新命题目题目库大全高考数学试题目解析分项专题目03函数与导数文
2007年高考试题
2007年函数
(2007广东)已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ）
A. B. C. D.
C.
（2007广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
B.
（2007全国Ⅰ）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）
A． B．2 C． D．4
A
（2007全国Ⅰ）设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
B
(2007浙江)设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）
A. B.
C. D.
C.
（2007天津）在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ）
A.在区间上是增函数，区间上是增函数
B.在区间上是增函数，区间上是减函数
C.在区间上是减函数，区间上是增函数
D.在区间上是减函数，区间上是减函数
B.
(2007天津)设均为正数，且，，.则（ ）
A. B. C. D.
A.
(2007湖南)函数的图象和函数的图象的交点个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
B.
(2007湖南)设集合，都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、（）都有， （表示两个数中的较小者），则
的最大值是（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
B.
(2007福建)已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
C.
(2007重庆)已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
D
（2007山东）已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
B.
(2007山东)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为（ ）
A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
A.
（2007江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）
A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3 C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1
A.
（2007安徽）若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是
A. a＜-1 B. ≤1 C.＜1 D.a≥1
B.
（2007安徽）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为
A.0 B.1 C.3 D.5
D.
（2007安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为
(A) (0≤x≤2)
(B) (0≤x≤2)
(C) (0≤x≤2)
(D) (0≤x≤2)
B.
（2007安徽）设a＞1,且,则的大小关系为
(A) n＞m＞p (B) m＞p＞n (C) m＞n＞p (D) p＞m＞n
B.
（2007北京）对于函数①，②，③.判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：上是减函数，在区间上是增函数；命题丙：在上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）
A.①③ B.①② C. ③ D. ②
D
（2007湖北）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知
药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 .
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.
(2007山东)函数的图象恒过定点A,若点A在直线上，其中，则的最小值为 .
8
(2007重庆)若函数的定义域为R，则实数的取值范围 。
（2007宁夏）设函数为奇函数，则实数 。
－1
（2007全国Ⅰ）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则__________。
（2007北京）已知函数分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则的值 ；满足的的值 .
1，2
(2007广东)已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.
解：若 , ,显然在上没有零点, 所以 .
令 , 解得
①当 时, 恰有一个零点在上;
②当，即时，在
上也恰有一个零点.
③当在上有两个零点时, 则
或
解得或
综上所求实数的取值范围是 或 .
（2007北京）已知集合其中，由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序实数对，集合的元素个数分别为.
若对于任意的，则称集合具有性质.
（Ⅰ）检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合写出相应的集合；
（Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明：；
（Ⅲ）判断的大小关系，并证明你的结论.
（Ⅰ）解：集合不具有性质，具有性质，其相应的集合是
；
（Ⅱ）证明：首先由中的元素构成的有序实数对共有个，因为
,
又因为当，
所以当，于是集合中的元素的个数最多为
，即.
（Ⅲ）解：，证明如下：
①对于，根据定义
如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是
与中至少有一个不成立，故与也是中的不同元素.可见
中的元素个数不多于中的元素个数，即；
②对于，根据定义
如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是
与中至少有一个不成立，故与也是中的不同元素.可见
中的元素个数不多于中的元素个数，即.
由①②可知.
(2007上海)已知函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。
解：（1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.
