高考复习之函数与导数100题经典大题汇编
2012届高三《函数与导数解答题》
1. 已知
（1）求函数f(x)的最小值；
（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；
解：（1）
由得
当单调递减；
当单调递增；
（2）
设
① 单调递减， ② 单调递增，
所以，对一切恒成立，
所以
2. 已知函数，，且，在的切线斜率为。
（1）求；
（2）设求证：
解：（1），由 得：
又，则 …………4分
（2）， ……5分
，易证：时，；时；
时，
3. 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．
解：（Ι）由知：
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；………………4分
（Ⅱ）由,
∴，. ………………………6分
故，
∴,
∵ 函数在区间上总存在极值，
∴有两个不等实根且至少有一个在区间内…………7分
又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴ …………8分
由，∵在上单调递减，所以；∴，由，解得；
综上得： 所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值。………………………9分
（Ⅲ）令，则
.
①当时，由得，从而,
所以，在上不存在使得；…………………11分
②当时，,，在上恒成立，故在上单调递增。 ……………13分
故只要，解得综上所述， 的取值范围是 ………14分
4. 设a∈R，函数（），其中是自然对数的底数．
（Ⅰ） 判断函数在R上的单调性；
（Ⅱ） 当时，求函数在[1，2]上的最小值．
解： （Ⅰ） ．……2分
由于, 只需讨论函数的符号:
当a = 0时, ，即，函数在R上是减函数； ……4分
当a>0时, 由于，可知，函数在R上是减函数； ……6分
当a<0时, 解得，且．
在区间和区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数
综上可知：当a≥0时，函数在R上是减函数；当a<0时, 函数在区间上是增函数；在区间上是减函数；在区间上是增函数．
（Ⅱ） 当时，,
所以, 函数在区间[1，2]上是减函数，其最小值是．
5. 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，若对任意，，不等式 恒成立，求实数的取值范围．
（II）若对任意，，不等式恒成立，
问题等价于， ．．．．．．．．．5分
由（I）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，
故也是最小值点，所以； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
当时，；
当时，；
当时，；
问题等价于 或 或
解得 或 或
即，所以实数的取值范围是
6. 已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。
（１） 当时，解不等式；
（２） 若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围；
（３） 当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。
解：⑴因为，所以不等式即为，
又因为，所以不等式可化为，
所以不等式的解集为．………………………………………4分
⑵，
①当时，，在上恒成立，当且仅当时
取等号，故符合要求；………………………………………………………6分
②当时，令，因为，
所以有两个不相等的实数根，，不妨设，
因此有极大值又有极小值．
若，因为，所以在内有极值点，
故在上不单调．………………………………………………………8分
若，可知，
因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，
必须满足即所以.
综上可知，的取值范围是．………………………………………10分
⑶当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，
所以原方程等价于，令，
因为对于恒成立，
所以在和内是单调增函数，……………………………13分
又，，，，
所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，
所以整数的所有值为．………………………………………………………16分
7. 已知函数
（1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值
（2）若对任意实数恒成立，确定实数的取值范围
（3）当时，是否存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值，若不存在，说明理由
解：（1）， 因此在处的切线的斜率为，
又直线的斜率为， ∴（）＝－1，
∴ ＝－1.
（2）∵当≥0时，恒成立，
∴ 先考虑＝0，此时，，可为任意实数；
又当＞0时，恒成立，
则恒成立， 设＝，则＝，
当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增，
当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减，
故当＝1时，取得极大值，，
∴ 实数的取值范围为．
（3）依题意，曲线C的方程为，
令＝，则
设，则，
当，，故在上的最小值为，
所以≥0，又，∴＞0，
而若曲线C：在点处的切线与轴垂直，
则＝0，矛盾。
所以，不存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直.
8. 设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).
（1）若x=0是F(x)的极值点,求a的值；（2）当 a=1时,设P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1≥0,x2≥0), 且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；（3）若x≥>0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a的取值范围．
解：(Ⅰ)F(x)= ex+sinx－ax,．
因为x=0是F(x)的极值点,所以．………2分
又当a=2时,若x<0, ;若 x>0, ．
∴x=0是F(x)的极小值点, ∴a=2符合题意． ………4分
(Ⅱ) ∵a=1, 且PQ//x轴,由f(x1)=g(x2)得:,所以．
令当x>0时恒成立．…………………………7
∴x∈[0,+∞时,h(x)的最小值为h(0)=1．∴|PQ|min=1． ………8分
(Ⅲ)令
则．
因为当x≥0时恒成立, ………11分
所以函数S(x)在上单调递增, ………12分
∴S(x)≥S(0)=0当x∈[0,+∞时恒成立;
因此函数在上单调递增, 当x∈[0,+∞时恒成立．
当a≤2时,,在[0,+∞单调递增,即．
故a≤2时F(x)≥F(－x)恒成立． ………13分
9. 已知函数定义域为(),设.
