高考全国卷数学试题及答案解析理科

高考全国卷数学试题及答案解析理科

2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷） 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. 已知集合 ，则（） A． B． C． D． 2. 如图，正方形 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色 部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概 率是（） A． B． C． D． 3. 设有下面四个命题，则正确的是（） ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 ，则 ． A． B． C． D． 4. 记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 的公差为（） A．1 B．2 C．4 D．8 5. 函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足 的 的取值范围是（） A． B． C． D． { } { }1 3 1xA x x B x= < = <， { }0= <A B x x A B = R { }1= >A B x x A B = ∅ ABCD 1 4 π 8 1 2 π 4 1p z 1 z ∈R z ∈R 2p z 2z ∈R z ∈R 3p 1 2z z， 1 2z z ∈R 1 2z z= 4p z ∈R z ∈R 1 3p p， 1 4p p， 2 3p p， 2 4p p， nS { }na n 4 5 624 48a a S+ = =， { }na ( )f x ( )−∞ + ∞， ( )1 1f = − ( )1 2 1f x− −≤ ≤ x [ ]2 2− ， [ ]1 1− ， [ ]0 4， [ ]1 3， 6. 展开式中 的系数为 A． B． C． D． 7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成， 正方形的边长为 ，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些 梯形的面积之和为 A． B． C． D． 8. 右面程序框图是为了求出满足 的最小偶数 ，那么在 和 两个 空白框中，可以分别填入 A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 9. 已知曲线 ， ，则下面结论正确的是（） A．把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个 单位长度，得到曲线 B．把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 D．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 ( )6 2 11 1 xx  + +   2x 15 20 30 35 2 10 12 14 16 3 2 1000n n− > n 1000A > 1n n= + 1000A > 2n n= + 1000A≤ 1n n= + 1000A≤ 2n n= + 1 : cosC y x= 2 2π: sin 2 3C y x = +   1C 2 π 6 2C 1C 2 π 12 2C 1C 1 2 π 6 2C 1C 2 π 12 2C 10. 已知 为抛物线 ： 的交点，过 作两条互相垂直 ， ，直线 与 交于 、 两点，直线 与 交于 ， 两点， 的最小值为（） A． B． C． D． 11. 设 ， ， 为正数，且 ，则（） A． B． C． D． 12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的 答案：已知数列 ，…，其中第一项是 ， 接下来的两项是 ， ，在接下来的三项式 ， ， ，依次类推，求满足如下条件的 最小整数 ： 且该数列的前 项和为 的整数幂．那么该款软件的激活码是 （　　） A． B． C． D． 二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，则 ________． 14. 设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_______． 15. 已知双曲线 ，（ ， ）的右顶点为 ，以 为圆心， 为半径作圆 ， 圆 与双曲线 的一条渐近线交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为 _______． 16. 如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为 ，该纸片上的等边三角形 的中心为 ， 、 、 为元 上的点， ， ， 分别是一 ， ， 为底边 的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 ， ， 为折痕折起 ， ， ，使得 ， ， 重合，得到三棱锥．当 的边长变化时，所得三棱锥体积 （单位： ）的最大值为_______． 