高考复习之概率统计理科

高考复习之概率统计理科

热点一：分布列、数学期望和方差 ‎1、 分布列: ‎ ξ x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ P P1‎ P2‎ ‎…‎ Pi ‎…‎ ‎2、分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．‎ ‎3、数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ x1‎ x2‎ ‎…‎ xn ‎…‎ P p1‎ p2‎ ‎…‎ pn ‎…‎ 则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望．‎ 性质: ‎ ‎4、方差：＝＋＋…＋＋…‎ 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．‎ 性质：（1）；（2）；‎ ‎5、二项分布:ξ～B(n，p)，并记＝b(k；n，p)．‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ k ‎…‎ n P ‎…‎ ‎…‎ Eξ=np, np(1-p)‎ 例1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.‎ ‎（Ⅰ）求的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若, ,,试求a,b的值.‎ 小结：求期望和方差的步骤S1确定随机变量的允许值；S2计算相应的概率；S3写出分布列；S4代入期望和方差公式求解。‎ 练习：‎ ‎1、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：‎ ‎（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.‎ ‎2、某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得 分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．‎ ‎（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；‎ ‎（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎3、某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：‎ 周销售量 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 频数 ‎20‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；‎ ‎（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望．‎ 几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率 例2（日本高考题）袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。‎ 二、从不等式大小比较的角度看概率 例3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes”与“No”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？‎ 三、从“至多”、“至少”的角度看概率.‎ 例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验。（I）求恰有一件不合格的概率；（II）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）。‎ 四、从“或”、“且”的角度看概率 例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92。‎ ‎（1）求该题被乙独立解出的概率；‎ ‎（2）求解出该题的人数的数学期望和方差。‎ 相关练习 ‎1.（山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 ‎（A）　　　（B）（C）　（D）‎ ‎2.（福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎3.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求乙投球的命中率；‎ ‎（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；‎ ‎（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．‎ ‎5.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），‎ ‎1）求至少3人同时上网的概率；‎ ‎2）至少几人同时上网的概率小于0.3？‎ ‎6.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。甲、乙二人依次各抽一题。‎ ‎ （I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？‎ ‎ （II）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？‎ 关于统计问题 ‎1.（天津卷11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．‎ ‎2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_______，____，_______辆。‎ ‎3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2 ）: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中产量比较稳定的小麦品种是▁▁▁。‎ ‎4.一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为 ．‎ ‎5．（江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为 ‎（A）1　　　 （B）2　　　 （C）3　　　 （D）4‎ ‎6．（四川卷）甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为人的样本，应在这三校分别抽取学生 ‎（A）人，人，人 （B）人，人，人 ‎ ‎（C）人，人，人 （D）人，人，人 ‎ ‎7．(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：‎ 根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 ‎(A)20 (B)30 (C)40 （D）50‎ ‎8．(重庆卷)某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是 ‎（A）2 （B）3 （C）5 （D）13‎ ‎9．（全国II）一个社会调查机构就某地居民 的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了 样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居 民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要 从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作 进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入 段应抽出 人．‎ ‎10．（山东卷）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是　　　　　.‎ ‎09年高考复习之概率统计（答案）‎ 热点一：分布列、数学期望和方差 ‎1、 分布列: ‎ ξ x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ P P1‎ P2‎ ‎…‎ Pi ‎…‎ ‎2、分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．‎ ‎3、数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ x1‎ x2‎ ‎…‎ xn ‎…‎ P p1‎ p2‎ ‎…‎ pn ‎…‎ 则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望．‎ 性质: ‎ ‎4、方差：＝＋＋…＋＋…‎ 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．‎ 性质：（1）；（2）；‎ ‎5、二项分布:ξ～B(n，p)，并记＝b(k；n，p)．‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ k ‎…‎ n P ‎…‎ ‎…‎ Eξ=np, np(1-p)‎ 例1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.‎ ‎（Ⅰ）求的分布列，期望和方差；‎ ‎（Ⅱ）若, ,,试求a,b的值.‎ 解：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）‎ 解：（Ⅰ）的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴‎ ‎（Ⅱ）由，得a2×2.75＝11，即又所以 当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2; ‎ 当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4. ‎ ‎∴或即为所求.‎ 小结：求期望和方差的步骤S1确定随机变量的允许值；S2计算相应的概率；S3写出分布列；S4代入期望和方差公式求解。‎ 练习：‎ ‎1、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：‎ ‎（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;‎ ‎（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.‎ 解: 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，‎ 且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.‎ ‎（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是 ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.‎ ‎ ‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以， 的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的期望 ‎2、某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．‎ ‎（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；‎ ‎（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．‎ 解：（Ⅰ）设该射手第次击中目标的事件为，则，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3． ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.008‎ ‎0.032‎ ‎0.16‎ ‎0.8‎ ‎.