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎（I）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 在点处的切线方程为 ‎（II）令， ‎ ‎ ‎ 而 在区间上单调递减 在区间上单调递减 当时，有最小值 ‎ 当时，有最大值