三、 解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 的面积为 ． （1）求 ； （2）若 ， ，求 的周长． F C 2 4y x= F 1l 2l 1l C A B 2l C D E AB DE+ 16 14 12 10 x y z 2 3 5x y z= = 2 3 5x y z< < 5 2 3z x y< < 3 5 2y z x< < 3 2 5y x z< < 1, 1, 2 , 1, 2 , 4 , 1, 2 , 4 , 8 , 1, 2 , 4 , 8 , 16 02 02 12 62 12 22 N 100N > N 2 440 330 220 110 a b 60° 2a = 1b = 2a b+ =  x y 2 1 2 1 0 x y x y x y + ≤  + ≥ −  − ≤ 3 2z x y= − 2 2 2 2: x yC a b − 0a > 0b > A A b A A C M N 60MAN∠ = ° C O 5 cm ABC O D E F O DBC△ ECA△ FAB△ BC CA AB BC CA AB DBC△ ECA△ FAB△ D E F ABC△ 3cm ABC△ A B C a b c ABC△ 2 3sin a A sin sinB C 6cos cos 1B C = 3a = ABC△ 18. （12 分） 如图，在四棱锥 中， 中，且 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若 ， ，求二面角 的余弦值． P ABCD− AB CD∥ 90BAP CDP∠ = ∠ = ° PAB ⊥ PAD PA PD AB DC= = = 90APD∠ = ° A PB C− − 19. （12 分） 为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零 件，并测量其尺寸（单位： ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下 生产的零件的尺寸服从正态分布 ． （1）假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件数，求 及 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条 生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （I）试说明上述监控生产过程方法的合理性： （II）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 经计算得 ， ，其中 为抽 取的第 个零件的尺寸， ． 用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值 判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除 之外的数据，用剩下的数 据估计 和 （精确到 ）． 附：若随机变量 服从正态分布 ,则 ． ， ． cm ( )2N µ σ， X ( )3 3µ σ µ σ− +， ( )1P X ≥ X ( )3 3µ σ µ σ− +， 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 16 1 9.97i i x x = = =∑ ( )16 162 2 2 1 1 1 1 16 0.21216 16i i i i s x x x x = =  = − = − ≈   ∑ ∑ ix i 1 2 16i = ， ， ， x µ ˆµ s σ ˆσ ( )ˆ ˆ ˆ ˆ3 3µ σ µ σ− +， µ σ 0.01 Z ( )2N µ σ， ( )3 3 0.997 4P Zµ σ µ σ− < < + = 160.997 4 0.9592≈ 0.008 0.09≈ 20. （12 分）已知椭圆 ： ，四点 ， ， ， 中恰有三点在椭圆 上． （1）求 的方程； （2）设直线 不经过 点且与 相交于 、 两点，若直线 与直线 的斜率的和 为 ，证明： 过定点． C 2 2 2 2 1x y a b + = ( )0a b> > ( )1 1 1P ， ( )2 0 1P ， 3 31 2P  −    ， 4 31 2P       ， C C l 2P C A B 2P A 2P B 1− l 21. （12 分） 已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求 的取值范围． ( ) ( )2e 2 ex xf x a a x= + − − ( )f x ( )f x a （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22. [选修 4-4：坐标系与参考方程] 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方 程为 （ 为参数）． （1）若 ，求 与 的交点坐标； （2）若 上的点到 距离的最大值为 ，求 ． 