高考数学大题习题

高考数学大题习题

‎1. 对于函数。‎ ‎（1）若在处取得极值，且的图像上每一点的切线的斜率均不超过试求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为实数集R上的单调函数，设点P的坐标为，试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S。‎ ‎1. （1）由，则 因为处取得极值，所以的两个根 ‎ ‎ 因为的图像上每一点的切线的斜率不超过 所以恒成立，‎ 而，其最大值为1． ‎ 故 ‎ ‎ ‎（2）当时，由在R上单调，知 ‎ 当时，由在R上单调恒成立，或者恒成立．‎ ‎∵，‎ 可得 ‎ 从而知满足条件的点在直角坐标平面上形成的轨迹所围成的图形的面积为 ‎ ‎2. 函数（）的图象关于原点对称，、‎ 分别为函数的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅲ）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2. （Ⅰ） =0‎ ‎（Ⅱ） ‎ 则 ‎ ‎|AB|＝2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎（Ⅲ） 时，求的最小值是-5‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3. 已知是定义在R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且在和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]‎ 上有相反的单调性．‎ ‎ （1）求c的值；‎ ‎ （2）在函数的图象上是否存在一点M（x0，y0），使得在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎3. ⑴ ∵在和上有相反单调性，‎ ‎∴ x=0是的一个极值点，故，‎ 即有一个解为x=0，∴c=0‎ ‎⑵ ∵交x轴于点B（2，0）‎ ‎ ∴‎ ‎ 令，则 ‎ ∵在和上有相反的单调性 ‎ ∴， ∴‎ ‎ 假设存在点M（x0，y0），使得在点M的切线斜率为3b，则 ‎ 即 ‎ ‎ ∵ △=‎ ‎ 又， ∴△＜0‎ ‎ ∴不存在点M（x0，y0），使得在点M的切线斜率为 ‎4. 已知函数 ‎（1）求函数的最大值；‎ ‎（2）当时，求证；‎ ‎4. （1）‎ ‎ 令得 当时， 当时，又 ‎ 当且仅当时，取得最大值0‎ ‎（2）‎ 由（1）知 又 ‎5. 已知是定义在，，上的奇函数，当，时，（a为实数）．‎ ‎　　（1）当，时，求的解析式；‎ ‎　　（2）若，试判断在[0，1]上的单调性，并证明你的结论；‎ ‎　　（3）是否存在a，使得当，时，有最大值．‎ ‎5. （1）设，，则，，，是奇函数，则，，；‎ ‎　　（2），因为，，，，，即，所以在，上是单调递增的．‎ ‎　　（3）当时，在，上单调递增，（不含题意，舍去），当，则，，如下表 ‎，‎ x ‎，‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎-‎ 最大值 所以存在使在，上有最大值．‎ ‎．‎ ‎6. 已知在R上单调递增，记的三内角的对应边分别为，若时，不等式恒成立．‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎　　（Ⅱ）求角的取值范围；‎ ‎ （Ⅲ）求实数的取值范围．‎ ‎19. (1)由知，在R上单调递增，恒成立，且，即且，，‎ ‎ 当，即时，，‎ 时，时，，即当时，能使在R上单调递增，．‎ ‎　　(2)，由余弦定理：，，----5分 ‎(3) 在R上单调递增，且，所以 ‎，---10分 故，即，，即，即 ‎7. 已知函数 ‎ （I）当时，求函数的极小值 ‎ （II）试讨论曲线与轴的公共点的个数。‎ ‎7. （I）‎ ‎ 当或时，；当时，‎ ‎ 在，（1，内单调递增，在内单调递减 ‎ 故的极小值为 ‎ ‎（II）①若则 的图象与轴只有一个交点。……6分 ‎②若则，当时，，当时，‎ 的极大值为 的极小值为 的图象与轴有三个公共点。‎ ‎③若，则。‎ ‎ 当时，，当时，‎ 的图象与轴只有一个交点 ‎④若，则 的图象与轴只有一个交点 ‎⑤当，由（I）知的极大值为 综上所述，若的图象与轴只有一个公共点；‎ 若，的图象与轴有三个公共点。第二组：解析几何 ‎1. 已知点C（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足 ‎（1）当点P在y轴上运动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）是否存在一个点H，使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。‎ ‎6. （1）设M(x,y), P(0, t), Q(s, 0)‎ 则 由得3s—t2=0……………………………………………………①‎ 又由得 ‎， ……………………………………②‎ 把②代入①得=0，即y2=4x，又x≠0‎ ‎∴点M的轨迹方程为：y2=4x（x≠0）‎ ‎（2）如图示，假设存在点H，满足题意，则 设，则由可得 解得 又 则直线AB的方程为：‎ 即把代入，化简得 令y=0代入得x=4，∴动直线AB过定点（4，0）‎ 答，存在点H（4，0），满足题意。‎ ‎2. 设为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量，若向量.‎ ‎ (1)求点M（x,y）的轨迹C的方程；‎ ‎(2)过点(0,3)作直线与曲线C 的交于A、B两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎2. (1)‎ 即点M(x,y)到两个定点F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为8,‎ 点M（x,y）的轨迹C为以F1(0,-2)、F2(0,2)为焦点的椭圆，其方程为.‎ ‎ (2)由题意可设直线方程为，‎ 由消去y得：(4+3k)x2 +18kx-21=0. ‎ 此时，△=(18k)2-4(4+3k2 (-21)>0恒成立，且 ‎ 由知：四边形OAPB为平行四边形.‎ 假设存在直线，使得四边形OAPB为矩形，则 .‎ 因为，所以，‎ 而，‎ 故，即.‎ 所以，存在直线：，使得四边形OAPB为矩形.‎ ‎3. 一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．‎ ‎（Ⅰ）求点关于直线的对称点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；‎ ‎（Ⅲ）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．‎ ‎12. （Ⅰ）设的坐标为，则且．‎ 解得， 因此，点 的坐标为． ‎ ‎（Ⅱ），根据椭圆定义，‎ 得，‎ ‎，．‎ ‎∴所求椭圆方程为． ‎ ‎（Ⅲ），椭圆的准线方程为． ‎ 设点的坐标为,表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离．‎ 则，．‎ ‎， ‎ 令，则，‎ 当，， ，．‎ ‎ ∴ 在时取得最小值． ‎ 因此，最小值＝，此时点的坐标为．