高考数学高考必备知识点汇
高中数学知识点回顾
第一章-集合
（一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为 ；
②空集是任何集合的子集，记为 ；
③空集是任何非空集合的真子集；
①n 个元素的子集有 2n 个. n 个元素的真子集有 2n －1 个. n 个元素的非空真子集有 2n－2 个.
[注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题 逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题.
2、集合运算：交、并、补.
（三）简易逻辑
构成复合命题的形式：p 或 q(记作“p∨q” )；p 且 q(记作“p∧q” )；非 p(记作“┑q” ) 。
1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断
4、四种命题的形式及相互关系：
原命题：若 P 则 q； 逆命题：若 q 则 p；
否命题：若┑P 则┑q；逆否命题：若┑q 则┑p。
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知 p q 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。
若 p q 且 q p,则称 p 是 q 的充要条件，记为 p⇔q.
第二章-函数
一、函数的性质
（1）定义域： （2）值域：
（3）奇偶性：（在整个定义域内考虑）
AA ⊆
A⊆φ
⇔
⇔
{ | , }
{ | }
{ , }
A B x x A x B
A B x x A x B
A x U x A
⇔ ∈ ∈
⇔ ∈ ∈
⇔ ∈ ∉
U
交： 且
并： 或
补： 且C
⇒
⇒ ⇒
①定义：偶函数： ，奇函数：
②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 ；d.比较
或 的关系。
（4）函数的单调性
定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2,
⑴若当 x1
f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.
二、指数函数与对数函数
指数函数 的图象和性质
a>1 00 时，y>1;x<0 时，00 时，01.
性
质
（5）在 R 上是增函数 （5）在 R 上是减函数
对数函数 y=logax（a>0 且 a 1）的图象和性质:
)()( xfxf =− )()( xfxf −=−
)10( ≠>= aaay x 且
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y=1
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y=1
)( xf − )()( xfxf 与−
)()( xfxf −− 与
≠
⑴对数、指数运算：
⑵ （ ）与 （ ）互为反函数.
第三章 数列
1. ⑴等差、等比数列：
xay = 1,0 ≠aa xy alog= 1,0 ≠aa
图
象
（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过点（1，0），即当 x=1 时，y=0
（4） 时
时 y>0
时
时
性
质
（5）在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
等差数列 等比数列
定义
递 推 公 ； ；
log ( ) log log
log log log
log log
a a a
a a a
n
a a
M N M N
M M NN
M n M
⋅ = +
= −
=
( )
( )
r s r s
r s r s
r r r
a a a
a a
a b a b
+=
=
=
y=logax
O
y
x
a>1
a<1x=1
)1,0(∈x 0y
),1( +∞∈x 00 时,
同向;
<0 时,
异向;
=0 时 ,
.
向
量
的
数
量
积
是一个数
1.
时，
(8)两个向量平行的充要条件
∥ ( )
(9)两个向量垂直的充要条件
⊥ · =0 x1·x2+y1·y2=0
AB BA= −
ABOAOB =−
aλ
| | | || |a aλ λ=
λ
a aλ 与 λ
a aλ 与
λ
0aλ =
( , )a x yλ λ λ=
( ) ( )a aλ µ λµ=
( )a a aλ µ λ µ+ = +
( )a b a bλ λ λ+ = +
//a b a bλ⇔ =
a b•
0 0a b= = 或
0a b• =
0 0
| || | cos( , )
a b
a b a b a b
≠ ≠
=
且 时，
1 2 1 2a b x x y y• = +
a b b a• = •
( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ• = • = •
( )a b c a c b c+ • = • + •
2 2 2 2| | | |=a a a x y= + 即
| | | || |a b a b• ≤
