全国高考文科数学试题及答案详解辽宁卷

全国高考文科数学试题及答案详解辽宁卷

‎2011年普通高等学校招生考试（辽宁卷）‎ 数 学（供文科考生使用）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．‎ ‎3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A={x}，B={x}}，则AB=‎ ‎ A．{x} B．{x} ‎ ‎ C．{x} D．{x}‎ ‎2．为虚数单位，‎ ‎ A．0 B．‎2‎ C． D．4‎ ‎3．已知向量，，，则 ‎ A． B． C．6 D．12‎ ‎4．已知命题P：n∈N，2n＞1000，则P为 ‎ A．n∈N，2n≤1000 B．n∈N，2n＞1000‎ ‎ C．n∈N，2n≤1000 D．n∈N，2n＜1000‎ ‎5．若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为 ‎ A．2 B．‎4 ‎ C．8 D．16‎ ‎6．若函数为奇函数，则a=‎ ‎ A． B． C． D．1‎ ‎7．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为 ‎ A． B．‎1 ‎ C． D．‎ ‎8．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图 如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ‎ A．4 B． C．2 D．‎ ‎9．执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是 ‎ A．8‎ ‎ B．5‎ ‎ C．3‎ ‎ D．2‎ ‎10．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，‎ ‎∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎11．函数的定义域为，，对任意，，‎ 则的解集为 ‎ A．（，1） B．（，+） ‎ ‎ C．（，） D．（，+）‎ ‎12．已知函数=Atan（x+）（），y=的 部分图像如下图，则 ‎ A．2+ B．‎ ‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为___________．‎ ‎14．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．‎ ‎15．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________．‎ ‎16．已知函数有零点，则的取值范围是___________．‎ 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos‎2A=a．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）若c2=b2+a2，求B．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．‎ ‎（I）证明：PQ⊥平面DCQ；‎ ‎（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．‎ ‎（I）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；‎ ‎（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：‎ 品种甲 ‎403‎ ‎397‎ ‎390‎ ‎404‎ ‎388‎ ‎400‎ ‎412‎ ‎406‎ 品种乙 ‎419‎ ‎403‎ ‎412‎ ‎418‎ ‎408‎ ‎423‎ ‎400‎ ‎413‎ 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？‎ 附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2．‎ ‎（I）求a，b的值；‎ ‎（II）证明：≤2x-2．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．‎ ‎（I）设，求与的比值；‎ ‎（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．‎ ‎（I）证明：CD//AB；‎ ‎（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．‎ ‎（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；‎ ‎（II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为 A2，B2，求四边形A‎1A2B2B1的面积．‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数=|x-2|x-5|．‎ ‎（I）证明：≤≤3；‎ ‎（II）求不等式≥x2x+15的解集．‎ 参考答案 评分说明：‎ ‎1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ ‎4．只给整数分数，选择题不给中间分.‎ 一、选择题 ‎1. 【解析】选D.利用数轴可以得到AB={x}{x}={x}‎ ‎2. 【解析】选A，‎ ‎3. 【解析】选D.因为，所以．‎ ‎ 又，所以，得．‎ ‎4. 【解析】选A.特称命题的否定是全称命题，“＞”的否定是“≤”，故正确答案是A.‎ ‎5. 【解析】选B.设等比数列{an}的公比为，∵anan+1=16n,∴an+1an+2=16n+1，‎ ‎∴‎ ‎6. 【解析】选A.∵ 函数为奇函数,‎ ‎∴，解得.‎ ‎7. 【解析】选C.设 A，B两点的横坐标分别为m,n,则由及抛物线的定义可知,∴即线段AB的中点到y轴的距离为 ‎8. 【解析】选B.设棱长为，由体积为可列等式，，‎ 所求矩形的底边长为，这个矩形的面积是 ‎9. 【解析】选C，若输入n=4，则执行s=0，t=1，k=1，p=1，判断1<4成立，进行第一次循环；p=2，s=1，t=2，k=2，判断2<4成立，进行第二次循环；p=3，s=2，t=2，k=3，判断3<4成立，进行第三次循环；p=4，s=2，t=4，k=4，判断4<4不成立，故输出p=4‎ ‎10. 【解析】选C，设球心为，则是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边故，且有，．‎ ‎∴=．‎ ‎11. 【解析】选B。设g(x)= f(x)-(2x+4), g’(x)= .因为对任意，，所以对任意，g’(x)>0，则函数g(x)在R上单调递增.又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0，故g(x)>0,即f(x)＞2x+4的解集为(-1，+).‎ ‎12. 【解析】选B.如图可知，即，所以，再结合图像可得，即，所以，只有，所以，又图像过点（0，1），代入得Atan=1，所以A=1，函数的解析式为f（x）=tan（2x+），则f（）= tan=．‎ 答案：‎ 二、填空题 ‎13．‎ ‎【解析】直线AB的斜率是kAB=，中点坐标是(3,2).故直线AB的中垂线方程，由得圆心坐标C（2,0），r=|AC|=‎ ‎,故圆的方程为。‎ ‎14．0.254‎ ‎【解析】由于，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．‎ ‎15．—1‎ ‎【解析】设等差数列的公差为d，解方程组得d=-2，a5=a4+d=-1.‎ ‎16．‎ ‎【解析】函数有零点等价于 即有解. 等价于有解。令，∴。‎ 当时，；当时，.‎ ‎∴当时，取到最大值，∴的取值范围是.‎ 三、解答题 ‎17．解：（I）由正弦定理得，，即 故 ………………6分 ‎ （II）由余弦定理和 由（I）知故 可得 …………12分 ‎18．解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形 因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.‎ 又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.‎ 在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD 所以PQ⊥平面DCQ. ………………6分 ‎ （II）设AB=a.‎ 由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积 由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=，△DCQ的面积为，‎ 所以棱锥P—DCQ的体积为 故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分 ‎19．解：（I）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，‎ 令事件A=“第一大块地都种品种甲”.‎ 从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；‎ ‎（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.‎ 而事件A包含1个基本事件：（1，2）.‎ 所以 ………………6分 ‎ （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎ ………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎ ………………10分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.‎ ‎20．解：（I） …………2分 由已知条件得 解得 ………………5分 ‎ （II），由（I）知 设则 而 ………………12分 ‎21．解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设 设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得 ‎ ………………4分 当表示A，B的纵坐标，可知 ‎ ………………6分 ‎ （II）t=0时的l不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即 解得 因为 所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；‎ 当时，存在直线l使得BO//AN. ………………12分 ‎22．解：‎ ‎ （I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.‎ 因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.‎ 故∠ECD=∠EBA，‎ 所以CD//AB. …………5分 ‎ （II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.‎ 连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，‎ 又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.‎ 所以∠AFG+∠GBA=180°.‎ 故A，B，G，F四点共圆 …………10分 ‎23．解：‎ ‎ （I）C1是圆，C2是椭圆.‎ ‎ 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.‎ ‎ 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.‎ ‎ （II）C1，C2的普通方程分别为 ‎ 当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为 ‎ ‎ 当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，‎ 四边形A‎1A2B2B1为梯形.‎ 故四边形A‎1A2B2B1的面积为 …………10分 ‎24．解：‎ ‎ （I）‎ ‎ 当 ‎ 所以 ………………5分 ‎ （II）由（I）可知，‎ ‎ 当的解集为空集；‎ ‎ 当；‎ ‎ 当.‎ ‎ 综上，不等式 …………10分