数学三年高考解析几何汇编答案

数学三年高考解析几何汇编答案

‎2007-2009各地高考解析几何解答题汇编（文科）‎ （一） 以几何度量立意——弦长、三角形面积、四边形面积问题 ‎2008北京文19 已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．‎ ‎（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；‎ ‎（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．(另见最值问题)‎ 解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．‎ 设两点坐标分别为．‎ 由 得．‎ 所以．‎ 又因为边上的高等于原点到直线的距离．‎ 所以，．‎ ‎（Ⅱ）设所在直线的方程为，‎ 由得．‎ 因为在椭圆上，‎ 所以．‎ 设两点坐标分别为，‎ 则，，‎ 所以．‎ 又因为的长等于点到直线的距离，即．‎ 所以．‎ 所以当时，边最长，（这时）‎ 此时所在直线的方程为．‎ ‎2007浙江文21 如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为． （I）求在，的条件下，的最大值；‎ ‎（第21题）‎ ‎（II）当，时，求直线的方程．‎ ‎（I）解：设点的坐标为，点的坐标为．‎ 由，解得 所以 当且仅当时，．S取到最大值1．‎ ‎（Ⅱ）解：由得 ‎ 　　　　①‎ ‎｜AB｜＝ ②‎ 又因为O到AB的距离　　所以　③‎ ‎③代入②并整理，得 解得，，代入①式检验，△＞0‎ ‎ 故直线AB的方程是 ‎ 或或或．‎ 以点、线的位置关系立意——垂直、中点、中垂线、对称 1. 垂直 2. 线段中点（中点弦）‎ 3. 中垂线问题 以符号化的形式立意——向量问题 ‎2009全国II文22 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为.‎ ‎(Ⅰ) 求a，b的值；‎ ‎(Ⅱ) C上是否存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与L的方程；若不存在，说明理由 ‎ ‎ ‎2008辽宁文21 在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．‎ ‎（Ⅰ）写出C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？‎ 解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，‎ 长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为． 4分 ‎（Ⅱ）设，其坐标满足 消去y并整理得，‎ 故． 6分 ‎，即．而，‎ 于是．‎ 所以时，，故． 8分 当时，，．‎ ‎，‎ 而，所以．‎ ‎2007海南宁夏文21 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点．‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．‎ （一） 以直线与椭圆位置关系立意——取值范围问题 ‎2007海南宁夏文21 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点．‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．‎ 解：（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为，过且斜率为的直线方程为．‎ 代入圆方程得，‎ 整理得．　　　①‎ 直线与圆交于两个不同的点等价于 ‎，‎ 解得，即的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）设，则，‎ 由方程①，‎ ‎　　　　②‎ 又．　　　　③‎ 而．‎ 所以与共线等价于，‎ 将②③代入上式，解得．‎ 由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数．‎ ‎2007全国II文21 在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．‎ 解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，‎ ‎ 即 ．‎ ‎ 得圆的方程为．‎ ‎（2）不妨设．由即得 ‎ ．‎ 设，由成等比数列，得 ‎ ，‎ 即 ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由于点在圆内，故 由此得．‎ 所以的取值范围为．‎ ‎2007四川文21 设、分别是椭圆的左、右焦点．‎ ‎（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的作标；‎ ‎（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于同的两点、，且为锐角（其中为作标原点），求直线的斜率的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）易知，，．‎ ‎∴，．设．则 ‎，又，‎ 联立，解得，．‎ ‎（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．‎ 联立 ‎∴，‎ 由，得．①‎ 又为锐角，‎ ‎∴又 ‎∴‎ ‎ ∴．②‎ 综①②可知，∴的取值范围是．‎ （一） 以函数性质研究立意——最值问题 ‎2009福建文22 已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；‎ ‎（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由. (另见存在性问题)‎ 解：（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 ‎ 故椭圆的方程为 ‎（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，‎ 故可设直线的方程为，从而 由得0‎ 设则得，从而 即又 由得 故 又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 当且仅当，即时等号成立 时，线段的长度取最小值 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，‎ ‎ 此时的方程为 ‎ 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，‎ 所以在平行于且与距离等于的直线上。