（1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；
（2）求证:；
（3）求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的
的个数
解: (Ⅰ)因为………………2分
由；由,所以在上递增,在上递减 ,欲在上为单调函数,则 …………4分
(Ⅱ)证明:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值 ……………………………6分
又,所以在上的最小值为
从而当时,,即 ……………………………………………9分
（Ⅲ）证:因为, 即为,
令,从而问题转化为证明方程=0
在上有解,并讨论解的个数 …………………………………………11分
因,,
所以 ①当时,,
所以在上有解,且只有一解 ………………………………13分
②当时,,但由于,
所以在上有解,且有两解 ………………………………………14分
③当时,,所以在上有仅有一解；
当时,,
所以在上也有且只有一解 ………………………………15分
综上所述, 对于任意的,总存在,满足,
且当时,有唯一的适合题意；
当时,有两个适合题意 …………………………16分
10. 已知三次函数的最高次项系数为a，三个零点分别为.
⑴ 若方程有两个相等的实根，求a的值；
⑵若函数在区间内单调递减，求a的取值范围.
解：1）依题意，设∵有两个相等实根，
即有两个相等实根，∴，
即或。
（2）在内单调递减，
在恒成立，
11. 对于三次函数．
定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；
定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称．
己知，请回答下列问题：
（1）求函数的“拐点”的坐标
（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）
（1）依题意，得： ，
。……………………2分
由 ，即。∴，又 ，
∴的“拐点”坐标是。
（2）由(1)知“拐点”坐标是。而
=
==，
由定义(2)知：关于点对称。
一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数………）都可以给分
（3）或写出一个具体的函数,如或。
12. 已知函数．
（I）求函数的单调递减区间；
（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（III）过点作函数图像的切线，求切线方程．
解：（Ⅰ）得 2分
函数的单调递减区间是； 4分
（Ⅱ）即
设则 7分
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增；
最小值实数的取值范围是； 10分
（Ⅲ）设切点则即
设，当时是单调递增函数 13分
最多只有一个根，又
由得切线方程是. 16分
13. 设函数 (k∈N*，a∈R)．
(1) 若，，求函数的最小值；
(2) 若是偶数，求函数的单调区间．
解：（1）因为，，所以，（），
由得，且当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数．故．（5分）
（2）当是偶数时，，．
所以当时，，在上是增函数；（9分）
当时，由得，且当时，，当时，，所以在上是减函数，在上是增函数．（13分）
综上可得当时，的增区间为；
当时，的减区间为，增区间为．（14分）
14. 已知函数，，其中，且．函数在上是减函数，函数在上是增函数．
（1）求函数，的表达式；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
（3）求函数的最小值，并证明当，时．
解：（1）对任意的恒成立，所以，所以；
同理可得；
；（4分）
（2），，且函数在上是减函数，函数在上是增函数．所以时，，， ．（6分）
有条件得，；（8分）
（3），当时，，当时，当时，
在递减，在递增．（12分）
当时，；
，所以，时成立；（16分）
15. 已知二次函数对任意实数都满足，的最小值为且
．令（）．
（1）求的表达式；
（2）若使成立，求实数的取值范围；
（3）设，，
证明：对、，恒有．
16、
（Ⅱ）（）
①当时，由对数函数性质，的值域为；
②当时，，对，恒成立；
③当时，由得， …………………7分
列表：
—
0
+
减
极小
增
这时，．
．
综合①②③若，恒成立，则实数的取值范围为．
故存在使成立，实数的取值范围为． …………10分
（Ⅲ）证明：因为对，，
所以在内单调递减．
于是，
．
记（），
则，
所以函数在上是单调增函数，
所以，故命题成立．
16.
17. 已知函数
（Ⅰ）若函数上为单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）设求证：.
解: （I）
因为上为单调增函数，
所以上恒成立.
所以a的取值范围是
（II）要证，
只需证，
即证只需证
由（I）知上是单调增函数，又，
所以
18. 已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围
解： （I） ，
由及得；由及得，
故函数的单调递增区间是；
单调递减区间是
（II）若对任意，，不等式恒成立，
问题等价于，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
由（I）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
当时，；
当时，；
当时，；
问题等价于 或 或
解得 或 或
即，所以实数的取值范围是
19. 已知函数，在点处的切线方程是
（e为自然对数的底）。
（1）求实数的值及的解析式；
（2）若是正数，设，求的最小值；
（3）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）依题意有：
f′x）=alnx+a
∴f′e）=alne+a=2 ，∴a=1
∵（e，f（e））在f（x）上
∴f（e）=aelne+b=ae+b=e，∴b=0
故实数
（2）， 的定义域为；
增函数减函数
（3）
由(2)知
对一切恒成立
故实数的取值范围.
