高考数学全国卷题题详细解析

高考数学全国卷题题详细解析

绝密★启用前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试及答案 理科数学 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3‎ ‎ 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。‎ ‎2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。‎ ‎ 3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：‎ 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ ‎ 如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径 ‎ 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么 ‎ 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中R表示球的半径 一．选择题 ‎(1)复数 ‎(A)i http://www.ks5u.com/ (B) (C)12-13 (D) 12+13‎ ‎1．A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.‎ ‎【解析】.‎ ‎(2)记,那么 A. B. - C. D. -‎ ‎2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.‎ ‎【解析】,所以 ‎(3)若变量满足约束条件则的最大值为 ‎(A)4 (B)3 (C)2 (D)1‎ ‎3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.‎ ‎【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为.‎ x A L0‎ A ‎（4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=‎ ‎ (A) (B) 7 (C) 6 (D) ‎ ‎4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.‎ ‎ 【解析】由等比数列的性质知，10,所以,‎ 所以 ‎(5)的展开式中x的系数是 ‎(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4‎ ‎5.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.‎ ‎【解析】‎ 故的展开式中含x的项为,所以x的系数为-2.‎ ‎(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 ‎(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种 ‎6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.‎ ‎【解析】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有种不同的选法.所以不同的选法共有+种.‎ ‎(7)正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为 A B C D A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ O ‎7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.‎ ‎【解析】因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,‎ 则,.‎ 所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.‎ ‎（8）设a=2,b=In2,c=,则 A af(1)=1+=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞).‎ ‎（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么的最小值为 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.‎ P A B O ‎【解析】如图所示：设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=，PO=，，‎ ‎===，令，则，即，由是实数，所以 ‎，，解得或.故.此时.‎ ‎（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.‎ ‎【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故.‎ 绝密★启用前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修II)‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 ‎ 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。‎ ‎ 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 ‎ 内作答，在试题卷上作答无效。‎ ‎ 3。第Ⅱ卷共l0小题，共90分。‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．‎ ‎ (注意：在试题卷上作答无效) ‎ ‎(13)不等式的解集是 .‎ ‎13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.‎ 解析:原不等式等价于解得0≤x≤2.‎ ‎(14)已知为第三象限的角，,则 .‎ ‎14．【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.‎ ‎【解析】因为为第三象限的角,所以，又 ‎<0, 所以,于是有,‎ ‎,所以.‎ y=1‎ x y a O ‎(15)直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .‎ ‎15.(1,【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.‎ ‎【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线,观图可知，a的取值必须满足解得.‎ ‎(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 .‎ ‎16.‎ ‎【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.‎ ‎【解析】如图，,‎ 作轴于点D1,则由，得 ‎,所以,‎ 即,由椭圆的第二定义得 又由,得,整理得.‎ 两边都除以,得,解得.‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎ 已知的内角，及其对边，满足，求内角．‎ ‎17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用.‎ ‎【解析】‎ ‎(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎ 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，‎ 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．‎ 各专家独立评审．‎ ‎ (I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；‎ ‎(II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．‎ ‎【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.‎ ‎【解析】(18)解：‎ ‎ (Ⅰ)记 A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；‎ ‎ B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；‎ ‎ C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；‎ ‎ D表示事件：稿件被录用.‎ ‎ 则 D=A+B·C,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =0.25+0.5×0.3‎ ‎ =0.40.‎ ‎ (Ⅱ)，其分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 期望.‎ ‎（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .‎ ‎（Ⅰ）证明：SE=2EB；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .‎ ‎【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.‎ (19) ‎【解析】解法一：‎ ‎ (Ⅰ)连接BD,取DC的中点G，连接BG,‎ ‎ 由此知 即为直角三角形，故.‎ ‎ 又,‎ 所以，.‎ 作，‎ ‎(Ⅱ) 由知 ‎.‎ 故为等腰三角形.‎ 取中点F,连接,则.‎ 连接，则.‎ 所以，是二面角的平面角.‎ 连接AG,AG=,,‎ ‎,‎ 所以，二面角的大小为120°.‎ 解法二：‎ ‎ 以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，‎ 由,得 ‎ ，‎ 故 .‎ 令，则.‎ ‎ (20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）证明： .‎ ‎【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.‎ ‎【解析】20.解：‎ ‎ （Ⅰ），‎ ‎ ,‎ 题设等价于.‎ 令，则 当，；当时，，是的最大值点，‎ ‎ ‎ ‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎(Ⅱ)有（Ⅰ）知，即.‎ 当时，；‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D .‎ ‎（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；‎ ‎（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程 .‎ ‎【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想.‎ ‎【解析】（21）解：‎ 设，，，的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由①知，‎ ‎ ‎ ‎ 因为 ，‎ ‎ 故 ，‎ 解得 ‎ ‎ 所以的方程为 ‎ ‎ 又由①知 ‎ 故直线BD的斜率，‎ 因而直线BD的方程为 因为KF为的平分线，故可设圆心，到及BD的距离分别为.‎ 由得，或（舍去），‎ 故 圆M的半径.‎ 所以圆M的方程为.‎ ‎（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知数列中， .‎ ‎（Ⅰ）设，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围 .‎ ‎【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）‎ 用数学归纳法证明：当时.‎ ‎（ⅰ）当时，，命题成立；‎