‎ 注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．‎ 说明：求得的点即为切点，的最小值即为椭圆的离心 ‎4. 已知椭圆的一个焦点，对应的准线方程为，且离心率满足，，成等比数列.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)试问是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、，且线段恰被直线平分？若存在，求出的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎4. （1）∵成等比数列　∴　 ‎ 设是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得 ‎ 即为所求的椭圆方程. ‎ ‎（2）假设存在，因与直线相交，不可能垂直轴 因此可设的方程为：由 ‎　 ①‎ 方程①有两个不等的实数根 ‎∴　②‎ 设两个交点、的坐标分别为　∴‎ ‎∵线段恰被直线平分　∴ ‎ ‎∵　∴ ③　把③代入②得 ‎ ‎∵　 ∴　∴解得或 ‎∴直线的倾斜角范围为 ‎ ‎5. 已知向量.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线C与直线相交于不同的两点M、N，又点，当时，求实数的取值范围。‎ ‎5. 由题意得：‎ ‎（II）由得,‎ 由于直线与椭圆有两个不同的交点，，即 ①‎ ‎（1）当时，设弦MN的中点为分别为点M、N的横坐标，则 又 ②.‎ 将②代入①得，解得, 由②得 , ‎ 故所求的取值范围是 ‎（2）当时，‎ ‎6. 设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.‎ ‎ （I）证明：；‎ ‎ （II）若的面积取得最大值时的椭圆方程.‎ ‎6. 依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故 将，得 ‎ ①‎ 由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得 ‎，‎ 即 ‎ ‎ （II）解：设由①，得 因为，代入上式，得 ‎ 于是，△OAB的面积 ‎ ‎ ‎ 其中，上式取等号的条件是 由 将这两组值分别代入①，均可解出 所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 ‎7. 如图，已知⊙：及点A，在 ⊙上任取一点A′，连AA′并作AA′的中垂线l，设l与直线A′交于点P，若点A′取遍⊙上的点.‎ ‎（1）求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与曲线交于、两点,且,则当时,求直线的斜率的取值范围.‎ ‎7. (1)　∵l是线段A的中垂线，∴,‎ ‎∴||PA|－|P||=||P|－|P||=||=.即点P在以、A为焦点，以4为焦距，以为实轴长的双曲线上，故轨迹C的方程为. ‎ ‎ (2)设,,则直线的方程为,则由,得 ‎ ,.由,得.∴‎ ‎,,.‎ 由,,,‎ ‎ 消去,得.∵,函数在上单调递增. ∴,，所以 或.‎ ‎ 故斜率的取值范围为.‎ ‎8. 如图，已知⊙：及点 ，在 ⊙上任取一点′，连′，并作′的中垂线l，设l与′交于点P， 若点′取遍⊙上的点.‎ ‎（1）求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）设直线与轨迹C相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点D.若的面积取得最大值时的椭圆方程．‎ ‎8. (1)　∵l是线段的中垂线，∴,‎ ‎∴|PM|+|P|=|P|+|P|=||=‎2m.即点P在以、M为焦点，以为焦距，以为长轴长的椭圆上，故轨迹C的方程为，即. ‎ ‎（2）由 得 将代入消去，得 ① ‎ 由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得 整理得，即 ‎ ‎ 设由①，得.‎ ‎∵而点, ∴，所以，‎ 代入上式，得 ‎ 于是，△OAB的面积 ‎ 其中，上式取等号的条件是即 由可得.‎ 将及这两组值分别代入①，均可解出 ‎∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 第三组：数列不等式 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求：‎ ‎（1）数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项的和为，求证：‎ 解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 ‎（2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．‎ 二．先放缩再求和 ‎1．放缩后成等差数列，再求和 例．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.‎ ‎(1) 求证：；‎ ‎(2) 求证：‎ 解：（1）在条件中，令，得， ，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ‎ ∴ ‎ 所以， ， ‎ 所以 ‎（2）因为，所以，所以 ‎；‎ ‎2．放缩后成等比数列，再求和 例．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；‎ ‎（2）等比数列{an}中，，前n项的和为An，且A7，A9，A8成 等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．‎ 解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，． ‎ ‎ 当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是 ‎． ‎ ‎（2）∵，，，∴公比． ‎ ‎∴． ． ‎ ‎∴． ‎ ‎3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证：‎ 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，‎ 即，即．所以数列为递增数列，所以，‎ 即，累加得：．‎ 令，所以，两式相减得：‎ ‎，所以，所以，‎ 故得．‎ ‎4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．‎ ‎（1）求a4、a5，并写出an的表达式；‎ ‎（2）令，证明，n=1,2,….‎ 解（1）由已知得，.‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以 ‎　　　　　　　　　　　　　 =.‎ ‎ 综上，.‎ 注：常用放缩的结论：（1）‎ ‎（2）．‎ 在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．‎ 虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩．如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口．‎