数学高考北师大版圆锥曲线中的综合问题

数学高考北师大版圆锥曲线中的综合问题

课 题 第3讲　圆锥曲线中的综合问题 课时安排 本节课时 学期总课次 主 备 人 审阅 富平中学高三数学组 授课人 授课时间 授课班级 教 学 目 标 ‎1.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.‎ ‎2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.‎ ‎3.了解圆锥曲线的简单应用.‎ 重难点 ‎“定点，定值，取值(范围)， 探索性问题”‎ 教法设计 考点 ‎1.“参数法”解决定点问题 ‎2.“变量无关法”解决定值问题 ‎3.“函数(不等式)法”解决取值(范围)问题 ‎4.“肯定顺推法”解决探索性问题 题型 解答题 教具准备 教 学 过 程 公共教学 个性教学 考点一：“参数法”解决定点问题 证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出x，y的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．‎ 例1：(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)‎ ‎，P2(0，1)，P3(－1，)，P4(1，)中恰有三点在椭圆C上．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．‎ ‎【解】(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点．‎ 又由＋>＋知，C不经过点P1，‎ 所以点P2在C上．‎ 因此解得 故C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.‎ 如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，.‎ 则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．‎ 从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．‎ 将y＝kx＋m代入＋y2＝1得 ‎(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.‎ 由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 而k1＋k2＝＋ ‎＝＋ ‎＝.‎ 由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.‎ 即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.‎ 解得k＝－.‎ 当且仅当m>－1时，Δ>0，‎ 于是l：y＝－x＋m，‎ 即y＋1＝－(x－2)，‎ 所以l过定点(2，－1)．‎ 考点二:“变量无关法”解决定值问题 定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关．‎ 例2： 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ ‎【解】　(1)由题意有＝，＋＝1，‎ 解得a2＝8，b2＝4.‎ 所以C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：设直线l：y＝kx＋b1(k≠0，b1≠0)，A(x1，y1)，‎ B(x2，y2)，M(xM，yM)．‎ 将y＝kx＋b1代入＋＝1，得 ‎(2k2＋1)x2＋4kb1x＋2b－8＝0.‎ 故xM＝＝，yM＝k·xM＋b1＝.‎ 于是直线OM的斜率kO M＝＝－，‎ 即kO M·k＝－.‎ 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ ‎　 ‎ 考点三： “函数(不等式)法”解决取值(范围)问题 解析几何中的取值(范围)问题最基本的解法是函数法与不等式法．有时需要使用双参数表达直线方程，解决方法：一是根据直线满足的条件，建立双参数之间的关系，把问题化为单参数问题；二是直接使用双参数表达问题，结合求解目标确定解题方案．‎ 例3： (2019·高考浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.‎ ‎(1)求直线AP斜率的取值范围；‎ ‎(2)求|PA|·|PQ|的最大值．‎ ‎【解】　(1)设直线AP的斜率为k，‎ k＝＝x－，‎ 因为－0，解得k2>，‎ 由题意知直线l不经过椭圆的左、右顶点，‎ 即k≠±1，亦即k2>且k2≠1.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，‎ 得y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2 ‎＝－＋2＝.‎ 所以＋＝(x1＋x2，y1＋y2)‎ ‎＝，‎ 又＝(－，1)，‎ 向量＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，‎ 所以－＝(－)·，‎ 解得k＝，不符合题意，所以不存在这样的直线．‎ 四．小结 ‎1. 动直线过定点问题的两大类型及解法 ‎(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．‎ ‎(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．‎ ‎2.定值问题涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可得到解决圆锥曲线中的取值范围问题的五类思维途径 ‎3.(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；‎ ‎(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．　 ‎ ‎4.解决探索性问题的注意事项 存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．‎ ‎(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．‎ ‎(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．‎ ‎(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．　 ‎ 板书设计 教 学 反 思