‎ 设直线 则由解得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎2008北京文19 已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．‎ ‎（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；‎ ‎（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．(另见最值问题)‎ ‎2008福建文22 如图，椭圆的一个焦点是，且过点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M.‎ ‎ （ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；‎ ‎（ⅱ）求面积的最大值.‎ ‎（Ⅰ）由题设，从而，所以椭圆C的方程为。‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）解法一：由题意得。‎ 设则，。 ……………………………… ①‎ 与的方程分别为：。‎ 设，则有 由②，③得。‎ ‎。‎ 所以点M恒在椭圆C上。‎ ‎（ⅱ）设AM的方程为，代入得。‎ 设，则有：。‎ ‎。‎ 令，则 ‎，‎ 因为，‎ 有最大值3，此时AM过点F。‎ ‎△AMN的面积有最大值。‎ 解法二：‎ ‎（ⅰ）由题意得。‎ 设则，。 ……………………………… ①‎ 与的方程分别为： …………………………… ②‎ ‎…………………………… ③‎ 由②，③得：当时，。………………………… ④‎ 由④代入①，得。‎ 当时，由②，③得：‎ 解得 与矛盾。‎ 所以点M的轨迹方程为即点M恒在椭圆C上。‎ ‎2007陕西文22 已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）设，．‎ ‎（1）当轴时，．‎ ‎（2）当与轴不垂直时，‎ 设直线的方程为．由已知，得．‎ 把代入椭圆方程，整理得，‎ ‎，．‎ ‎．‎ 当且仅当，即时等号成立．当时，，‎ 综上所述．当最大时，面积取最大值．‎ ‎2007全国I文22已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P．‎ ‎（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；‎ ‎（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．‎ 解：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，‎ 故，所以，．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．‎ 设，，则，，‎ ‎；‎ 因为与相交于点，且的斜率为．所以，．‎ 四边形的面积 ‎．‎ ‎2008全国II文22设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四边形面积的最大值． ‎ 解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，．如图，设，其中，‎ 且满足方程，故．．．．．．．．．．．．．．．①‎ 由知，得；‎ 由在上知，得．‎ 所以，‎ 化简得，解得或．6分 ‎（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为， 9分 又，所以四边形的面积为 ‎，‎ 当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分 解法二：由题设，，．设，，由①得，‎ ‎，‎ 故四边形的面积为 ‎，‎ 当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分 （一） 以推理方式立意——存在性问题 ‎2009辽宁文22 已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值 解：（Ⅰ）由题意，c＝1,可设椭圆方程为。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。‎ 所以椭圆方程为 ． 　　　　　　　　　　　．．．．．．4分 ‎（Ⅱ）设直线ＡＥ方程：得，代入得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，所以 ‎ 。　　　　　　　．．．．．．．8分 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得 ‎，w.w.w.k。‎ 所以直线EF的斜率。‎ 即直线EF的斜率为定值，其值为。 ‎ ‎2008福建文22 如图，椭圆的一个焦点是，且过点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M.‎ ‎（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；‎ ‎（ⅱ）求面积的最大值.（另见最值问题）‎ ‎2007山东文22 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以 为直径的图过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ 解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，‎ ‎ 由已知得：， ‎ 椭圆标准方程为．‎ ‎ （2）设．‎ ‎ 联立 ‎ 得 ，则 ‎ ‎ ‎ 又．‎ ‎ 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，‎ ‎ ，即． ‎ ‎．‎ ‎ ． ‎ ‎．‎ ‎ 解得：，且均满足．‎ ‎ 当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；‎ ‎ 当时，的方程为，直线过定点．‎ ‎ 所以，直线过定点，定点坐标为．‎ 以研究手法立意——圆的相关问题 ‎2009广东文19 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.（1）求椭圆G的方程 （2）求的面积 （3）问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.‎ 解：（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;‎ ‎ 则 , 解得 , ‎ ‎ 所求椭圆G的方程为：. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(2 )点的坐标为 ‎ ‎（3）若，由可知点（6，0）在圆外，‎ ‎ 若，由可知点（-6，0）在圆外；‎ ‎ 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.