20. 已知函数．
（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；（Ⅱ）求函数在上的最大值．
解：（Ⅰ）∵， ∴函数的定义域为．
∴．
在处取得极值，即，
∴．
当时，在内，在内，
∴是函数的极小值点． ∴．
（2）∵ ， ∴．
∵ x∈， ∴，
∴在上单调递增；在上单调递减，
①当时， 在单调递增，
∴；
②当，即时，在单调递增，在单调递减，
∴；
③当，即时，在单调递减，
∴．
综上所述，当时，函数在上的最大值是；
当时，函数在上的最大值是；
当时，函数在上的最大值是．
21. 已知函数[来源:学科网ZXXK]
(Ⅰ)如，求的单调区间；[来源:Z.xx.k.Com]
(Ⅱ)若在单调增加，在单调减少，证明
＜6.
解：（Ⅰ）当时，，故 [来源:学*科*网]
当
当
从而单调减少.
(Ⅱ)
由条件得：从而
因为所以
将右边展开，与左边比较系数得，故
又由此可得
于是
22. 已知函数．
（Ⅰ）求的单调递区间；
（Ⅱ）若的图象与轴有三个交点，求实数的取值范围。
解：（I）f′(x)＝－3x2＋6x＋9．
令f′(x)>0，解得－1
0时 即a<0或a>2时
(1)若，则 a2 + a<0 即- 2时
∴f(x)在(0，x1)单调增，(x1，x2)单调减，(x2，+∞)单调增，不合题意………15′
综上得a≤- 或0≤a≤2. …………………………16′
解法二：f’(x)= …………………………5′
令g(x)=x2-2ax+ a2+ a， △=4a2-3a2-2a=a2-2a，
设g(x)=0的两根…………………………7′
10 当△≤0时 即0≤a≤2，f’(x)≥0
∴f(x)单调递增，满足题意 …………………………9′
20 当△>0时 即a<0或a>2时
(1)当 若a2 + a<0，即- 0，即a≤- 时，
f(x)在(0，+∞)上单调增，满足题意。…………………………13′
(2)当时，a2 + a>0，
∴f(x)在(0，x1)单调增，(x1，x2)单调减，(x2，+∞)单调增，不合题意……………15′
综上得a≤- 或0≤a≤2. …………………………16′
28. 设函数.
（1）若=1时，函数取最小值，求实数的值；
（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）若，证明对任意正整数，不等式都成立
解:（1）由x + 1＞0得x＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),
对x∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/ (1) = 0,
解得b= - 4. 经检验，列表（略），合题意；
（2）∵又函数f(x)在定义域上是单调函数，
∴f/ (x) ≥0或f/(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.
若f/ (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,
即b≥-2x2 -2x = 恒成立,由此得b≥;
若f/ (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x2 +2x+b≤0,即b≤- (2x2+2x)恒成立，
因-(2x2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b使f(x) ≤0恒成立.
综上所述，实数b的取值范围是.
（3）当b= - 1时，函数f(x) = x2 - ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3，
则h/(x) = - 3x2 +2x - ，
∴当时，h/(x)＜0所以函数h(x)在上是单调递减.
又h(0)=0，∴当时，恒有h(x) ＜h(0)=0,[ 即x2 – ln(x+1) ＜x3恒成立.
故当时,有f(x) ＜x3..
∵取则有
∴,故结论成立。
29. 已知函数和函数.
(1) 若方程在上有两个不同的解,求实数m的取值范围;
(2) 若对任意,均存在,使得成立,求实数m的取值范围.
20. 已知函数（.
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）当时，解关于的不等式；
（3）求函数在上的最小值..[来源:Zxxk.Com]
30. 已知函数．
（1）当a＝1时，求函数f(x)的单调增区间；
（2）求函数在区间[1，e]上的最小值；
（3）设，若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，定义域为（0，＋∞）．
f′(x)＝2x－3＋＝＝．
x
（0，）
（，1）
（1，＋∞）
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝．………………………………………………………2分
所以函数f(x)的单调增区间为（0，）和（1，＋∞）．………………………………4分
（2）f′(x)＝2x－(2a＋1)＋＝＝．
令f′(x)＝0，得x＝a，或x＝．
当a≤1时，
x
1
(1，e)
e
f′(x)
＋
f(x)
－2a
e2－(2a＋1)e＋a
所以[f(x)]min＝－2a；………………………………………………………………………6分
当1＜a＜e时，
x
(1，a)
a
(a，e)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值a(lna－a－1)
x
(1，a)
a
(a，e)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值a(lna－a－1)
所以[f(x)]min＝a(lna－a－1)； …………………………………………………………8分
x
1
(1，e)
e
f′(x)
－
f(x)
－2a
e2－(2a＋1)e＋a
当a≥e时，
所以[f(x)]min＝e2－(2a＋1) e＋a．……………………………………………………10分
因为h()＝＜0，h(e)＝＞0
所以当x∈[，e]时，[h(x)]max＝h(e)＝．
所以a≤．
所以实数a的取值范围为(－∞，]． …………………………
31. 已知函数定义域为(),设.
(Ⅰ)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；
(Ⅱ)求证:；
(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.
