高考数学考点数列的综合应用

高考数学考点数列的综合应用

考点21 数列的综合应用 ‎【高考再现】‎ 热点一、等差数列与等比数列的综合应用 ‎1．（2012年高考（陕西理））设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.‎ ‎(1)求数列的公比;‎ ‎(2)证明:对任意,成等差数列.‎ ‎2．（2012年高考（福建文））在等差数列和等比数列中,的前10项和.‎ ‎(Ⅰ)求和;‎ ‎(Ⅱ)现分别从和的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.‎ ‎3．（2012年高考（天津文））(本题满分13分)已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且.‎ ‎(I)求数列与的通项公式;‎ ‎(II)记()证明:.‎ ‎4．（2012年高考（湖北文））已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.‎ ‎(1) 求等差数列的通项公式;‎ ‎(2)若成等比数列,求数列的前项和.‎ ‎5．．（2012年高考（天津理））已知{}是等差数列,其前项和为,{}是等比数列,且=,,.‎ ‎(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记,,证明.‎ ‎【方法总结】‎ 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．‎ 热点二、数列与其他章节知识的综合应用 ‎1．（2012年高考（四川文））设函数,是公差不为0的等差数列,,则（　　）‎ A．0 B．7 C．14 D．21.‎ ‎2．（2012年高考（上海文））若,则在中,正数的个数是 （　　）‎ A．16. B．72. C．86. D．100.‎ ‎3．（2012年高考（湖北文））定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数:①;②;③;④.‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为（　　）‎ A．①② B．③④ C．①③ D．②④.‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】设数列的公比为.对于①,,是常数,故①符合条件;对于②,,不是常数,故②不符合条件;对于③, ,是常数,故③符合条件;对于④, ,不是常数,故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.‎ ‎4．（2012年高考（福建文））数列的通项公式,其前项和为,则等于（　　）‎ A．1006 B．2012 C．503 D．0‎ ‎5．（2012年高考（北京文））某棵果树前年得总产量与之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高,的值为 （　　）‎ A．5B．7 C．9 D．11 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C.‎ ‎6．（2012年高考（上海文））已知.各项均为正数的数列满足,.若,则的值是_________.‎ ‎7．（2012年高考（四川文））已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.‎ ‎(Ⅰ)用和表示;‎ ‎(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;‎ ‎(Ⅲ)当时,比较与 的大小,并说明理由.‎ ‎8．（2012年高考（湖南文））某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.‎ ‎(Ⅰ)用d表示a1,a2,并写出与an的关系式;‎ ‎(Ⅱ)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).‎ ‎9．（2012年高考（四川理））已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.‎ ‎(Ⅰ)用和表示;‎ ‎(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;‎ ‎(Ⅲ)当时,比较与的大小,并说明理由.‎ ‎10．（2012年高考（上海理））对于数集,其中,,定义向量集 . 若对于任意,存在,使得,则称X 具有性质P. 例如具有性质P.‎ ‎(1)若x>2,且,求x的值;‎ ‎(2)若X具有性质P,求证:1ÎX,且当xn>1时,x1=1;‎ ‎(3)若X具有性质P,且x1=1, x2=q(q为常数),求有穷数列的通项公式.‎ ‎11．（2012年高考（大纲理））‎ 函数.定义数列如下:是过两点的直线与轴交点的横坐标.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求数列的通项公式.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1．解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．‎ ‎2．从近几年新课标高考试题可以看出，不同省市的高考对该内容要求的不尽相同，考生复习时注意把握．数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．‎ ‎【考点剖析】‎ 一．明确要求 ‎1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算．‎ ‎2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等．‎ ‎3．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法．‎ 二．命题方向 ‎1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题．‎ ‎2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力．‎ 三．规律总结 基础梳理 ‎1．等比数列与等差数列比较表 不同点 相同点 等差数列 ‎(1)强调从第二项起每一项与前项的差；‎ ‎(2)a1和d可以为零；‎ ‎(3)等差中项唯一 ‎(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系；‎ ‎(2)结果都必须是同一个常数；‎ ‎(3)数列都可由a1，d或a1，q确定 等比数列 ‎(1)强调从第二项起每一项与前项的比；‎ ‎(2)a1与q均不为零；‎ ‎(3)等比中项有两个值 ‎2.解答数列应用题的步骤 ‎(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．‎ ‎(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．‎ ‎(3)求解——求出该问题的数学解．‎ ‎(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．‎ ‎3．数列应用题常见模型 ‎(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．‎ ‎(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．‎ ‎(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系．