（2）设，
，
由得，
要使在区间是增函数只需，
即恒成立，则。
另解（导数法）：，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，
故当时，在区间是增函数。
2007文科导数
（福建理11文）
已知对任意实数，有，且时，，则时（ B ）
A． B．
C． D．
（海南文10）
曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（江西文8）
若，则下列命题正确的是（ B ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（全国一文11）
曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（全国二文8）
已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ A ）
A．1 B．2 C．3 D．4
(北京文9)
是的导函数，则的值是＿＿＿＿．3
（广东文12）
函数的单调递增区间是＿＿＿＿．
（湖北文13）
已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．3
（浙江文15）
曲线在点处的切线方程是＿＿＿＿．
(安徽文 20)
设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表达式；
(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．
解：（I）我们有
．
由于，，故当时，达到其最小值，即
．
（II）我们有．
列表如下：
极大值
极小值
由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．
（福建文 20）
设函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ），
当时，取最小值，
即．
（Ⅱ）令，
由得，（不合题意，舍去）．
当变化时，的变化情况如下表：
递增
极大值
递减
在内有最大值．
在内恒成立等价于在内恒成立，
即等价于，
所以的取值范围为．
（海南文 19）
设函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
解：的定义域为．
（Ⅰ）．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．
又．
所以在区间的最大值为．
（湖北文 19）
设二次函数，方程的两根和满足．
（I）求实数的取值范围；
（II）试比较与的大小．并说明理由．
本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．
解法1：（Ⅰ）令，
则由题意可得．
故所求实数的取值范围是．
（II），令．
当时，单调增加，当时，
，即．
解法2：（I）同解法1．
（II），由（I）知，
．又于是
，
即，故．
解法3：（I）方程，由韦达定理得
，，于是
．
故所求实数的取值范围是．
（II）依题意可设，则由，得
，故．
（湖南文 21）
已知函数在区间，内各有一个极值点．
（I）求的最大值；
（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，
设两实根为（），则，且．于是
，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由知在点处的切线的方程是
，即，
因为切线在点处空过的图象，
所以在两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．
而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，则
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由知是的一个极值点，则，
所以，又由，得，故．
（辽宁文 22）
已知函数，，且对任意的实数均有，．
（I）求函数的解析式；
（II）若对任意的，恒有，求的取值范围．
（全国一文 20）
设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
解：（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以 ，
解得 或，
因此的取值范围为．
（全国二文 22）
已知函数
在处取得极大值，在处取得极小值，且．
（1）证明；
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
解：求函数的导数．
（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．
所以
当时，为增函数，，由，得．
（Ⅱ）在题设下，等价于 即．
化简得．
此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．
所围成的的内部，其三个顶点分别为：．
b
a
2
1
2
4
O
在这三点的值依次为．
所以的取值范围为．
（山东文 21）
设函数，其中．
证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．
证明：因为，所以的定义域为．
．
当时，如果在上单调递增；
如果在上单调递减．
所以当，函数没有极值点．
当时，
令，
将（舍去），，
当时，随的变化情况如下表：
0
极小值
从上表可看出，
函数有且只有一个极小值点，极小值为．
当时，随的变化情况如下表：
0
极大值
从上表可看出，
函数有且只有一个极大值点，极大值为．
综上所述，
当时，函数没有极值点；
当时，
若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．
若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．
(陕西文21)
已知在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数,又
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在区间(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.
解：（Ⅰ），由已知，
即解得
，，，．
（Ⅱ）令，即，
，或．
又在区间上恒成立，．
(上海文科19)
已知函数，常数．
（1）当时，解不等式；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由．
解： （1），
，
．
原不等式的解为．
（2）当时，，
对任意，，
为偶函数．
当时，，
取，得 ，
，
函数既不是奇函数，也不是偶函数．
（四川文20）
设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．
解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．
（Ⅰ）∵为奇函数，
∴
即
∴
∵的最小值为
∴
又直线的斜率为
因此，
∴，，．
（Ⅱ）．
，列表如下：
极大
极小
所以函数的单调增区间是和
∵，，
∴在上的最大值是，最小值是．
（天津文 21）
设函数（），其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；
（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式
对任意的恒成立．
本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
（Ⅰ）解：当时，，得，且
，．
所以，曲线在点处的切线方程是，整理得
．
（Ⅱ）解：
．
令，解得或．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（2）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且
；
函数在处取得极大值，且
．
（Ⅲ）证明：由，得，当时，
，．
由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，
只要
即
①
设，则函数在上的最大值为．
要使①式恒成立，必须，即或．
所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．
（重庆文20）
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
（20）（本小题12分）
解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
2006年高考试题
2006函数与导数
1．（2006年福建卷）函数的反函数是 （A）
（A） （B）
（C） （D）
2．（2006年安徽卷）函数 的反函数是（ ）
A． B． C． D．
2．解：有关分段函数的反函数的求法，选C。
3．（2006年安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则__________。
3．解：由得，所以，则。
4．（2006年广东卷）函数的定义域是
A. B. C. D.
4．解：由，故选B.
5．（2006年广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. B. C. D.
5、B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.