．(Ⅰ)
解:因为
由；由,所以在上递增,在上递减
欲在上为单调函数,
(Ⅱ)证:因为在上递增,在上递减,所以在
处取得极小值, 又,所以在上的最小值为 ………(9分)
从而当时,,即…………………………………………(10分)
(Ⅲ)证:因为,所以即为,
令,从而问题转化为证明方程=0
在上有解,并讨论解的个数……………………………………………………(12分)
因为,,所以
①当时,,所以在上有解,且只有一解 ……(13分)
②当时,,但由于,
所以在上有解,且有两解 …………………………………………(14分)
③当时,,所以在上有且只有一解；
当时,,
所以在上也有且只有一解…………………………………………(15分)
综上所述, 对于任意的,总存在,满足,
且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意…………(16分)
(说明:第(Ⅱ)题也可以令,,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数)
32. 已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna(a＞0，a≠1)．
（1）当a＞1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
（2）若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值；
（3）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a的取值范围．
解：（1）．……………………………3分
由于，故当时，，所以，
故函数在上单调递增．…………………………………………………………5分
（2）当时，因为，且在R上单调递增，
故有唯一解．…………………………………………………………………7分
所以的变化情况如下表所示：
x
0
－
0
＋
递减
极小值
递增
又函数有三个零点，所以方程有三个根，
而，所以，解得．…………………………10分
（3）因为存在，使得，[来源:学|科|网]
所以当时，．………11分
由（2）知，在上递减，在上递增，[来源:Z*xx*k.Com]
所以当时，．………12分
而，
记，因为（当时取等号），
所以在上单调递增．
而，故当时，；当时，．即当时，；当时，．……………………………………………………………14分
①当时，由；
②当时，由．
综上可知，所求的取值范围为．…………………………………16分
33. 已知函数的图象过坐标原点O,且在点 处的切线的斜率是5.
（1）求实数的值；
（2）求在区间上的最大值；
解：（1）当时，
∴ ……… 2分
依题意 ∴ ∴ ……… 3分
又有
∴， ……… 4分
（2）当时，
，令有，∴，。……… 5分
当x变化时，与的变化情况如下表：
-1
（-1，0）
0
（0，）
（，1）
1
—
0
+
0
—
2
↘
↗
↘
；；；。
∴当时，最大值为2。……… 8分
当时，
若，则是减函数，此时；若时，，此时
当时，是增函数，。
∵当时，有
当时，有
∴
34. 已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）已知命题P：对定义域内的任意恒成立，若命题P成立的充要条件是，求实数的值。
① 解：
（Ⅰ）当时，的变化情况如下表：
1
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是………………6分
（Ⅱ）由于，显然时，，此时对定义域内的任意不是恒成立的，当时，易得函数在区间的极小值、也是最小值即是，此时只要即可，解得，实数的取值范围是.
成立的充要条件为.故.………
26. 设函数
（1）求证：的导数；
（2）若对任意都有求a的取值范围。
解：（1）的导数，由于，故，
当且仅当时，等号成立；…………………………4分
（2）令，则，
（ⅰ）若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即．…………………………8分
（ⅱ）若，解方程得，，
所以，（舍去），
此时，若，则，故在该区间为减函数，
所以，时，，即，与题设相矛盾。
综上，满足条件的的取值范围是。…
27. 已知三个函数y = sinx+1，，，它们各自的最
小值恰好是函数的三个零点(其中t是常数，且0 < t < 1)．
(1)求证：；
(2)设的两个极值点分别为，．若，
求f (x)及| m – n |的取值范围．
28. 已知m为实常数，设命题p：函数在其定义域内为减函数；命题是方程的两上实根，不等式对任意实数恒成立。
（1）当p是真命题，求m的取值范围；
（2）当“p或q”为真命题，“p且q”为假命题时，求m的取值范围。
（Ⅱ）.
…………………………………7分
所以，当或或时，是真命题. ………………9分
又由题意可知、为一真一假.
当真假时，解得；当假真时，解得 …10分
综上所述，所求的取值范围为 …………13分
29. 函数．
（Ⅰ）若，在处的切线相互垂直，求这两个切线方程；
（Ⅱ）若单调递增，求的取值范围．
解：（I）,
∴
∵两曲线在处的切线互相垂直
∴ ∴
∴ ∴在 处的切线方程为，
同理，在 处的切线方程为………………6分
(II) 由
得 ……………8分
∵单调递增 ∴恒成立
即 ……………10分
令
令得，令得
∴
∴的范围为 ……………13分
30. 已知函数．
(Ⅰ)求函数的定义域；
(Ⅱ)求函数的单调区间；
(Ⅲ)当时，若存在使得成立，求的取值范围．
解：（Ⅰ）当时,由得；当时由得
综上：当时函数的定义域为；
当时函数的定义域为 ………3分
(Ⅱ)
………5分
令时，得即，
①当时，时，当时，，
故当 时，函数的递增区间为，递减区间为
②当时，，所以，
故当时，在上单调递增．
③当时，若，;若，，
故当时，的单调递增区间为;单调递减区间为．
综上：当时，的单调递增区间为;单调递减区间为
当时，的单调递增区间为;
当时，的单调递增区间为;单调递减区间为;
…………10分
（Ⅲ）因为当时，函数的递增区间为;单调递减区间为
若存在使得成立，只须，
即≥≥ ＜≤1…………14分
31. 已知函数，它在原点处的切线恰为x轴。
（1）求的解析式；
（2）证明：当
（3）证明：。
32. 已知函数，过该函数图象上点
（Ⅰ）证明：图象上的点总在图象的上方；
（Ⅱ）若上恒成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ），
设
为增，
当
，
所以图象上的点总在图象的上方． …………………………6分
（Ⅱ）当．
x
（－∞，0）
（0，1）
1
（1，+∞）
F‘（x）
－
－
0
+
F（x）
减
减
e
增
①当x＞0时，F（x）在x=1时有最小值e，．
②当x＜0时，F（x）为减函数，
，
．
③当x=0时，∈R．
由①②③，恒成立的的范围是． ……………………………………13分
33. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）为何值时，函数在区间上有零点.