‎ 一条主线 数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解．‎ ‎ 两个提醒 ‎(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．‎ ‎(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．‎ 三种思想 ‎(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．‎ ‎(2)数列与不等式结合时需注意放缩．‎ ‎(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．‎ ‎【基础练习】‎ ‎1．（经典习题）某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年 级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是()‎ A．800B．820C．840 D．860‎ ‎2．(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌 在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ()‎ A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 ‎3．（经典习题）若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象 与x轴的交点的个数为()‎ A．0 B．1‎ C．2 D．不能确定 ‎【解析】：由题意b2＝ac(ac＞0)，∴Δ＝b2－4ac＝－3b2＜0.‎ ‎【答案】： A ‎4．（经典习题）5·12汶川大地震后，山东天成书业公司于2008年8月向 北川中学捐赠《三维设计》系列丛书三万册，计划以后每年比上一年多捐5 000册，则截至到2012年，这5年共捐________万册．‎ ‎【解析】：由题意知a1＝3，d＝0.5‎ S5＝3×5＋×0.5＝20.‎ ‎【答案】20‎ ‎5．（经典习题）一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为，公差 为，则这个多边形的边数为________．‎ ‎6．(人教A版教材习题改编)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为(　　)．‎ A．－4 B．－6 C．－8 D．－10‎ ‎【解析】由题意知：a＝a1a4.则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得：a2＝－6.‎ ‎【答案】B ‎7．（经典习题）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，数列{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有(　　)．‎ A．a3＋a9≤b4＋b10‎ B．a3＋a9≥b4＋b10‎ C．a3＋a9≠b4＋b10‎ D．a3＋a9与b4＋b10的大小关系不确定 ‎8．（经典习题）若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝(　　)．‎ A．4 B．2 C．－2 D．－4‎ ‎【名校模拟】‎ 一．基础扎实 ‎1．(2012云南省第一次高中毕业生统一检测复习文)已知是等比数列的前项和，与的等差中项等于15. 如果，那么 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎2．(2012年云南省第一次统一检测理)在等比数列中，与的等差中项等于，. 如果设的前项和为，那么 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【解析】：设等比数列的公比为，由已知得，化简得 ‎，解得. ∴.选（D）.‎ ‎3．(湖北武汉2012毕业生五月供题训练（三）文)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为O的等差数列{}，若a3 =8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是 ‎ A．13 ,12 B．13 ,13 C．12 ,13 D．13 ,14．‎ ‎4．(仙桃市2012年五月高考仿真模拟试题文)已知，若等差数列的第5项的值为，则。 ‎ ‎【答案】：4‎ ‎【解析】：‎ ‎5．(2012北京海淀区高三年级第二学期期末练习理)（本小题满分13分）‎ 已知公差不为０的等差数列的前项和为，，且成等比数列. ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和公式.‎ ‎6．(2012年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试文) (本小题满分12分）‎ 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=2, S1 2S2 3S3成等差数列.‎ ‎(I )求数列{an}的通项公式;‎ ‎(II )数列是首项为-6，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和.‎ ‎7．(山西省2012年高考考前适应性训练理)（本小题满分12分）‎ 已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【解析】：‎ ‎8．(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知等差数列的前项和为，公差成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和.‎ ‎9．(成都市2012届高中毕业班第二次诊断性检测文) (本小题满分12分）‎ 巳知数列{an}的前n项和为，且，数列{bn}满足，‎ ‎(I)证明：数列{an}为等比数列；‎ ‎(II)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(III)记，数列{cn}的前n项和为Tn，比较2Tn与的大小.‎ ‎10．(湖北省武汉市2012届高中毕业生五月供题训练（二）理)（本小题满分12分）‎ 在数列中，（c为常数，），又成公比不为l的等比数列．‎ ‎（I）求证：{}为等差数列，并求c的值；‎ ‎（Ⅱ）设{}满足，证明：数列{}的前n项和 ‎11．(湖北八校文2012届高三第二次联考)（本题满分12分）‎ 已知公差不为0的等差数列的前3项和＝9，且成等比数列。‎ ‎（1）求数列的通项公式和前n项和 ‎（2）设为数列的前n项和，若对一切恒成立，求实数的最小值。‎ 二．能力拔高 ‎ ‎1. (北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）理)定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2. （湖北襄阳五中2012高三年级第二次适应性考试文）已知函数,把方程的根按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（）‎ A． B． C． D． ‎3. (北京市西城区2012届高三下学期二模试卷文)（本小题满分13分）‎ 在等差数列中，，，‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和．