‎ ‎3、某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：‎ 周销售量 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 频数 ‎20‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；‎ ‎（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望．‎ 解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3．‎ ‎（Ⅱ）的可能值为8，10，12，14，16，且 P（=8）=0.22=0.04，‎ P（=10）=2×0.2×0.5=0.2，‎ P（=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，‎ P（=14）=2×0.5×0.3=0.3，‎ P（=16）=0.32=0.09．‎ 的分布列为 ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎14‎ ‎16‎ P ‎0.04‎ ‎0.2‎ ‎0.37‎ ‎0.3‎ ‎0.09‎ ‎=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）‎ 几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率 例2（日本高考题）袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。‎ 解：设A1=“三次都是白球”，则 P（A1）=‎ A2=“一、三次白球，第二次红球”，则 P（A2）=‎ A3=“第一次红球，二、三次为白球”，则 P（A3）=;‎ A4=“一、二次红球，第三次白球”，则 P（A4）=‎ 而A1、A2、A3、A4互斥，又记A=“第三次取出的球是白球”，则 P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）=…=‎ 说明：本题中关键是学会分解事件A，再由互斥事件和的概率，得出结论，主要以“+”号连接，另外本题也可由P= 得出，请读者琢磨。‎ 二、从不等式大小比较的角度看概率 例3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes”与“No”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？‎ 解：设甲没有获得商标的事件为A，乙没有获得商标的事件为B，‎ 则P（A）=‎ P（B）=‎ ‎∴甲、乙没有获得商标的事件为C，‎ 则P（C）=P（A·B）=P（A）·P（B）。‎ 又设甲、乙两选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标的事件为D。‎ ‎∴P（D）=1- P（C）‎ ‎=1- ‎ 故有99%的把握作出如此断定。‎ 说明：本题中关键要熟悉事件D对立事件是C，则P（D）=1-P（C），主要以“-”号连接，本题也可由1-进行比较。‎ 三、从“至多”、“至少”的角度看概率.‎ 例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验。（I）求恰有一件不合格的概率；（II）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）。‎ 解：设三种产品各抽取一件是合格产品的事件分别为A、B、C。‎ ‎（I）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95，‎ 因为A、B、C相互独立，恰有一件不合格的概率为 ‎（II）至少有两件不合格的概率 答：（略）。‎ 说明：本题重点考查相互独立事件积的概率，主要以“×”连接P（A）、P（B）、P（C）以及P、P、P。另外（II）也可由P=1-P（A·B·C）-0.176=1-P（A）·P（B）·P（C）-0.176得出。‎ 四、从“或”、“且”的角度看概率 例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92。‎ ‎（1）求该题被乙独立解出的概率；‎ ‎（2）求解出该题的人数的数学期望和方差。‎ 解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B。‎ 设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2‎ 则P（A）=P1=0.6，P（B）=P2‎ P（A+B）=1-P ‎∴0.6+P2-0.6P2=0.92.‎ 则0.4P2=0.32 即P2=0.8………………………………（5分）‎ ‎（2）‎ 的概率分布列：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.08‎ ‎0.44‎ ‎0.48‎ Eξ=0×0.08 + 1×0.44 + 2×0.48 = 1.4‎ Dξ=（0-1.4）2×0.08 + (1-1.4)2×0.44 + (2-1.4)2×0.48=0.4‎ 或利用Dξ=E（ξ2）-（Eξ）2 = 2.36-1.96=0.4‎ 另外如将此题中的“或”改为“且”，处理方法怎样，请同学思考。‎ 相关练习 ‎1.（山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为B ‎（A）　　　（B）（C）　（D）‎ ‎2.（福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是B A. B. C. D. ‎ ‎3.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求乙投球的命中率；‎ ‎（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；‎ ‎（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．‎ 解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．‎ 由题意得 解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．‎ 解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．‎ 由题意得，于是或（舍去），故．‎ 所以乙投球的命中率为．‎ ‎（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知．‎ 故甲投球2次至少命中1次的概率为 解法二：‎ 由题设和（Ⅰ）知 故甲投球2次至少命中1次的概率为 ‎（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，‎ 甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为 ‎，‎ ‎，‎ 所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为．‎ ‎5.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），‎ ‎1）求至少3人同时上网的概率；‎ ‎2）至少几人同时上网的概率小于0.3？‎ 解： 1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，‎ 即 。‎ ‎2）至少4人同时上网的概率为 ‎，‎ 至少5人同时上网的概率为 ‎，‎ 因此，至少5人同时上网的概率小于 。‎ ‎6.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。甲、乙二人依次各抽一题。‎ ‎ （I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？‎ ‎ （II）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？‎ 解：（I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为，所求概率为；‎ ‎（II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为，所求概率为。‎ ‎ 或 ，所求概率为。‎ 关于统计问题 ‎1.（天津卷11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．10‎ ‎2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___6_____，___30____，____10____辆。‎ ‎3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2 ）: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中产量比较稳定的小麦品种是▁甲种▁▁。‎ ‎4.一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为 16 ．‎ ‎5．（江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为 ‎（A）1　　　 （B）2　　　 （C）3　　　 （D）4‎ ‎【思路】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法 ‎【正确解答】由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，设x=10+t, y=10-t, ，选D ‎6．（四川卷）甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为人的样本，应在这三校分别抽取学生 ‎（A）人，人，人 （B）人，人，人 ‎ ‎（C）人，人，人 （D）人，人，人 ‎ 解析：甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为人的样本，应在这三校分别抽取学生人，人，人，选B.‎ ‎7．(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：‎ 根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 ‎(A)20 (B)30 (C)40 （D）50‎ 解析：根据该图可知，组距为2，得这100名学生中体重在的学生人数所占的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，所以该段学生的人数是40，选C.‎ ‎8．(重庆卷)某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是 ‎（A）2 （B）3 （C）5 （D）13‎ 解：各层次之比为：30:75:195＝2:5:13，所抽取的中型商店数是5，故选C ‎9．（全国II）一个社会调查机构就某地居民 的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了 样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居 民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要 从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作 进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入 段应抽出 人．‎ 解析:由直方图可得（元）月收入段共有人 按分层抽样应抽出人 ‎10．（山东卷）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是　　　　　.‎ 解：抽取教师为160-150=10人，所以学校教师人数为2400×=150 人。‎