解：（1） -------------2分
令
①若，则，的递增区间是；---------3分
②若，则
方程的两根，，
当时，
∴的递增区间是 ------------5分
③若且，即时，
方程的两根，，
此时的递增区间为和
④若且即时
此时的递增区间为 ------------8分
综上略
（2）问题等价于方程=0在上有实根，
而=0，
令， --------10分
再令，则
当时，，↗， 当时，，↘
∴当时，取得唯一的极大值也是的最大值
∴当时， ∴在上单调递减
∴当时，
故当时，函数在上有零点. ---------14分
34. 已知函数
（I）求函数的单调区间；
（II）证明：
35. 已知函数
（I）求的极小值；
（II）若上为单调增函数，求m的取值范围；
（III）设（e是自然对数的底数）上至少存在一个成立，求m的取值范围。
解：（Ⅰ）由题意，，，∴当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数，故． …………4分
（Ⅱ） ，，由于在内为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范围是． …………8分
（Ⅲ）构造函数，
当时，由得，，，所以在上不存在一个，使得． …………………………………………10分
当时，，因为，所以，，所以在上恒成立，故在上单调递增，，所以要在上存在一个，使得，必须且只需，解得，故的取值范围是． …………………13分
另法:（Ⅲ）当时，．
当时，由，得 ， 令，则，所以在上递减，．
综上，要在上存在一个，使得，必须且只需．
36. 已知函数
（I）求函数的单调区间；
（II）若函数 的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，函数在区间（1，3）上总是单调函数，求m的取值范围；
（III）求证：。
而函数为上递减函数，则
则或 ………………………………………9分
注：也可以考虑而函数在区间（1,3）上总是单调函数，则
可以得出或
⑶令
由（I）知，上单调递增，
，…………………………………12分
…………14分
37. 已知函数，
（1） 当时，若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；
（2）设函数在，处取地极值，且，若对任意的，恒成立，求的取值范围（参考数据）。
解：（1）a=b时，，，
时，，，在定义域上单增，
当时，设，函数在上单减，
且，故在定义域上，函数的符号不确定，即此时的符号不确定，所以函数在定义域上不单调。
综上可知，a的范围是----------------6分
（2）（x>0），
由题意得，解得，
，
时，，在上单增，
时，，在上单减，
时，，在上单增，
的极大值为，而，
，的最大值。
若对任意的，恒成立，则有
38. ）已知函数图象上一点处的切线方程为
．
（1）求的值；（2）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（为自然对数的底数）；
（3）令，若的图象与轴交于，(其中)，的中点为，求证：在处的导数．
解：（1），，．
∴，且． 2分
解得． 3分
（2），令，[来源:学。科。网Z。X。X。K]
则，令，得（舍去）．
在内，当时，， ∴ 是增函数；
当时，， ∴ 是减函数 5分
则方程在内有两个不等实根的充要条件是 6分
即． 8分
39. 设函数
（1）若函数在其定义域内是减函数，求a的取值范围；
（2）函数是否有最小值？若有最小值，指出其取得最小值时x的值，并证明你的结论。
40. 已知函数在处取得极值．
(Ⅰ) 求实数的值；
(Ⅱ) 若关于的方程， 在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；
(Ⅲ) 证明：对任意的正整数n，不等式都成立．[来源:Z+xx+
41. 已知函数
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若函数关于点（1，0）对称，证明：当时，
42. 已知，其中是自然常数，
（1）若为的极值点, 求的单调区间和最小值；
（2）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3），在（1）的条件下，求证：．
（1），
若则；若，则
∴∴的最小值 ；
（2）假设存在实数，
使（）有最小值3，
①当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值．
②时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件．
③当时，在上单调递减，
，（舍去），所以，此时无最小值．
综上，存在实数，使得当时有最小值3．
（3）的极小值为1，即在上的最小值为1，
∴ ，……5分
令，，
当时，，在上单调递增 ∴
∴在（1）的条件下，
43. 已知函数，（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数。
（1）求的值；
（2）若在恒成立，求的取值范围；
（3）讨论关于的方程的根的个数。
解：（1）是实数集上的奇函数
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
（2）是区间上的减函数
只需 ，（）恒成立。。。。5分
令，（） 则
，而恒成立，。。。。。。。。。。。7分