‎ ‎4. (2012年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试理) (本小题满分12分）‎ 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4、S10、S7成等差数列.‎ ‎(I )求证而a3,a9,a6成等差数列；‎ ‎(II)若a1=1，求数列W{a3n}的前n项的积 ‎5. （2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)文）(本小题满分12分)‎ ‎ 已知数列{}为公差不为零的等差数列，=1，各项均为正数的等比数列{}的第1 项、第3项、第5项分别是、、．‎ ‎ (I)求数列{}与{}的通项公式；‎ ‎ (Ⅱ)求数列{}的前项和．‎ ‎6. (2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二) 理) (本小题满分12分)‎ ‎ 已知数列{}为公差不为零的等差数列，=1，各项均为正数的等比数列{}的第1 项、第3项、第5项分别是、、．‎ ‎ (I)求数列{}与{}的通项公式；‎ ‎ (Ⅱ)求数列{}的前项和．‎ ‎7．(2012年高三教学测试（二）理)（本题满分14分）‎ 在等差数列和等比数列中，，，()，且成等差数列，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列、的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前和为，若恒成立，求常数的取值范围．‎ ‎8．（长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学2012届第三次模拟理）(本小题12分)已知四个正实数前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个与第三个的和为8，第二个与第四个的积为36.‎ ‎ (Ⅰ) 求此四数；‎ ‎ （Ⅱ）若前三数为等差数列的前三项，后三数为等比数列的前三项，令，求数列的前项和．‎ ‎9．（四川成都2012高三第二次诊断性检测理）(本小题满分12分）‎ 已知数列{an}和{bn}，b1=1，且，记.‎ ‎(I)证明：数列{an}为等比数列；‎ ‎(II)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(III)记，数列{cn}的前n项和为Tn，若恒成立，求k的最大值.‎ ‎【解析】‎ ‎10．（湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理）(本小题满分12分) 已知等差数列数列的前项和为，等比数列的各项均为正数，公比是，且满足：.‎ ‎（Ⅰ）求与；‎ ‎（Ⅱ）设，若满足：对任意的恒成立，‎ 求的取值范围.‎ ‎11．(湖北武汉2012毕业生五月供题训练（三）文)（奉小题满分12分）‎ 某同学在暑假的勤工俭学活动中，帮助某公司推销一种产品，每推销1件产品可获利润4元，第1天他推销了12件，之后加强了宣传，从第2天起，每天比前一天多推销3件．问：‎ ‎ （I）该同学第6天的获利是多少元？‎ ‎ （Ⅱ）该同学参加这次活动的时间至少达到多少天，所获得的总利润才能不少于1020元？‎ 三．提升自我 ‎1. (江西省2012届十所重点中学第二次联考文)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(B)‎ A．1升 B.升 C.升 D. 升 ‎2. (襄阳五中高三年级第一次适应性考试理)已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）。则( )‎ A． B． C． D． ‎3. (浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期4月联考试题理 )对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是________．‎ ‎4. （海淀区高三年级第二学期期末练习文）（本小题满分13分）‎ 已知等差数列的前项和为，公差，，且成等比数列. ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和公式.‎ ‎5.（怀化2012高三第三次模拟考试文）（本小题满分13分） ‎ ‎6．(浙江省2012届浙南、浙北部分学校高三第二学期3月联考试题理)（本小题满分14分）已知函数的导函数,数列的前项和为,点均在函数的图象上.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式及的最大值；‎ ‎（Ⅱ）令,其中,求的前项和．‎ ‎7．（山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试文）（本小题满分12分）‎ 已知数列是等差数列，满足数列的前n项和是Tn，且 ‎（1）求数列及数列的通项公式；‎ ‎（II）若，试比较与的大小.‎ ‎8．(湖北武汉2012适应性训练理)（本小题满分12分）已知前项和为的等差数列的公差不为零，且，又，，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正整数对，使得？若存在，求出所有的正整数对 ‎；若不存在，请说明理由．‎ ‎（注:若用枚举法，最后4分中，得到一个数对给1分，得到两个数对给2分，全对给4分）‎ ‎9．（湖北钟祥一中2012高三五月适应性考试理）（本小题满分14分）已知数列｛an｝是以d为公差的等差数列，数列｛bn｝是以q为公比的等比数列 ‎（Ⅰ）若数列｛bn｝的前n项和为Sn，且a1＝b1＝d＝2，S3＜5b2＋a88－180，求整数q的值 ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列｛bn｝中是否存在一项bk，使得b,k恰好可以表示为该数列中连续P（P∈N，P≥2）项和？请说明理由。‎ ‎（Ⅲ）若b1＝ar，b2＝as≠ar， b3=at（其中t＞s＞r，且（s—r）是（t—r）的约数）求证：数列｛bn｝中每一项都是数列｛an｝中的项.‎ ‎【原创预测】‎ ‎1.对数列，如果及，使 成立，其中，则称为阶递归数列．给出下列三个结论：‎ ① 若是等比数列，则为阶递归数列；‎ ② 若是等差数列，则为阶递归数列；‎ ③ 若数列的通项公式为，则为阶递归数列．‎ 其中，正确结论的个数是（ ）‎ ‎（A）（B）（C）（D） ‎2. 某校数学课外小组在坐标纸上，为一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，，表示非负实数的整数部分，例如，.按此方案，在第棵树的种植点坐标应为.‎ ‎3. 如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片.　按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.　 ‎ ‎（1）每次只能移动一个金属片；‎ ‎（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在 较小的金属片上面．将个金属片从号针移到号针最少 需要移动的次数记为；‎ ‎①；‎ ‎②.‎ ‎4. 在直角坐标平面上有一点列 对一切正整数n，点在函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，－1为公差的等差数列．‎ ‎ （Ⅰ）求点的坐标；‎ ‎ （Ⅱ）设抛物线列C1，C2，C3，…，Cn，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线Cn的顶点为Pn，且过点Dn（0，）.记与抛物线Cn相切于点Dn 的直线的斜率为kn，求．‎