6．（2006年广东卷）函数的反函数的图象与y轴交于点(如图2所示)，则方程的根是
A. 4 B. 3 C. 2 D.1
7．的根是2，故选C
7．（2006年陕西卷）设函数的图像过点，其反函数的图像过点，则等于（ C ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
8．（2006年陕西卷）已知函数若则 （A）
（A） （B）
（C） （D）与的大小不能确定
9．（2006年陕西卷）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（C）
（A） （B） （C） （D）
10．( 2006年重庆卷)如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB
所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是 ( D )
题 （９）图
11. （2006年上海春卷）方程的解 2 .
12. （2006年上海卷）函数的反函数 .
13. （2006年上海春卷）已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时， .
14．（2006年全国卷II）函数y＝lnx－1(x＞0)的反函数为 (B )
（A）y＝ex＋1(x∈R) （B）y＝ex－1(x∈R)
（C）y＝ex＋1(x＞1) (D)y＝ex－1(x＞1)
15．（2006年全国卷II）函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点
对称，则f(x)的表达式为 (D )
(A)f(x)＝(x＞0) (B)f(x)＝log2(－x)(x＜0)
(C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
16．（2006年天津卷）已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ D ）
A． B． C． D．
17. （2006年湖北卷）设，则的定义域为 （B）
A. B.
C. D.
17．解选B。由得，的定义域为。故，解得。故的定义域为。
18. （2006年湖北卷）关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是 （B）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
18．解选B。本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令①，则方程化为②，作出函数的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0
0,q：<0,则p是q的 (A)
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
33．（2006年江苏卷）设a为实数，记函数的最大值为g(a)。
（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)
（Ⅱ）求g(a)
（Ⅲ）试求满足的所有实数a
解：（I）∵，
∴要使有意义，必须且，即
∵，且……① ∴的取值范围是。
由①得：，∴，。
（II）由题意知即为函数，的最大值，
∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，故；
（2）当时，，，有=2；
（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若即时，，
若即时，，
若即时，。
综上所述，有=。
（III）当时，；
当时，，，∴，
，故当时，；
当时，，由知：，故；
当时，，故或，从而有或，
要使，必须有，，即，
此时，。
综上所述，满足的所有实数a为：或。
点评：本题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力
34. （2006年上海春卷）设函数.
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；
（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.
34. [解]（1）
……4分
（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此
. ……8分
由于. ……10分
（3）[解法一] 当时，.
， ……12分
. 又，
① 当，即时，取，
.
，
则. ……14分
② 当，即时，取， ＝.
由 ①、②可知，当时，，.
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. ……16分
[解法二] 当时，.
由 得，
令 ，解得 或， ……12分
在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点. ……14分
如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. ……16分
(21) ( 2006年重庆卷)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.
（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0 )= x0,求函数f(x)的解析表达式.
解：（Ⅰ）因为对任意xεR，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以
f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.
又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.
若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.
（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.
所以对任意xεR，有f(x)- x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,
又因为f(x0)- x0，所以x0- x=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即
f(x)= x2 –x.
但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.
若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为
f(x)= x2 –x+1（xR）
. 第十四章导数
1．（2006年安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A
2． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2｜y2 4x｜2y+=0相切的直线的方程为 (A)
（A）y=-3x或y=x (B) y=-3x或y=-x
（C）y=-3x或y=-x (B) y=3x或y=x
3．（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在
内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ A ）
A．1个
B．2个
C．3个
D． 4个
4．（2006年全国卷I）设函数。若是奇函数，则_________。
4．
要使为奇函数，需且仅需，即：。
又，所以k只能取0，从而。
5．（2006年江苏卷）对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是 ▲
解：，令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前n项和
点评：本题主要考查利用导数求切线方程，再与数列知识结合起来，解决相关问题。
6．（2006年江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（ C ）
A． f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）£2f（1）
C. f（0）＋f（2）³2f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1）
解：依题意，当x³1时，f¢（x）³0，函数f（x）在（1，＋¥）上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（－¥，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有
f（0）³f（1），f（2）³f（1），故选C
7．（2006年辽宁卷）与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为
(A) (B)
(C) (D)
【解析】，，即：，所以，故选择答案A。
【点评】本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解。同时还考查了转化能力。
8. ( 2006年湖南卷）设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( C )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
9. ( 2006年湖南卷）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 .