（3）由（1）知 方程
令 。。。8分
当时，，在上是增函数
当时，，在上是减函数
当时，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
而
当，即时，方程无解；。。。。。。。。。。。10分
当，即时，方程有一个根；。。。。。。。。。。。11分
当，即时，方程有两个根；。。。。。。。。。。。12分
44. 已知函数，在区间内各有一个极值点。直线是函数在点处的切线。
（1）求的取值范围。
（2）当在点处穿过函数的图像，求实数的值。
（1），由题知在内阁有一个根，不妨设为
则，而，
所以的范围是
（2）因所以的方程为，
所以得：，
令，
，因为在A处穿过函数的图像，
则不是的极值点，所以，解得：。
45. 已知函数
（1）确定函数的单调性；
（2）若对任意，且，都有，求实数a的取值范围。
46. 已知函数=2+．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数的最小值为，求的最大值；
(3)若函数的最小值为妒，m，n为定义域A内的任意两个值，试比较 与的大小．
47. 已知二次函数的图象经过点，且不等式对一切实数都成立．
（1）求函数的解析式；
（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）由题设知，． ①
令，解得，由题意可得，
即，所以，即． ②
由①、②可得． …………………………………………………3分
又恒成立，即恒成立，
所以，且，
即，所以，从而．
因此函数的解析式为 ．…………………………………6分
（2）由得，
整理得 ．
当即时，，此不等式对一切都成立的充要条件是，此不等式组无解．
当即时，，矛盾．
当即时，，此不等式对一切都成立的充要条件是，解得．
综合可知，实数的取值范围是． ……………………………………13分
48. 已知函数.
（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数的图像与直线有且仅有三个公共点，且公共
解：（1）根据图像可知，我们只需要考虑，此时
所以
当时，，易知函数单调增，从而，符合题意；
当，，函数单调减，从而，不符合题意；
当时，显然存在，使得，且时函数
单调减，从而，不符合题意.
综上讨论知. ………………………………………………………………6分
（2）的图像与直线有且仅有三个公共点时如图所示，且在内相切，其切点为，
由于，，
则
故.……………12分
49. 已知函数 在上是增函数.
（1）求实数的取值范围；
（2）设，求函数的最小值.
解：（1）
所以
（2）设
i. 当时，最小值为；
ii. 当时，最小值为。
50. 设函数其中
（1）若a=2，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在负数a，使对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在请说明理由。
51. 定义在R上的函数满足：如果对任意，都有
，则称是R上凹函数。已知二次函数（）。
（1）求证：当时，函数为凹函数；
（2）如果时，，试求a的取值范围。
52. 已知函数，．
(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；
(Ⅱ)当函数，的最大值为时，求的值．
53.
所以在方程中，，即：； ………………………6分
所以：，即： …………………………7分
（Ⅱ）假设存在实数，使的定义域和值域分别为和，
, …………………………9分
,故f(x)在 为增函数， …………………………11分
…………………………13分
所以存在实数 …………………………13分
54. 已知函数定义域为(),设.
（1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；
（2）求证:；
（3）求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的[来源:Z|xx|k.Com]
的个数
解析：(Ⅰ)简单考查应用导数研究函数单调性、解二次不等式以及不等式恒成立问题；(Ⅱ)考查函数单调性的性质以及在研究函数值大小的方面的应用；（Ⅲ）通过研究方程有解问题，考查转化能力以及函数与方程关系，对于确定这样的
的个数考查研究函数零点的方法、推理论证能力以及分类讨论思想，前两小题属于简单题，第3小题属于中等偏上题。
解: (Ⅰ)因为………………2分
由；由,所以在上递增,在上递减 ,欲在上为单调函数,则 …………4分
(Ⅱ)证明:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值 ……………………………6分
又,所以在上的最小值为
从而当时,,即 ……………………………………………9分
（Ⅲ）证:因为, 即为,
令,从而问题转化为证明方程=0
在上有解,并讨论解的个数 …………………………………………11分
因,,
所以 ①当时,,
所以在上有解,且只有一解 ………………………………13分
55. 设函数且其中是自然对数的底数.
(1) 求与的关系；
(2) 若在其定义域内为单调函数，求的取值范围.
(3) 设若存在使得成立，求实数的取值范围.
56. 已知三次函数的最高次项系数为a，三个零点分别为.
⑴ 若方程有两个相等的实根，求a的值；
⑵若函数在区间内单调递减，求a的取值范围.
