高考母题研究余弦变式创新解法

高考母题研究余弦变式创新解法

‎ 2019年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 485 ‎ ‎[决胜高考数学母题](第114号)‎ 余弦变式.创新解法 ‎ 对于余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,可以进行不同方式的变式,常见的有等价变式、恒等变式和三角变式;利用这些变式,可给出三类试题的快捷且创新解法.‎ ‎[母题结构]:(Ⅰ)(等价变式)①a2=b2+c2-2bccosAa2=(b+c)2-2bc(1+cosA);②a2=b2+c2-2bccosAa2=(b-c)2+2bc(1-‎ cosA);‎ ‎(Ⅱ)(恒等变式)①a2+b2-c2=4SΔABCcotC;②a2-b2=c(acosB-bcosA);‎ ‎(Ⅲ)(三角变式)①a2=(bcosC+ccosB)2+(bsinc-csinB)2;②a2=(bcosB+ccosC)2+(bsinB-csinC)2.‎ ‎[母题解析]:略.‎ ‎ 1.等价变式 ‎ 子题类型Ⅰ:(2014年江西高考试题)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积 .‎ ‎[解析]:由c2=(a-b)2+6,C=,c2=(a-b)2+2ab(1-cosC)ab=6SΔABC=.‎ ‎[点评]:利用等价变式可以巧解两边和、差与积的关系型试题,两边和与积的关系型问题又与一元二次方程勾通,两边的积又与三角形面积相连;取等价变式的特殊情况,也是构造试题的一种手段.‎ ‎[同类试题]:‎ ‎1.(2016年山东高考试题)△ABC中,角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A=( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2.(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知向量=(2cos(+x),-1),=(-sin(-x),cos2x),f(x)=.‎ 若a,b,c分别是锐角△ABC中角A,B,C的对边,且满足f(A)=1,b+c=5+3,a=,则△ABC的面积S= .‎ ‎ 2.恒等变式 ‎ 子题类型Ⅱ:(2012年全国高中数学联赛试题(A))设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足acosB-bcosA=‎ c,则的值是 .‎ ‎[解析]:由a2-b2=c(acosB-bcosA),acosB-bcosA=ca2-b2=c2===4.‎ ‎[点评]:利用等价变式可以巧解三角形二边平方和与第三边平方的差、三角形二边平方差以及与acosB-bcosA有关的试题;而与acosB-bcosA有关的问题又常与射影定理acosB+bcosA=c有关.‎ ‎[同类试题]:‎ ‎3.(2005年上海春招试题)在△ABC中,若,则△ABC是( )‎ ‎(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形 ‎4.(2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)In the triangle ABC ,if the interior angles satisfy sin(A-B)=sinC,then=( )‎ ‎ 486 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2019年课标高考母题 ‎ ‎(A)2 (B)4 (C)1 (D)5‎ ‎ 3.三角变式 ‎ 子题类型Ⅲ:(原创试题)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若bcosB+ccosC=,csinC-bsinB=,则a= .‎ ‎[解析]:由a2=b2+c2-2bccosA=(sin2B+cos2B)b2+(sin2C+cos2C)c2+2bccos(B+C)=(b2sin2B+c2sin2C)+(b2cos2B+c2cos2C)+2bc ‎(cosBcosC-sinBsinC)=(bcosB+ccosC)2+(bsinB-csinC)2=16a=4.‎ ‎[点评]:通过三角变式①可易证正弦定理与余弦定理的等价性;而三角变式②,不仅给出了一条崭新的命题途径,而且也可以给出一类相关试题的创新解法.‎ ‎[同类试题]:‎ ‎5.(原创试题)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,若a=bcosB+ccosC,则△ABC是( )‎ ‎(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形 ‎6.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)ΔABC中,若(sinA+sinB)(cosA+cosB)＝2sinC,则 ‎(A)ΔABC是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC是直角三角形但不一定是等腰三角形 ‎(C)ΔABC既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC既是等腰三角形也是直角三角形 ‎ 4.子题系列:‎ ‎7.(2011年重庆高考试题)若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=600,则ab的值为 .‎ ‎8.(2013年安徽高考试题)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C= .‎ ‎9.(2015年天津高考试题)在△ABC中,内角A,B,C,所对的边分别是a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为 .‎ ‎10.(2014年天津高考试题)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为 .‎ ‎11.