23. [选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集包含 ，求 的取值范围． xOy C 3cos sin x y θ θ =  = ， ， θ l 4 1 x a t y t = +  = − ， ， t 1a = − C l C l 17 a ( ) ( )2 4 1 1f x x ax g x x x= − + + = + + −， 1a = ( ) ( )f x g x≥ ( ) ( )f x g x≥ [ ]1 1− ， a 答案及解析 一、 选择题 1.A 【解析】 ， ∴ ， ， 选 A 2.B 【解析】设正方形边长为 ，则圆半径为 则正方形的面积为 ，圆的面积为 ，图中黑色部分的概率为 则此点取自黑色部分的概率为 故选 B 3.B 【解析】 设 ，则 ，得到 ，所以 .故 正确； 若 ，满足 ，而 ，不满足 ，故 不正确； 若 ， ，则 ，满足 ，而它们实部不相等，不是共轭复数， 故 不正确； 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故 正确； 4.C 【解析】 联立求得 得 选 C 5.D 【解析】因为 为奇函数，所以 ， 于是 等价于 | 又 在 单调递减 { }1A x x= < { } { }3 1 0xB x x x= < = < { }0A B x x= < { }1A B x x= < 2 1 2 2 4× = 2π 1 π× = π 2 π π2 4 8 = 1 :p z a bi= + 2 2 1 1 a bi z a bi a b −= = ∈+ + R 0b = z ∈R 1P 2 :p z = −2 1 2z ∈R z i= 2z ∈R 2p 3 :p 1z 1= 2z 2= 1 2z z 2= 1 2z z ∈R 3p 4 :p 4p 4 5 1 13 4 24a a a d a d+ = + + + = 6 1 6 56 482S a d ×= + = 1 1 2 7 24 6 15 48 a d a d + = + = ① ② 3× −① ② ( )21 15 24− =d 6 24d = 4d =∴ ( )f x ( ) ( )1 1 1f f− = − = ( )1 2 1f x− −≤ ≤ ( ) ( ) ( )1 2 1f f x f− −≤ ≤ ( )f x ( )−∞ + ∞， 故选 D 6.C. 【解析】 对 的 项系数为 对 的 项系数为 ， ∴ 的系数为 故选 C 7.B 【解析】由三视图可画出立体图 该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 故选 B 8.D 【答案】因为要求 大于 1000 时输出，且框图中在“否”时输出 ∴“ ”中不能输入 排除 A、B 又要求 为偶数，且 初始值为 0， “ ”中 依次加 2 可保证其为偶 故选 D 9.D 【解析】 ， 首先曲线 、 统一为一三角函数名，可将 用诱导公式处理． ．横坐标变换需将 变成 ， 即 ． 1 2 1x∴− −≤ ≤ 3x∴1≤ ≤ ( ) ( ) ( )6 6 6 2 2 1 11+ 1 1 1 1x x xx x   + = ⋅ + + ⋅ +   ( )61 x+ 2x 2 6 6 5C 152 ×= = ( )6 2 1 1 xx ⋅ + 2x 4 6C =15 2x 15 15 30+ = ( )2 4 2 2 6S = + × ÷ =梯 6 2 12S = × =全梯 A A 1000> n n n 1 : cosC y x= 2 2π: sin 2 3  = +  C y x 1C 2C 1 : cosC y x= π π πcos cos sin2 2 2    = = + − = +      y x x x 1=ω 2=ω 1 1 2π π πsin sin 2 sin22 2 4      = + → = + = +           C 上各 坐 短它原 y x y x x点横 标缩 来 2π πsin 2 sin23 3    → = + = +      y x x 注意 的系数，在右平移需将 提到括号外面，这时 平移至 ， 根据“左加右减”原则，“ ”到“ ”需加上 ，即再向左平移 ． 10.A 【解析】 设 倾斜角为 ．作 垂直准线， 垂直 轴 易知 同理 ， 又 与 垂直，即 的倾斜角为 而 ，即 ． ，当 取等号 即 最小值为 ，故选 A 11.D 【解析】取对数： . ω 2=ω π 4 +x π 3 +x π 4 +x π 3 +x π 12 π 12 AB θ 1AK 2AK x 1 1 cos 2 2   ⋅ + = =    = − − =    AF GF AK AK AF P PGP P θ （几何关系） （抛物线特性） cosAF P AFθ⋅ + =∴ 1 cos PAF θ= − 1 cos PBF θ= + ∴ 2 2 2 2 1 cos sin P PAB θ θ= =− DE AB DE π 2 θ+ 2 2 2 2 π cossin 2 P PDE θθ = =  +   2 4y x= 2P = ∴ 2 2 1 12 sin cosAB DE P θ θ  + = +   2 2 2 2 sin cos4 sin cos θ θ θ θ += 2 2 4 sin cosθ θ= 2 4 1 sin 24 = θ 2 16 16sin 2θ= ≥ π 4 θ = AB DE+ 16 ln 2 ln3 ln5x y= = ln3 3 ln 2 2 x y = > ∴ 2 3x y> ln 2 ln5x z= 则 ，故选 D 12.A 【解析】设首项为第 1 组，接下来两项为第 2 组，再接下来三项为第 3 组，以此类推． 