10．(2006年山东卷）设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。
10.(1)减；（2）-1≤a≤0,(-1,+∞) 减; a>0, 减,增.
11．（2006年北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
11. （Ⅰ）=1; （Ⅱ）.
12．（2006年辽宁卷）已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，，且a＞0,d＞0.设［1-］上，，在，将点A， B， C
(I)求
(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值
【解析】(I)解:
令,得
当时, ;
当时,
所以f(x)在x=-1处取得最小值即
(II)
的图像的开口向上,对称轴方程为
由知
在上的最大值为
即
又由
当时, 取得最小值为
由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以
又由三角形ABC的面积为得
利用b=a+d,c=a+2d,得
联立(1)(2)可得.
解法2:
又c>0知在上的最大值为
即:
又由
当时, 取得最小值为
由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以
又由三角形ABC的面积为得
利用b=a+d,c=a+2d,得
联立(1)(2)可得
【点评】本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
13．（2006年江西卷）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2） 若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）f（2）＝2＋c
解得c<－1或c>2
14．（2006年天津卷）已知函数，其中为参数，且．
（1）当时，判断函数是否有极值；
（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．
14．无极值；；
15．（2006年全国卷I）已知函数。
（Ⅰ）设，讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。
15．解：（I） 的定义域为（，1）（1，）
因为（其中）恒成立，所以
⑴ 当时，在（，0）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数；
⑵ 当时，在（，0）（0，1）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数；
⑶ 当时，的解为：（，）（t，1）（1，+）
（其中）
所以在各区间内的增减性如下表：
区间
（，）
（，t）
（t，1）
（1，+）
的符号
+
+
+
的单调性
增函数
减函数
增函数
增函数
（II）显然
⑴ 当时，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有；
⑵ 当时，是在区间 0，1上的最小值，即，这与题目要求矛盾；
⑶ 若，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有。
综合⑴、⑵、⑶ ，a的取值范围为（，2）
O
O1
16．（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六
棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右
图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离
为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为，则
由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）
故底面正六边形的面积为：=，（单位：）
帐篷的体积为：
（单位：）
求导得。
令，解得（不合题意，舍去），，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数。
∴当时，最大。
答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。
点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力
17．（2006年湖北卷）设是函数的一个极值点.
（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.
17． 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。
解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,
由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，
则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.
令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，
所以x+a+1≠0，那么a≠－4.
当a<－4时，x2>3＝x1，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。
当a>－4时，x2<3＝x1，则
在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，
而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，
那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，
由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须
（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得00 , ∴f(x)是R上的单调增函数.
（II）∵00 =x1, y2=f(y1)=f()=<=y1,综上, x10；
④.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 ②③ .
6．（2005福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.
若函数的图象与的图象关于 对称，则函数=
.
（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）
(①x轴， ②y轴，)
③原点， ④直线
7（2005湖北卷）．函数的定义域是 .
8. （2005湖南卷）设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f－1(x)，f (4)＝0，则
f－1(4)＝-2 .
9. （2005上海）函数f(x)=log4(x+1)的反函数f(x)= 4-1 ．
10.（2005上海）方程4x+2x-2=0的解是x=0 ．
11. （2005天津卷）设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________.
12. （2005江西卷）若函数是奇函数，则a= .
13.( 2005浙江)函数y＝(x∈R，且x≠－2)的反函数是．
解答题：
1、（2005广东卷）设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．
.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,
从而知函数不是奇函数,
由
,从而知函数的周期为
又,故函数是非奇非偶函数;
(II)由
(II) 又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.
2. （2005全国卷Ⅰ）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。（Ⅰ）若方程有两个相等的根，求的解析式；
（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围。
解：（Ⅰ）
①
由方程 ②
因为方程②有两个相等的根，所以，
即
由于代入①得的解析式
（Ⅱ）由
及
由 解得
故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是
3. （2005北京卷）设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
（I）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；
（II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；
（III）选取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)
，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）
解：（I）证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*, 1]上单调递减．
当f(x1)≥f(x2)时，假设x*(0, x2)，则x1f(x1)，
这与f(x1)≥f(x2)矛盾，所以x*∈(0, x2)，即(0, x2)是含峰区间.