（1）依题意，设∵有两个相等实根，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
即有两个相等实根，∴，
即或。
（2）在内单调递减，
在恒成立，[来源:学,科,网]
57. 已知f (x)＝ax－ln(－x)，x∈(－e,0)，g(x)＝－，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a＝－1时, f (x)的单调性、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，|f (x)|＞g(x)＋；
（3）是否存在实数a，使f (x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．
解：（1）∵f (x)＝－x－ln(－x)∴f ¢(x)＝－1－＝－
∴当－e≤x＜－1时，f ¢(x)＜0，此时f (x)为单调递减
当－1＜x＜0时，f ¢(x)＞0，此时f (x)为单调递增∴f (x)的极小值为f (－1)＝1
（2）∵f (x)的极小值，即f (x)在[－e,0)的最小值为1∴|f (x)|min＝1
令h(x)＝g(x)＋＝－＋ 又∵h¢(x)＝，当－e≤x＜0时，h¢(x)≤0
∴h(x)在[－e,0)上单调递减，∴h(x)max＝h(－e)＝＋＜＋＝1＝|f (x)|min
∴当x∈[－e,0)时，|f (x)|＞g(x)＋
（3）假设存在实数a，使f (x)＝ax－ln(－x)有最小值3，x∈[－e,0), f ¢(x)＝a－
①当a≥－时，由于x∈[－e,0)，则f ¢(x)＝a－≥0，∴函数f (x)是[－e,0)上的增函数∴f (x)min＝f (－e)＝－ae－1＝3解得a＝－＜－（舍去）
②当a＜－时，则当－e≤x＜时，f ¢(x)＝a－＜0，此时f (x)是减函数
当＜x＜0时，f ¢(x)＝a－＞0，此时f (x)＝ax－ln(－x)是增函数
∴f (x)min＝f ()＝1－ln＝3解得a＝－e2．
58. 已知函数，设
（1）求的单调区间；
（2）若以）图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；
（3）若对所有的都有成立，求实数的取值范围。
解：（1）.………2分
因为由，所以在上单调递增；由，所以在上单调递减. ……………………………5分[来源:学科网]
（2）恒成立， ………7分
即当时取得最大值。所以，，所以.……10分[来源:学#科#网Z#X#X#K]
（3）因为，所以，令，则
………………………………………………12分
因为当时，，所以，
所以，所以，
所以 .………………………16分
59. 已知函数．
（I）求函数的单调递减区间；
（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（III）过点作函数图像的切线，求切线方程．
（Ⅰ）得 2分
函数的单调递减区间是； 4分
（Ⅱ）即
设则 7分
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增；
最小值实数的取值范围是； 10分
（Ⅲ）设切点则即
设，当时是单调递增函数 13分
最多只有一个根，又
由得切线方程是.
60. 设函数 (k∈N*，a∈R)．
(1) 若，，求函数的最小值；
(2) 若是偶数，求函数的单调区间．
解：（1）因为，，所以，（），
由得，且当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数．故．（5分）
（2）当是偶数时，，．
所以当时，，在上是增函数；（9分）
当时，由得，且当时，，当时，，所以在上是减函数，在上是增函数．（13分）
综上可得当时，的增区间为；
当时，的减区间为，增区间为．（14分）
61. 已知函数，，其中，且．函数在上是减函数，函数在上是增函数．
（1）求函数，的表达式；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
（3）求函数的最小值，并证明当，时．
解：（1）对任意的恒成立，所以，所以；
同理可得；
；（4分）
（2），，且函数在上是减函数，函数在上是增函数．所以时，，， ．（6分）
有条件得，；（8分）
（3），当时，
，当时，当时，
在递减，在递增．（12分）
当时，；[来源:学科网ZXXK]
，所以，时成立；（16分）
62. 设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍然是，那么，称函数是函数的一个等值域变换.（Ⅰ）判断下列是不是的一个等值域变换？说明你的理由；
，；
，；
（Ⅱ）设的值域，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值；
（Ⅲ）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，写出是的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明），并举例说明条件的不必要性．[来源:学科网]
设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍然是，那么，称函数是函数的一个等值域变换，
（1）判断下列是不是的一个等值域变换？说明你的理由；
，；
，；
（2）设的值域，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值；
（3）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，写出是的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明），并举例说明条件的不必要性．
解：（1）：函数的值域为，，，
所以，不是的一个等值域变换； …………2分[来源:学科网ZXXK]
：，即的值域为，
当时，，即的值域仍为，
所以，是的一个等值域变换；
（2）的值域为，由知，
即定义域为，
因为是的一个等值域变换，且函数的定义域为，
所以，的值域为， ，
所以，
恒有，且存在使两个等号分别成立，于是
，
解得 或
（3）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，则是的一个等值域变换的充分非必要条件是“=”．条件的不必要性的一个例子是．
，，
，，
此时，但的值域仍为，[来源:Zxxk.Com]
即是的一个等值域变换。
63. 已知为上的偶函数，当时，.
(Ⅰ)当时，求的解析式；
(Ⅱ)当时，试比较与的大小；
(Ⅲ)求最小的整数，使得存在实数，对任意的，都有.