( )cos 0, 0,0 180a b a b a bθ θ⋅ = ≠ ≠ ≤ ≤
a b b 0 01221 =−
=⇔
yxyx
ba
或
λ
a b ⇔ a b ⇔
(10)两向量的夹角公式：cosθ= =
0≤θ≤180°,
附：三角形的四个“心”；
1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点
2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点
3、重心：中线的交点
4、垂心：高的交点
(11)△ABC 的判定：
△ABC 为直角△ ∠A + ∠B =
＜ △ABC 为钝角△ ∠A + ∠B＜
＞ △ABC 为锐角△ ∠A + ∠B＞
(11)平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
第六章-不等式
1.几个重要不等式
（1） 当且仅当 ，(a－b)2≥0(a、b∈R)
（2）
（3） ，则 ；
（4） ；
⑸若 a、b∈R+，，则
；
2、解不等式
（1）一元一次不等式
① ②
（2）一元二次不等式
第七章-直线和圆的方程直线和圆的方程
一、解析几何中的基本公式
1.两点间距离：若 ，则
2.平行线间距离：若
⇔+= 222 bac ⇔
2
π
2c ⇔+ 22 ba ⇔
2
π
2c ⇔+ 22 ba ⇔
2
π
||·||
·
ba
ba
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
yxyx
yyxx
+•+
+
0,0, 2 ≥≥∈ aaRa ”取“ == ,0a
abbaRba 2,, 22 ≥+∈ 则
+∈ Rba, abba 2≥+
2
22
)2(2
baba +≥+
),()2( 222 Rbababa ∈+≥+
),(22
2 22
+∈+≤+≤≤+ Rbababaabba
ab
)0( ≠> abax
>>
a
bxxa ,0
<<
a
bxxa ,0
)0(,02 >>++ acbxax
)y,x(B),y,x(A 2211
2
12
2
12 )()( yyxxAB −+−=
0CByAx:l,0CByAx:l 2211 =++=++
则：
注意：x，y 对应项系数应相等。
3.点到直线的距离：
则 P 到 l 的距离为：
4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式： 消 y： ，务必注意 若 l
与曲线交于 A 则：
5.若 A ，P（x，y）,P 为 AB 中点，则
6.直线的倾斜角（0°≤ ＜180°）、斜率:
7.过两点 .
8.直线 l1 与直线 l2 的的平行与垂直
（1）若 l1，l2 均存在斜率且不重合：①l1//l2 k1=k2 ②l1 l2 k1k2=－1
（2）若
若 A1、A2、B1、B2 都不为零
l1//l2 ； l1 l2 A1A2+B1B2=0；
9.直线方程的五种形式
名称 方程
斜截式： y=kx+b
点斜式：
两点式： （x1≠x2 ）
截距式：
一般式： （其中 A、B 不同时为零）
10.圆的方程
（1）标准方程： ， 。
（2）一般方程： ，（
半径
特例：圆心在坐标原点，半径为 的圆的方程是： .
注：圆的参数方程： （ 为参数）.
特别地，以(0，0)为圆心，以 r 为半径的圆的参数方程为
α αtan=k
12
12
222111 ),(),,( xx
yykyxPyxP −
−=的直线的斜率公式： 1 2( )x x≠
r
222 ryx =+
+=
+=
θ
θ
sin
cos
rby
rax
θ
22
21
BA
CCd +
−=
0CByAx:l),y,x(P =++
22 BA
CByAxd +
++=
=
+=
0)y,x(F
bkxy
02 =++ cbxax .0>∆
),(),,( 2211 yxByx
2
12
2 ))(1( xxkAB −+= ( ) ( )22
1 2 1 21 4k x x x x = + + −
),(),,( 2211 yxByx
+=
+=
2
2
21
21
yyy
xxx
⇔ ⊥ ⇔
0:,0: 22221111 =++=++ CyBxAlCyBxAl
⇔
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A ≠= ⊥ ⇔
)( xxkyy −=−
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
−
−=−
−
1=+
b
y
a
x
0=++ CByAx
222 )()( rbyax =−+− 半径圆心， −−−− rba ),(
022 =++++ FEyDxyx )0422 >−+ FED
,)2,2( 圆心−−−− ED
2
422 FEDr
−+=
（3）点和圆的位置关系：给定点 及圆 .
① 在圆 内
② 在圆 上
③ 在圆 外
（4）直线和圆的位置关系：
设圆圆 ： ；
直线 ： ；
圆心 到直线 的距离 .
① 时， 与 相切；
② 时， 与 相交；
③ 时， 与 相离.
第八章-圆锥曲线方程
一、椭圆
1.定义Ⅰ：若 F1，F2 是两定点，P 为动点，且 （ 为常数）则 P 点的
轨迹是椭圆。
2.标准方程：
长轴长= ，短轴长=2b 焦距：2c 准线方程： ，
离心率：
焦点： 或 .