‎ ‎2008辽宁文20 已知m∈R，直线l：和圆C：.‎ ‎（Ⅰ）求直线l斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？‎ 解：（Ⅰ）直线的方程可化为，此时斜率 因为，所以，当且仅当时等号成立 所以，斜率k的取值范围是；‎ ‎（Ⅱ）不能. 由（Ⅰ）知的方程为，其中；‎ 圆Ｃ的圆心为，半径；圆心Ｃ到直线的距离 由，得，即。从而，若与圆Ｃ相交，则圆Ｃ截直线所得的弦所对的圆心角小于。所以不能将圆Ｃ分割成弧长的比值为的两端弧；‎ ‎2007北京文 19 如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．‎ ‎（I）求边所在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程；‎ ‎（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．‎ 解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为．整理得，．‎ ‎（II）由解得点的坐标为，‎ 因为矩形两条对角线的交点为．所以为矩形外接圆的圆心．‎ 又．从而矩形外接圆的方程为．‎ ‎（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，‎ 所以，即．故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长 ‎．从而动圆的圆心的轨迹方程为．‎ ‎2006北京文19 椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且 ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.‎ 解：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.‎ 在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,‎ 从而b2=a2－c2=4, 所以椭圆C的方程为＝1.‎ ‎(Ⅱ) 解法一：设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.‎ ‎ 已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.‎ ‎ 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1,‎ ‎ 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.‎ ‎ 因为A，B关于点M对称，所以 解得，‎ ‎ 所以直线l的方程为即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意)‎ 解法二：已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.‎ ‎ 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 ‎ ① ②‎ 由①－②得 ③‎ 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,代入③得直线l的斜率为＝，‎ 所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)‎ G ‎2009江西文22 如图，已知圆是椭圆的内接△的内切圆, 其中为椭圆的左顶点.（1）求圆的半径;‎ ‎（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，证明：直线与圆相切．‎ 解: （1）设，过圆心作于,交长轴于 由得, 即 (1) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 而点在椭圆上, (2)‎ 由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）‎ ‎(2) 设过点与圆相切的直线方程为: (3)‎ 则,即 (4),解得 将(3)代入得,则异于零的解为 设,，则 则直线的斜率为：‎ 于是直线的方程为: 即 则圆心到直线的距离 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故结论成立.‎ ‎2009天津文22已知椭圆（）的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且（Ⅰ）求椭圆的离心率（Ⅱ）直线AB的斜率；（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上，求的值.‎ 解：（I）由，得,从而，‎ 整理得，故离心率 ‎ ‎（II）解：由（1）知，，所以椭圆的方程可以写为 设直线AB的方程为即 由已知设则它们的坐标满足方程组 消去y整理，得 依题意， ‎ 而，‎ 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 联立三式，解得，‎ 将结果代入韦达定理中解得 ‎ ‎(III)由（2）知，，当时，得A 由已知得 线段的垂直平分线l的方程为 直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，‎ 因此外接圆的方程为 直线的方程为，‎ 于是点满足方程组 由，解得，故 当时，同理可得 ‎ （一） 以结果形式立意——轨迹问题 ‎2009福建文20 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1‎ ‎(I)求椭圆的方程;‎ ‎(II)若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.‎ 解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 { 解得a=4,c=3,‎ 所以椭圆C的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅱ）设M（x,y）,P(x,),其中由已知得 而，故 ①‎ 由点P在椭圆C上得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 代入①式并化简得 所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段 ‎2007北京文 19 如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．‎ ‎（I）求边所在直线的方程；‎ ‎（II）求矩形外接圆的方程；‎ ‎（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．‎