浙江省高考数学理科试卷附详解

浙江省高考数学理科试卷附详解

‎2012年浙江省高考数学（理科）试卷 ‎ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎ 请考生按规定用笔将所在试题的答案涂、写在答题纸上。‎ 选择题部分（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。‎ ‎1． 设集合，集合，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，则，故选B。‎ ‎2． 已知是虚数单位，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】。‎ ‎3． 设，则“”是“直线：与直线：平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】“直线：与直线：平行”的充要条件是，解得，或，所以是充分不必要条件。‎ ‎4． 把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 ‎【答案】A ‎【解析】，故选A。‎ ‎5． 设，是两个非零向量 A．若，则 B．若，则 C．若，则存在实数，使得 D．若存在实数，使得，则 ‎【答案】C ‎【解析】，则，所以不垂直，A不正确，同理B也不正确；，则，所以共线，故存在实数，使得，C正确；若，则，此时，所以D不正确。‎ ‎6． 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 ‎【答案】D ‎【解析】和为偶数，则4个数都是偶数，都是奇数或者两个奇数两个偶数，则有种取法。‎ ‎7． 设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是 A．若，则数列有最大项 B．若数列有最大项，则 C．若数列是递增数列，则对任意，均有 D．若对任意，均有，则数列是递增数列 ‎【答案】C ‎【解析】当时，则存在，有，故C错误。‎ ‎8． 如图，，分别是双曲线：的左、右两焦点，是虚轴的端点，直线与的两条渐近线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点．若，则的离心率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，则点坐标。直线方程为，可得，两点坐标分别为，则，中点坐标为。依题意可得，，则，即，整理可得，，从而有。‎ ‎9． 设，‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】A ‎【解析】记，则，当时，当时。，则有。，此时无法确定大小关系，故选A。‎ ‎10．已知矩形，，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，‎ A．存在某个位置，使得直线与直线垂直 B．存在某个位置，使得直线与直线垂直 C．存在某个位置，使得直线与直线垂直 D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直 ‎【答案】B ‎【解析】故点作，若存在某个位置，使得，则面，从而有，计算可得，则A不正确；当翻折到时，因为，所以面，从而可得；若，因为，所以面，从而可得，而，所以这样的位置不存在，故C不正确；同理，D也不正确，故选B。‎ 非选择题部分（共100分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。‎ ‎11．已知某三棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该三棱锥的体积等于 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由三视图可知，该三棱锥的底面面积为，高为2，则 ‎。‎ ‎12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】第一次运行：；第二次运行：；第三次运行：；第四次运行：；第五次运行：，故输出值为。‎ ‎13．设公比为的等比数列的前项和为．若，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意可得，两式相减可得，即，解得（舍）或或。因为，所以。‎ ‎14．若将函数表示为 ‎，其中，，，…，为实数，则 ．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】，则。‎ ‎15．在中，是的中点，，，则 ．‎ ‎【答案】-16‎ ‎【解析】依题意可得，。由余弦定理可得，，因为，所以，即，则有，而，则，所以。‎ ‎16．定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离．已知曲线：到直线：的距离等于曲线：到直线：的距离，则实数 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线：到直线：的距离为圆心到直线的距离减去半径，即。依题意可得，，且知曲线：到直线：的距离等于曲线上切线斜率为1的切线与的距离。令，可得，所以切线斜率为1的切线方程为，即，所以，解得或（舍）。‎ ‎17．设，若时均有，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据图象分析，函数和都过定点，要使得时均有，则当时，保持同号，所以与的零点相同，即存在，使得，解得，（舍）或。‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18．（本题满分14分）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ 本题主要考查三角变换、正弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分 解：（1）因为，得 又 所以 ‎（2）由，得 于是，‎ 由及正弦定理，得 设的面积为，则.‎ ‎19．（本题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3个球，记随机变量为取出此3球所得分数之和．‎ ‎（1）求的分布列；‎ ‎（2）求的数学期望．‎ 本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。‎ 解：（1）由题意得取3,4,5,6，且 ‎，，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（2）由（1）知，.‎ ‎20．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，且平面，，，分别为，的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）过点作，垂足为点，求二面角的平面角的余弦值．‎ 本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。‎ ‎（1）证：因为，分别为，的中点，所以是的中位线，‎ 所以 又因为平面，所以平面 ‎（2）解：方法一：连接交于，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示。‎ 在菱形中，，得 又因为平面，所以 在直角中，，‎ 得 由此知个点坐标如下，‎ 设为平面的法向量，由知，取，得 设为平面的法向量，由知 ‎，取，得 于是，‎ 所以二面角的平面角的余弦值为 方法二：‎ 在菱形中，，得 又因为平面，‎ 所以 所以 所以 而，分别为，的中点，‎ 所以，且 取线段中点，连接，则 所以是二面角的平面角 由，故 在中，，得 在直角中，，得 在中，，得 在等腰中，，得 所以二面角的平面角的余弦值为 ‎21．（本题满分15分）如图，椭圆：的离心率为，其左焦点到点 的距离为，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求面积取最大值时直线的方程．‎ 本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分 解：（10设椭圆左焦点为，则由题意得 ‎，得 所以椭圆方程为 ‎（2）设，线段的中点为 当直线与轴垂直时，直线的方程为，与不过原点的条件不符，舍去。故可设直线的方程为 由消去，整理得 ①‎ 则，‎ 所以线段的中点 因为在直线上，所以，得（舍）或 此时方程①为，则 所以 设点到直线距离为，则 设的面积为，则 其中 令，‎ 所以当且仅当，取到最大值 故当且仅当，取到最大值 综上，所求直线方程为：‎ ‎22．（本题满分14分）已知，，函数．‎ ‎（1）证明：当时，‎ ‎① 函数的最大值为；‎ ‎② ；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围．‎ 本题主要考查利用导数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。‎ ‎（1）证：① ‎ 当时，有，此时在上单调递增 当时，‎ 此时在上单调递减，在上单调递增 所以当时，‎ ‎② 由于，故当时，‎ 当时，‎ 设，，则 于是 ‎0‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎1‎ 单调减 极小值 单调增 ‎1‎ 所以，‎ 所以当时，，故 ‎（2）解：由①知，当时，，所以 若，则由②知，‎ 所以对任意恒成立的充要条件是 ‎，即或 ①‎ 在直角坐标系中，①表示的平面区域为如图所示阴影部分，其中不包括线段 作一组平行直线，得 所以的取值范围是