(2005年北京春招试题)在△ABC中,己知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是( )‎ ‎(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等腰直角三角形 (D)正三角形 ‎12.(2010年天津高考试题)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=( )‎ ‎(A)300 (B)600 (C)1200 (D)1500‎ ‎13.(2006年四川高考试题)设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边,则a2=b(b+c)是A=2B的( )‎ ‎(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)即不充分也不必要条件 ‎14.(1985年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若角A,B,C的大小成等比数列,且b2-a2=ac,则角B的孤度数等于______.‎ ‎15.(原创试题)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,若bcosB+ccosC=4,csinC-bsinB=3,则a= .‎ ‎16.(原创试题)设锐角△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,若a=5,csinC-bsinB=3,则bcosB+ccosC= .‎ ‎17.(原创试题)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,若(sinA+sinB)(cosA+cosB)＝2sinC,且a=2c,则cosA= .‎ ‎18.(原创试题)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,△ABC外接圆半径为R,若a=5,c2-b2=6R,则bcosB+ccosC= .‎ ‎ 5.子题详解:‎ ‎1.解:由b=c,a2=(b-c)2+2bc(1-cosA)a2=2b2(1-cosA);又a2=2b2(1-sinA)1-cosA=1-sinAtanA=1A=.故选(C).‎ ‎2.解:f(x)==-2cos(+x)sin(-x)-cos2x=2sinxcosx-cos2x=sin(2x-),f(A)=1sin(2A-)=‎ ‎ 2019年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 487 ‎ ‎2A-=2kπ+,或2A-=2kπ+π-A=kπ+,或A=kπ+A=.由a2=(b+c)2-2(1+cosA)bc13=43+30‎ ‎-(2+)bcbc=15S=.‎ ‎3.解:由acosB-bcosA=0;又由a2-b2=c(acosB-bcosA)a=b;同理可得b=ca=b=c△ABC是等边三角形.故选(B).‎ ‎4.解:由sin(A-B)=sinCacosB-bcosA=ca2-b2=c2===4.故选(B).‎ ‎5.解:由a=bcosB+ccosC,a2=(bcosB+ccosC)2+(bsinB-csinC)2bsinB-csinC=0b=c.故选(D).‎ ‎6.解:由(sinA+sinB)(cosA+cosB)＝2sinC(a+b)(cosA+cosB)＝2cacosA+bcosB+acosB+bcosA=2c,又acosB+bcosA=‎ cacosA+bcosB=c;由c2=(acosA+bcosB)2+(asinA-bsinB)2asinA-bsinB=0a=b.故选(A).‎ ‎7.解:由(a+b)2-c2=4,且C=600,c2=(a+b)2-2ab(1+cosC)ab=‎ ‎8.解:由3sinA=5sinB3a=5b,又b+c=2a,c2=(a+b)2-2ab(1+cosC)cosC=-C=.‎ ‎9.解:由sinA=,bcsinA=3bc=24;又由a2=(b-c)2+2bc(1-cosA)=64a=8.‎ ‎10.解:由2sinB=3sinC2b=3c,又b-c=a,a2=(b-c)2+2bc(1-cosA)cosA=-.‎ ‎11.解:由2sinAcosB=sinC2acosB=c2acosB=acosB+bcosAacosB-bcosA=0;又由a2-b2=c(acosB-bcosA)a=b.故选(B).‎ ‎12.解:由a2-b2=bc,a2-b2=c(acosB-bcosA)bc=c(acosB-bcosA)b=acosB-bcosA;又sinC=2sinBc=‎ ‎2bacosB+bcosA=c=2bcosA=.故选(A).‎ ‎13.解:由a2-b2=c(acosB-bcosA),所以,a2=b(b+c)a2-b2=bcacosB-bcosA=bsinAcosB-sinBcosA=sinBsin(A-B)‎ ‎=sinBA-B=BA=2B.故选(A).‎ ‎14.解:由角A,B,C的大小成等比数列A=B,C=qB,A+B+C=πB=;又b2-a2=ac,b2-a2=c(bcosA-acosB)‎ bcosA-acosB=asinBcosA-sinAcosB-sinAsin(B-A)=sinAB-A=AB=2Aq=2B=.‎ ‎15.解:由a2=(bcosB+ccosC)2+(bsinB-csinC)2=25a=5.‎ ‎16.解:由a2=(bcosB+ccosC)2+(bsinB-csinC)2(bcosB+ccosC)2=16bcosB+ccosC=4.‎ ‎17.解:由(sinA+sinB)(cosA+cosB)＝2sinC(a+b)(cosA+cosB)＝2cacosA+bcosB+acosB+bcosA=2c,又acosB+bcosA=‎ cacosA+bcosB=c;由c2=(acosA+bcosB)2+(asinA-bsinB)2asinA-bsinB=0a=bc=2acosAcosA=.‎ ‎18.解:由c2-b2=6RcsinC-bsinB=3;又由a2=(bcosB+ccosC)2+(bsinB-csinC)2(bcosB+ccosC)2=16bcosB+ccosC=4.‎ ‎ ‎