设第 组的项数为 ，则 组的项数和为 由题， ，令 → 且 ，即 出现在第 13 组之后 第 组的和为 组总共的和为 若要使前 项和为 2 的整数幂，则 项的和 应与 互为相反数 即 → 则 故选 A 二、 填空题 13. 【解析】 ∴ 14. 不等式组 表示的平面区域如图所示 y x 2x+y+1=0 x+2y-1=0 1 C BA ln5 5 ln 2 2 x z = < ∴ 2 5x z< ∴ 3 2 5y x z< < n n n ( )1 2 n n+ 100N > ( )1 1002 n n+ > 14n≥ *n∈N N n 1 2 2 11 2 n n− = −− n ( )2 1 2 2 21 2 n nn n − − = − −− N ( )1 2 n nN +− 2 1k − 2 n− − ( )*2 1 2 14k n k n− = + ∈N ， ≥ ( )2log 3k n= + 29 5n k= =， ( )29 1 29 5 4402N × += + = 2 3 ( )22 222 ( 2 ) 2 2 cos60 2a b a b a a b b+ = + = + ⋅ ⋅ ⋅ ° +        2 212 2 2 2 22 = + × × × + 4 4 4= + + 12= 2 12 2 3a b+ = =  5− 2 1 2 1 0 x y x y x y + ≤  + ≥ −  − ≤ 由 得 ， 求 的最小值，即求直线 的纵截距的最大值 当直线 过图中点 时，纵截距最大 由 解得 点坐标为 ，此时 15. 【解析】如图， ， ∵ ，∴ ， ∴ 又∵ ，∴ ，解得 ∴ 16. 【解析】由题，连接 ，交 与点 ，由题， ，即 的长度与 的长度或成正比 设 ，则 ， 三棱锥的高 则 令 ， ， 3 2z x y= − 3 2 2 zy x= − z 3 2 2 zy x= − 3 2 2 zy x= − A 2 1 2 1 x y x y + = −  + = A ( 1,1)− 3 ( 1) 2 1 5z = × − − × = − 2 3 3 OA a= AN AM b= = 60MAN∠ = ° 3 2AP b= 2 2 2 23 4OP OA PA a b= − = − 2 2 3 2tan 3 4 bAP OP a b θ = = − tan b a θ = 2 2 3 2 3 4 b b aa b = − 2 23a b= 2 2 1 2 31 1 3 3 be a = + = + = 4 15 OD BC G OD BC⊥ 3 6OG BC= OG BC OG x= 2 3BC x= 5DG x= − 2 2 225 10 25 10h DG OG x x x x= − = − + − = − 212 3 3 3 32ABCS x x= ⋅ ⋅ =△ 21 3 25 103 ABCV S h x x= ⋅ = ⋅ −△ 4 5= 3 25 10x x⋅ − ( ) 4 525 10f x x x= − 5(0, )2x∈ ( ) 3 4100 50f x x x′ = − 令 ，即 ， 则 则 体积最大值为 三、 解答题（必考题） 17. （1） 面积 .且 由正弦定理得 ， 由 得 . （2）由（1）得 ， 又 ， ， 由余弦定理得 ① 由正弦定理得 ， ② 由①②得 ，即 周长为 18.（1）证明：∵ ∴ ， 又∵ ，∴ ( ) 0f x′ > 4 32 0x x− < 2x < ( ) ( )2 80f x f =≤ 3 80 45V × =≤ ∴ 34 15 cm ∵ ABC△ 2 3sin aS A = 1 sin2S bc A= ∴ 2 1 sin3sin 2 a bc AA = ∴ 2 23 sin2a bc A= ∵ 2 23sin sin sin sin2A B C A= sin 0A ≠ 2sin sin 3B C = 2sin sin 3B C = 1cos cos 6B C = ∵ πA B C+ + = ∴ ( ) ( ) 1cos cos π cos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C= − − = − + = − = ∵ ( )0 πA∈ ， ∴ 60A = ° 3sin 2A = 1cos 2A = 2 2 2 9a b c bc= + − = sinsin ab BA = ⋅ sinsin ac CA = ⋅ ∴ 2 2 sin sin 8sin abc B CA = ⋅ = 33b c+ = ∴ 3 33a b c+ + = + ABC△ 3 33+ 90BAP CDP∠ = ∠ = ° PA AB⊥ PD CD⊥ AB CD∥ PD AB⊥ 又∵ ， 、 平面 ∴ 平面 ，又 平面 ∴平面 平面 （2）取 中点 ， 中点 ，连接 ， ∵ ∴四边形 为平行四边形 ∴ 由（1）知， 平面 ∴ 平面 ，又 、 平面 ∴ ， 又∵ ，∴ ∴ 、 、 两两垂直 ∴以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 设 ，∴ 、 、 、 ， ∴ 、 、 设 为平面 的法向量 由 ，得 令 ，则 ， ，可得平面 的一个法向量 ∵ ，∴ 又知 平面 ， 平面 ∴ ，又 ∴ 平面 即 是平面 的一个法向量， ∴ 由图知二面角 为钝角，所以它的余弦值为 19.