全国高考1卷理科数学试题及答案

全国高考1卷理科数学试题及答案

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知集合，，则中所含元素的个数为 ‎（A） 3 （B） 6 （C） 8 （D） 10‎ ‎（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ‎（A） 12种 （B） 10种 （C） 9种 （D）8种 ‎（3）下面是关于复数的四个命题 ‎： : :的共轭复数为 ：的虚部为 其中真命题为 ‎(A ) , （B） , （C） ， （D） , ‎ ‎（4）设是椭圆的左、右焦点，为 直线上的一点，是底角为的等腰三角形，则 的离心率为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（5）已知为等比数列，，，则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（6）如果执行右边的程序图，输入正整数 和实数输入,则 ‎(A)为的和 ‎（B）为的算式平均数 ‎（C）和分别是中最大的数和最小的数 第 11 页 共 13 页 ‎（D）和分别是中最小的数和最大的数 ‎（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某 几何体的三视图，则此几何体的体积为 ‎（A）6 (B)9 （C）12 （D）18‎ ‎（8）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点， ，则的 实轴长为 ‎（A） （B） （C）4 （D）8‎ ‎（9）已知，函数在单调递减，则的取值范围 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎ （10）已知函数，则的图像大致为 ‎（11）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为的直径，且，则此棱锥的体积为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎（12）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ 第 11 页 共 13 页 ‎ ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考试依据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）已知向量夹角为45°，且，则____________.‎ ‎（14）设满足约束条件则的取值范围为__________.‎ ‎（15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件 正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________________.‎ ‎(16)数列满足，则的前60项和为________.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知分别为的三个内角的对边，.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，的面积为，求.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.‎ ‎（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式;‎ ‎（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 日需求量 ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 第 11 页 共 13 页 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.‎ ‎（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；‎ ‎（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，直三棱柱中，，是棱的中点，。 ‎ （1） 证明：；‎ （2） 求二面角 的大小.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点.‎ （1） 若，的面积为，求的值及圆的方程；‎ （2） 若三点在同一直线上，直线与平行，且与之有一个公共点，求坐标原点到距离的比值.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数满足.‎ （1） 求的解析式及单调区间；‎ （2） 若，求的最大值.‎ 请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲 如图，分别为边的中点，直线交的外接圆于两点，若，证明：‎ 第 11 页 共 13 页 ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程式（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程式.正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点Ａ的极坐标为.‎ ‎（Ⅰ）求点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）设为上任意一点，求的取值范围.‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含求的取值范围.‎ 第 11 页 共 13 页 ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）【解析】选 ‎ ，，，共10个 ‎（2）【解析】选 ‎ 甲地由名教师和名学生：种 ‎（3）【解析】选 ‎ ‎ ‎ ，，的共轭复数为，的虚部为 ‎（4）【解析】选 ‎ 是底角为的等腰三角形 ‎（5）【解析】选 ‎，或 ‎（6）【解析】选 ‎（7）【解析】选 ‎ 该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为 ‎ 此几何体的体积为 ‎（8）【解析】选 设交的准线于 得：‎ ‎（9）【解析】选 ‎ 不合题意 排除 ‎ 合题意 排除 第 11 页 共 13 页 另：，‎ ‎ 得：‎ ‎（10）【解析】选 ‎ ‎ ‎ 得：或均有 排除 ‎（11）【解析】选 ‎ 的外接圆的半径，点到面的距离 ‎ 为球的直径点到面的距离为 ‎ 此棱锥的体积为 ‎ 另：排除 ‎（12）【解析】选 ‎ 函数与函数互为反函数，图象关于对称 ‎ 函数上的点到直线的距离为 ‎ 设函数 ‎ 由图象关于对称得：最小值为 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）【解析】‎ ‎(14) 【解析】的取值范围为 ‎ 第 11 页 共 13 页 ‎ 约束条件对应四边形边际及内的区域： ‎ 则 ‎（15）【解析】使用寿命超过1000小时的概率为 ‎ ‎ 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率 ‎ 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ‎（16）【解析】的前项和为 ‎ ‎ 可证明：‎ ‎ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎ （17）【解析】（1）由正弦定理得：‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ 解得：（l fx lby）‎ ‎18.【解析】（1）当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 得：‎ ‎ （2）（i）可取，，‎ ‎ ‎ 第 11 页 共 13 页 ‎ 的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （ii）购进17枝时，当天的利润为 ‎ 得：应购进17枝 ‎（19）【解析】（1）在中，‎ ‎ 得：‎ ‎ 同理：‎ ‎ 得：面 ‎ （2）面 ‎ 取的中点，过点作于点，连接 ‎ ，面面面 ‎ 得：点与点重合 ‎ 且是二面角的平面角 ‎ 设，则，‎ ‎ 既二面角的大小为 ‎（20）【解析】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 ‎ 点到准线的距离 ‎ ‎ ‎ 圆的方程为 第 11 页 共 13 页 ‎ （2）由对称性设，则 ‎ 点关于点对称得：‎ ‎ 得：，直线 ‎ 切点 ‎ 直线 坐标原点到距离的比值为。‎ ‎（21）【解析】（1）‎ ‎ 令得：‎ ‎ ‎ ‎ 得：‎ ‎ 在上单调递增 ‎ ‎ ‎ 得：的解析式为 ‎ 且单调递增区间为，单调递减区间为 ‎ （2）得 ‎ ①当时，在上单调递增 ‎ 时，与矛盾 ‎ ②当时，‎ 第 11 页 共 13 页 ‎ 得：当时，‎ ‎ ‎ ‎ 令；则 ‎ ‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，的最大值为 请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，‎ 做答时请写清题号。‎ ‎（22）【解析】（1），‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎（23）【解析】（1）点的极坐标为 ‎ 点的直角坐标为 ‎ （2）设；则 ‎ ‎ ‎ （lfxlby）‎ ‎（24）【解析】（1）当时，‎ ‎ 或或 ‎ 或 ‎ （2）原命题在上恒成立 在上恒成立 在上恒成立 第 11 页 共 13 页