当f(x1)≤f(x2)时，假设x*( x2, 1)，则x*<≤x1f(x2)，
这与f(x1)≤f(x2)矛盾，所以x*∈(x1, 1)，即(x1, 1)是含峰区间.
（II）证明：由（I）的结论可知：
当f(x1)≥f(x2)时，含峰区间的长度为l1＝x2；
当f(x1)≤f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1－x1；
对于上述两种情况，由题意得
①
由①得 1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r.
又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r, ②
将②代入①得
x1≤0.5－r, x2≥0.5－r， ③
由①和③解得 x1＝0.5－r， x2＝0.5＋r．
所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r．
（III）解：对先选择的x1；x2，x1x3时，含峰区间的长度为x1．
由条件x1－x3≥0.02，得x1－(1－2x1)≥0.02，从而x1≥0.34．
因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取
x1＝0.34，x2＝0.66，x3=0.32．
4（2005上海）已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,( 、分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x2-x-6.
(1)求k、b的值;
(2)当x满足f(x)> g(x)时,求函数的最小值.
[解](1)由已知得A(,0),B(0,b),则={,b},于是=2,b=2. ∴k=1,b=2.
(2)由f(x)> g(x),得x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-20,则≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立
∴的最小值是-3.
5,（2005上海）(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.
对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x),
f(x)·g(x) 当x∈Df且x∈Dg
规定: 函数h(x)= f(x) 当x∈Df且xDg
g(x) 当xDf且x∈Dg
(1) 若函数f(x)=-2x+3,x≥1; g(x)=x-2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;
(2) 求问题(1)中函数h(x)的最大值;
(3) 若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos2x,并予以证明.
6..[解](1)h(x)= (-2x+3)(x-2) x∈[1,+∞)
x-2 x∈(-∞,1)
(2) 当x≥1时, h(x)= (-2x+3)(x-2)=-2x2+7x-6=-2(x-)2+
∴h(x)≤;
当x<1时, h(x)<-1,
∴当x=时, h(x)取得最大值是
(3)令 f(x)=sinx+cosx,α=
则g(x)=f(x+α)= sin(x+)+cos(x+)=cosx-sinx,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sinx+cosx)( cosx-sinx)=cos2x.
另解令f(x)=1+sinx, α=π,
g(x)=f(x+α)= 1+sin(x+π)=1-sinx,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sinx)( 1-sinx)=cos2x.
7．(2005浙江)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
(Ⅲ)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．
解：（I）设函数的图象上任一点关于原点的对称点为,
则 即 .
∵点在函数的图象上.
即 故g(x)＝.
(II)由可得：
当1时，
此时不等式无解。
当时，
因此，原不等式的解集为[-1, ].
(III)
① 当时，＝在[-1,1]上是增函数，
②当时，对称轴的方程为
(i) 当时，，解得。
(ii) 当时，1时，解得
综上,
8.( 2005江西卷）已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设k>1，解关于x的不等式；.
解：（1）将得
（2）不等式即为
即
①当
②当
③.
9.（2005全国I）（1）设函数，求的最小值；
（2）设正数满足，
求证：
（Ⅰ）解：对函数求导数：
于是
当在区间是减函数，
当在区间是增函数.
所以时取得最小值，，
（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明.
（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.
（ii）假定当时命题成立，即若正数，
则
当时，若正数
令
则为正数，且
由归纳假定知
①
同理，由可得
②
综合①、②两式
即当时命题也成立.
根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.
证法二：
令函数
利用（Ⅰ）知，当
对任意
. ①
下面用数学归纳法证明结论.
（i）当n=1时，由（I）知命题成立.
（ii）设当n=k时命题成立，即若正数
由①得到
由归纳法假设
即当时命题也成立.
所以对一切正整数n命题成立.