二、双曲线
1、定义：若 F1，F2 是两定点， （ 为常数），则动点 P 的轨迹是双曲线。
2.性质
（1）方程：
实轴长= ，虚轴长=2b 焦距：2c 准线方程：
),( 00 yxM 222 )()(: rbyaxC =−+−
M C 22
0
2
0 )()( rbyax −+−⇔
M C 22
0
2
0 )() rbyax =−+−⇔（
M C 22
0
2
0 )()( rbyax −+−⇔
C )0()()( 222
rrbyax =−+−
l )0(0 22 ≠+=++ BACByAx
),( baC l 22 BA
CBbAa
d
+
++
=
rd = l C
rd l C
rd l C
)0(12
2
2
2
ba
b
x
a
y =+
)10( ea
ce = )0,)(0,( cc− ),0)(,0( cc−
=
=⇔=+ 为参数）θθ
θ
(sin
cos222
ry
rxryx
2121 2 FFaPFPF >=+ a
12
2
2
2
=+
b
y
a
x )0( >> ba
a2 c
ax
2
±=
2121 2 FFaPFPF <=− a
12
2
2
2
=−
b
y
a
x )0,0( >> ba 12
2
2
2
=−
b
x
a
y )0,0( >> ba
a2 c
ax
2
±=
离心率 . 准线距 （两准线的距离）；通径 .
参数关系 .
（2）若双曲线方程为 渐近线方程：
⑶等轴双曲线：双曲线 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 ，离心率 .
三、抛物线
1.定义：到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即：到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e（e=1）。
2.图形：
3.性质：方程： （焦点到准线的距离）；
焦点： ，通径 ；
准线： ；离心率
第九章-立体几何
一、判定两线平行的方法
1、 平行于同一直线的两条直线互相平行
2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行
3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线
平行
4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
二．判定线面平行的方法
a) 据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点
b) 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行
c) 两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
d) 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面
e) 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面
三、判定面面平行的方法
⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。
⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平
行”。
⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。
⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
四、面面平行的性质
1、两平行平面没有公共点
a
ce =
c
a 22
a
b 22
a
cebac =+= ,222
222 ayx ±=− xy ±= 2=e
1=e
12
2
2
2
=−
b
y
a
x ⇒ xa
by ±=
焦参数−−>= pppxy ),0(,22
)0,2( p pAB 2=
2
px −=
2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面
3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行
4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面
五、判定线面垂直的方法
1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直
2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直
3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面
4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面
5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面
六、判定两线垂直的方法
1、 定义：成 角
2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直
3、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直
七、判定面面垂直的方法
1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直
2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面
八、面面垂直的性质
1、 二面角的平面角为
2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面
九、各种角的范围
1、异面直线所成的角的取值范围是：
2、直线与平面所成的角的取值范围是：
3、斜线与平面所成的角的取值范围是：
4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：
十、面积和体积
1.
2、
3、球的表面积公式： .球的体积公式： .
4、圆柱体积： （ 为半径， 为高）
圆锥体积： （ 为半径， 为高）
锥体体积： （ 为底面积， 为高）
5、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方
第十章-概率与统计
24 RS π=
r h
r h
S h
°90
°90
°≤<° 900 θ ( ]°° 90,0
°≤≤° 900 θ [ ]°° 90,0
°≤<° 900 θ ( ]°° 90,0
°≤<° 1800 θ ( ]°°180,0
chs =直棱柱侧
( )为直截面周长斜棱柱侧 `` clcs =
rhcls π2==圆柱侧
rlcls π==
2
1
圆锥侧
3
3
4 RV π=球
shhrV =⋅= 2π圆柱
shhrV 3
1
3
1 2 =⋅= π圆锥
shV 3
1=棱锥
1.必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 0′ xf 0)( <′ xf
biaz −= baz 22 +=
1、极坐标与直角坐标互换
2、圆的参数方程
3、椭圆参数方程
2 2 2
cos , sin
, t n ( 0).
x y
yx y a xx
ρ θ ρ θ
ρ θ
= =
= + = ≠
cos
sin
x a r
y b r
θ
θ
= +
= +
cos
sin
x a
y b
ϕ
ϕ
=
=