（1）由题可知尺寸落在 之内的概率为 ，落在 之 外的概率为 ． 由题可知 （2）（i）尺寸落在 之外的概率为 ， 由正态分布知尺寸落在 之外为小概率事件， PD PA P= PD PA ⊂ PAD AB ⊥ PAD AB ⊂ PAB PAB ⊥ PAD AD O BC E PO OE AB CD ABCD OE AB AB ⊥ PAD OE ⊥ PAD PO AD ⊂ PAD OE PO⊥ OE AD⊥ PA PD= PO AD⊥ PO OE AD O O xyz− 2PA = ( )0 02D − ， ， ( )22 0B ， ， ( )00 2P ， ， ( )2 02C − ， ， ( )02 2PD = − − ， ， ( )22 2PB = − ， ， ( )2 2 0 0BC = − ， ， ( )n x y z= , , PBC 0 0 n PB n BC  ⋅ = ⋅ =     2 2 2 0 2 2 0 x y z x  + − = − = 1y = 2z = 0x = PBC ( )0 1 2n = , , 90APD∠ = ° PD PA⊥ AB ⊥ PAD PD ⊂ PAD PD AB⊥ PA AB A= PD ⊥ PAB PD PAB ( )02 2PD = − − , , 2 3cos 32 3 PD nPD n PD n ⋅ −= = = − ⋅     , A PB C− − 3 3 − ( )3 3µ σ µ σ− +， 0.9974 ( )3 3µ σ µ σ− +， 0.0026 ( ) ( )00 16 160 C 1 0.9974 0.9974 0.9592P X = = − ≈ ( ) ( )1 1 0 1 0.9592 0.0408P X P X≥ = − = ≈ − = ( )~ 16 0.0026X B ， ( ) 16 0.0026 0.0416E X∴ = × = ( )3 3µ σ µ σ− +， 0.0026 ( )3 3µ σ µ σ− +， 因此上述监控生产过程的方法合理． （ii） ， 需对当天的生产过程检查． 因此剔除 剔除数据之后： ． 20.（1）根据椭圆对称性，必过 、 又 横坐标为 1，椭圆必不过 ，所以过 三点 将 代入椭圆方程得 ，解得 ， ∴椭圆 的方程为： ． （2） 当斜率不存在时，设 得 ，此时 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． 当斜率存在时，设 联立 ，整理得 ， 则 3 9.97 3 0.212 9.334µ σ− = − × = 3 9.97 3 0.212 10.606µ σ+ = + × = ( ) ( )3 3 9.334 10.606µ σ µ σ− + =， ， ( )9.22 9.334 10.606∉ ， ∴ 9.22 9.97 16 9.22 10.0215 µ × −= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 [ 9.95 10.02 10.12 10.02 9.96 10.02 9.96 10.02 10.01 10.02 9.92 10.02 9.98 10.02 10.04 10.02 10.26 10.02 9.91 10.02 110.13 10.02 10.02 10.02 10.04 10.02 10.05 10.02 9.95 10.02 ] 15 0.0 σ = − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − × ≈ 08 0.008 0.09σ∴ = ≈ 3P 4P 4P 1P 2 3 4P P P， ， ( )2 3 30 1 1 2P P  −    ， ， ， 2 2 2 1 1 3 1 4 1 b a b  =   + = 2 4a = 2 1b = C 2 2 14 x y+ = ① ( ) ( ): A Al x m A m y B m y= −， ， ， ， 2 2 1 1 2 1A A P A P B y yk k m m m − − − −+ = + = = − 2m = l ② ( )1l y kx b b= + ≠∶ ( ) ( )1 1 2 2A x y B x y， ， ， 2 24 4 0 y kx b x y = +  + − = ( )2 2 21 4 8 4 4 0k x kbx b+ + + − = 1 2 2 8 1 4 kbx x k −+ = + 2 1 2 2 4 4 1 4 bx x k −⋅ = + 2 2 1 2 1 2 1 1 P A P B y yk k x x − −+ = + ( ) ( )2 1 2 1 2 1 1 2 x kx b x x kx b x x x + − + + −= 2 2 2 2 2 8 8 8 8 1 4 4 4 1 4 kb k kb kb k b k − − + += − + 又 ，此时 ，存在 使得 成立． ∴直线 的方程为 当 时， 所以 过定点 ． 21.（1）由于 故 当 时， ， ．从而 恒成立． 在 上单调递减 当 时，令 ，从而 ，得 ． 单调减 极小值 单调增 综上，当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 （2）由（1）知， 当 时， 在 上单调减，故 在 上至多一个零点，不满足条件． 当 时， ． 令 ． 令 ，则 ．从而 在 上单调增， 而 ．