导数部分
1、(2005广东卷)函数是减函数的区间为(D)2005
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）
2.（2005全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，则=（B）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
3. （2005湖北卷）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 （ D ）
-2
2
O
1
-1
-1
1
A．3 B．2 C．1 D．0
4．(2005江西)已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是(C ）
O
-2
2
1
-1
-2
1
2
O
-2
-2
2
1
-1
1
2
O
-2
4
1
-1
-2
1
2
O
-2
2
-1
2
4
A
B
C
D
5.( 2005浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( B )
(A) (B) (C) (D)1
6. (2005重庆卷)曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2
所围成的三角形的面积为______8/3____。
7.（2005江苏卷）（14）曲线在点（1,3）处的切线方程是
8. (2005全国卷III)曲线在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0
9. （2005北京卷）过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为 (1, e)； ，切线的斜率为e ．
10.( 2005全国卷Ⅱ)设a为实数,函数
(Ⅰ)求的极值.
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.
解：(I)=3－2－1
若=0，则==－，=1
当变化时，，变化情况如下表：
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，+∞)
+
0
－
0
+
极大值
极小值
∴的极大值是，极小值是
(II)函数
由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线=与轴至少有一个交点
结合的单调性可知：
当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。
当的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。
∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点。
11. (2005全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ，函数f(x) = （ -2ax ）
(1) 当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；
（2）设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a的取值范围.
解：（I）对函数求导数得
令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0
解得
当 变化时，、的变化如下表
+
0
－
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。
当≥0时，<－1,在上为减函数，在上为增函数
而当时=，当x=0时，
所以当时，取得最小值
（II）当≥0时，在上为单调函数的充要条件是
即，解得
于是在[-1，1]上为单调函数的充要条件是
即的取值范围是
12. (2005全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
解：设容器的高为x，容器的体积为V，1分
则V=（90-2x）（48-2x）x,(00,
1036时，V′>0,
所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960……………………………………………………10分
又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………………………………11分
所以当x=10,V有最大值V(10)=1960………………………………………………………12分
13. (2005全国卷III)已知函数，
（Ⅰ）求的单调区间和值域；
（Ⅱ）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围
解：对函数求导，得
令解得 或
当变化时，、的变化情况如下表：
x
0
0
所以，当时，是减函数；当时，是增函数；
当时，的值域为
（Ⅱ）对函数求导，得
因此，当时，
因此当时，为减函数，从而当时有
又，，即当时有
任给，，存在使得，则
即
解式得 或
解式得
又，
故：的取值范围为
14. （2005北京卷）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,
（I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．
故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．
15．（2005福建卷）已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间.
解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以
由在处的切线方程是，知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得 当
当
故内是增函数，在内是减函数，
在内是增函数.
16．（2005福建卷）已知函数的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.
解：（1）由函数f(x)的图象在点M（－1f(－1)）处的 切线方程为x+2y+5=0，知
17. （2005湖北卷）已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.
解法1：依定义
开口向上的抛物线，故要使在区间
（－1，1）上恒成立
.
解法2：依定义
的图象是开口向下的抛物线，
18．（2005湖南卷）设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.
（Ⅰ）用表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.
解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，
即.因为所以.
又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以
而
将代入上式得 因此故，，
（II）解法一.
当时，函数单调递减.
由，若；若
由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则
所以
又当时，函数在（－1，3）上单调递减.
所以的取值范围为
解法二：
因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）
上的抛物线，
所以 即解得
所以的取值范围为
19.（2005湖南卷）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.
（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
解：（I），
则
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解.
又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.
①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－14时有两个不同的实根，，不妨设<
于是，从而有下表
x
x1
+
0
－
0
+
↑
为极大值
↓
为极小值
↑
即此时有两个极值点.
（2）当△=0即=0或=4时，方程有两个相同的实根
于是
故当<时>0，当>时>0，因此无极值
（3）当△<0即0<<4时
，故为增函数，此时无极值. 因此当无极值点.
24.（2005江苏卷）已知函数
（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；
（Ⅱ）求函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值.
解：（1）当a=2时,，则方程f(x)=x即为
解方程得：
（2）（I）当a>0时,，
作出其草图见右, 易知有两个极值点借助于图像可知
当时，函数在区间[1,2]上为增函数，此时
当时,显然此时函数的最小值为
当时，，此时在区间为增函数，在区间上为减函数，∴，又可得
∴
则当时，，此时
当时，，此时
当时，,此时在区间为增函数，故
(II)当时，，此时在区间也为增函数，故
（III）当时，其草图见右
显然函数在区间为增函数，故