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
解: (Ⅰ)当时，
(Ⅱ)当时,单调递增,而是偶函数,所以在上单调递减,
所以＞
所以当时, ；当时, ；
当时,
(Ⅲ)当时,,则由,得,
即对恒成立
从而有对恒成立,因为，
所以
因为存在这样的t ,所以,即
又,所以适合题意的最小整数
64. 已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。
（１） 当时，解不等式；
（２） 若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围；
（３） 当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。
⑴因为，所以不等式即为，
又因为，所以不等式可化为，
所以不等式的解集为．………………………………………4分
⑵，
①当时，，在上恒成立，当且仅当时
取等号，故符合要求；………………………………………………………6分
②当时，令，因为，
所以有两个不相等的实数根，，不妨设，
因此有极大值又有极小值．
若，因为，所以在内有极值点，
故在上不单调．………………………………………………………8分
若，可知，
因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，
必须满足即所以.
综上可知，的取值范围是．………………………………………10分
⑶当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，
所以原方程等价于，令，
因为对于恒成立，
所以在和内是单调增函数，……………………………13分
又，，，，
所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，
所以整数的所有值为．
65. 因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投,且个单位的药剂,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为,其中.
若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.
（1）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?
（2）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天
中能够持续有效治污,试求的最小值(精确到0.1,参考数据:取1.4).
解：（Ⅰ）因为,所以………………………………1分
则当时,由,解得,所以此时………………… 3分
当时,由,解得,所以此时………………………5分
综合,得,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天…………… 6分
（Ⅱ）当时,………………………9分
==,因为,而,
所以,故当且仅当时,y有最小值为 ………12分
令,解得,所以的最小值为…15分
66.已知函数
（1）若在上是单调减函数，求实数的取值范围；
（2）设，当时，求在上的最大值。
解：（1）因为函数在上是单调减函数，则根据复合函数的单调性可得在上是单调减函数，其导数在上恒小于等于0，且满足在上恒成立，所以恒成立，即在上恒成立，解得
要使在上恒成立，只需要，又在上单调减函数，
，解得，
（2）
当，即时，，在上单调递减，
当时，由得，
显然，又
当时，，单调递增；（注意画草图，利用数形结合）
当时，，单调递减
综上所述，（1）当时，；
（2）当时，
67. 定义在R上的单调函数满足，且对任意都有
（I）试求的值并证明函数为奇函数；
（II）若对任意恒成立，求实数m的取值范围。
68. 已知函数
（I）当a=2时，求函数的最大值和最小值；
（II）若函数，求函数的单调递减区间；[来源:学科网]
（III）当a=1时，求证：
已知函数，．
（1）设（其中是的导函数），求的最大值；
（2）证明: 当时，求证：；
（3）设,当时,不等式恒成立,求的最大值．
【答案】21．解:（1）,
所以 ．
当时，；当时，．
因此，在上单调递增，在上单调递减．
因此，当时，取得最大值；
（2）当时，．
由（1）知：当时，，即．
因此，有．
（3）不等式化为
所以对任意恒成立．
令，则，
令，则，[来源:学科网]
所以函数在上单调递增．
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．
故整数的最大值是．
已知定义在实数集上的函数 N，其导函数记为，且满足
，其中、、为常数，.设函数
R且.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数无极值点，其导函数有零点，求m的值；
（Ⅲ）求函数在的图象上任一点处的切线斜率k的最大值.
【答案】22.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为，
所以，整理得：
又，所以.…………………………………………3分
（Ⅱ）因为，
所以.…………………………4分
由条件.……………………5分
因为有零点而无极值点,表明该零点左右同号，又，所以二次方程有相同实根，即
解得.…………………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，因为，所以[12，+∞]，所以①当或时，恒成立，所以在（0，]上递增，
故当时，k取得最大值，且最大值为，…………10分
②当时，由 得，而.
若，则，k单调递增；
若，则，k单调递减.
故当时，k取得最大值，
且最大值等于.…………………13分
综上，…………………………14分
【山东济宁金乡一中2012届高三12月月考理】21、（本小题满分15分）已知函数
(其中) ,
点从左到右依次是函数图象上三点,且.
(Ⅰ) 证明: 函数在上是减函数；
(Ⅱ) 求证：⊿是钝角三角形;
(Ⅲ) 试问,⊿能否是等腰三角形?若能,求⊿面积的最大值;若不能,请说明理由．
【答案】21、 解：(Ⅰ)
所以函数在上是单调减函数. …………5分
(Ⅱ) 证明:据题意且x1f (x2)>f (x3), x2= …………6分
…………8分
…………10分
即⊿是钝角三角形
(Ⅲ)假设⊿为等腰三角形，则只能是…………12分
…………13分
…………14分
即
[来源:学科网ZXXK]
①
而事实上, ②…………15分
由于,故(2)式等号不成立.这与式矛盾. 所以⊿不可能为等腰三角形.