故当 时， ．当 时 ．当 时 若 ，则 ，故 恒成立，从而 无零点，不 满足条件． 若 ，则 ，故 仅有一个实根 ，不满足条 件． 若 ，则 ，注意到 ． ． 故 在 上有一个实根，而又 ． 且 ． 故 在 上有一个实根． ( ) ( )( ) 8 1 14 1 1 k b b b −= = −+ − ， 1b ≠ 2 1b k⇒ = − − 64k∆ = − k 0∆ > l 2 1y kx k= − − 2x = 1y = − l ( )2 1−， ( ) ( )2e 2 ex xf x a a x= + − − ( ) ( ) ( )( )22 e 2 e 1 e 1 2e 1x x x xf x a a a′ = + − − = − + ① 0a ≤ e 1 0xa − < 2e 1 0x + > ( ) 0f x′ < ( )f x R ② 0a > ( ) 0f x′ = e 1 0xa − = lnx a= − x ( )ln a−∞ −， ln a− ( )ln a− + ∞， ( )f x′ − 0 + ( )f x 0a ≤ ( )f x R 0a > ( )f x ( , ln )a−∞ − ( ln , )a− +∞ 0a ≤ ( )f x R ( )f x R 0a > ( )min 1ln 1 lnf f a aa = − = − + ( ) 11 lng a aa = − + ( ) ( )11 ln 0g a a aa = − + > ( ) 2 1 1' 0g a a a = + > ( )g a ( )0 + ∞， ( )1 0g = 0 1a< < ( ) 0g a < 1a = ( ) 0g a = 1a > ( ) 0g a > 1a > ( )min 11 ln 0f a g aa = − + = > ( ) 0f x > ( )f x 1a = min 11 ln 0f aa = − + = ( ) 0f x = ln 0x a= − = 0 1a< < min 11 ln 0f aa = − + < ln 0a− > ( ) 2 21 1 0e e e a af − = + + − > ( )f x ( )1 ln a− −， 3 1ln 1 ln ln aa a  − > = −   3 3ln 1 ln 13 3ln( 1) e e 2 ln 1a af a aa a    − −           − = ⋅ + − − −          ( )3 3 3 31 3 2 ln 1 1 ln 1 0a aa a a a        = − ⋅ − + − − − = − − − >               ( )f x 3ln ln 1a a   − −     ， 又 在 上单调减，在 单调增，故 在 上至多两个 实根． 又 在 及 上均至少有一个实数根，故 在 上 恰有两个实根． 综上， ． 四、 解答题（选考题） 22.（1） 时，直线 的方程为 ． 曲线 的标准方程是 ， 联立方程 ，解得： 或 ， 则 与 交点坐标是 和 （2）直线 一般式方程是 ． 设曲线 上点 ． 则 到 距离 ，其中 ． 依题意得： ，解得 或 23.（1）当 时， ，是开口向下，对称轴 的二次函数． ， 当 时，令 ，解得 在 上单调递增， 在 上单调递减 ∴此时 解集为 ． 当 时， ， ． 当 时， 单调递减， 单调递增，且 ． 综上所述， 解集 ． （2）依题意得： 在 恒成立． 即 在 恒成立． ( )f x ( )ln a−∞ −， ( )ln a− + ∞， ( )f x R ( )f x ( )1 ln a− −， 3ln ln 1a a   − −     ， ( )f x R 0 1a< < 1a = − l 4 3 0x y+ − = C 2 2 19 x y+ = 2 2 4 3 0 19 x y x y + − = + = 3 0 x y =  = 21 25 24 25 x y  = −  = C l ( )3 0， 21 24 25 25  −  ， l 4 4 0x y a+ − − = C ( )3cos sinp θ θ， P l ( )5sin 43cos 4sin 4 17 17 aad θ ϕθ θ + − −+ − −= = 3tan 4 ϕ = 17maxd = 16a = − 8a = 1a = ( ) 2 4f x x x= − + + 1 2x = ( ) 2 1 1 1 2 1 1 2 1 x x g x x x x x > = + + − = − − < − ， ， ≤x≤ ， (1, )x∈ +∞ 2 4 2x x x− + + = 17 1 2x −= ( )g x ( )1 + ∞， ( )f x ( )1 + ∞， ( ) ( )f x g x≥ 17 11 2  −   ， [ ]1 1x∈ − ， ( ) 2g x = ( ) ( )1 2f x f − =≥ ( )1x∈ −∞ −， ( )g x ( )f x ( ) ( )1 1 2g f− = − = ( ) ( )f x g x≥ 17 11 2  −−    ， 2 4 2x ax− + + ≥ [ ]1 1− ， 2 2 0x ax− − ≤ [ ]1 1− ， 则只须 ，解出： ． 故 取值范围是 ． ( ) ( ) 2 2 1 1 2 0 1 1 2 0 a a  − ⋅ − − − − − ≤ ≤ 1 1a− ≤ ≤ a [ ]1 1− ，