高考理科数学第一轮复习测试题

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高考理科数学第一轮复习测试题

A级 基础达标演练 ‎ (时间:40分钟 满分:60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.函数f(x)=2sin xcos x是(  ).‎ A.最小正周期为2 π的奇函数 B.最小正周期为2 π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数 解析 f(x)=2sin xcos x=sin 2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数.‎ 答案 C ‎2.函数y=sin图象的对称轴方程可能是(  ).‎ A.x=- B.x=- C.x= D.x= 解析 令2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),令k=0得该函数的一条对称轴为x=.本题也可用代入验证法来解.‎ 答案 D ‎3.(2012·南昌质检)函数f(x)=(1+tan x)cos x的最小正周期为(  ).‎ A.2π B. C.π D. 解析 依题意,得f(x)=cos x+sin x=2sin.故最小正周期为2π.‎ 答案 A ‎4.(★)下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是(  ).‎ A.y=sin B.y=cos C.y=sin D.y=cos 解析 (筛选法)∵函数的周期为π.∴排除C、D,∵函数在上是减函数,∴排除B.‎ 答案 A ‎【点评】 本题采用了筛选法,体现了筛选法的方便、快捷、准确性,在解选择题时应注意应用.‎ ‎5.已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论错误的是(  ).‎ A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)在区间上是增函数 C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称 D.函数f(x)是奇函数 解析 ∵y=sin=-cos x,∴T=2π,在上是增函数,图象关于y轴对称,为偶函数.‎ 答案 D 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎6.若函数f(x)=cos ωxcos(ω>0)的最小正周期为π,则ω的值为________.‎ 解析 f(x)=cos ωxcos ‎=cos ωxsin ωx=sin 2ωx,‎ ‎∴T==π.∴ω=1.‎ 答案 1‎ ‎7.(★)(2011·开封质检)已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)是偶函数,则θ的值为________.‎ 解析 (回顾检验法)据已知可得f(x)=2sin,若函数为偶函数,则必有θ+‎ =kπ+(k∈Z),又由于θ∈,故有θ+=,解得θ=,经代入检验符合题意.‎ 答案  ‎【点评】 本题根据条件直接求出θ的值,应将θ再代入已知函数式检验一下.‎ ‎8.(★)函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.‎ 解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点,把分子展开,得到部分分式,f(x)=1+,f(x)-1为奇函数,则m-1=-(M-1),所以M+m=2.‎ 答案 2‎ ‎【点评】 整体思考,联想奇函数,利用其对称性简化求解,这是整体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特征,借助分式类函数最值的处理方法,部分分式法,变形发现辅助函数为奇函数,整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化,这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解.‎ 三、解答题(共23分)‎ ‎9.(11分)设f(x)=.‎ ‎(1)求f(x)的定义域;‎ ‎(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值.‎ 解 (1)由1-2sin x≥0,根据正弦函数图象知:‎ 定义域为{x|2kπ+π≤x≤2kπ+,k∈Z}.‎ ‎(2)∵-1≤sin x≤1,∴-1≤1-2sin x≤3,∵1-2sin x≥0,‎ ‎∴0≤1-2sin x≤3,∴f(x)的值域为[0,],当x=2kπ+,k∈Z时,f(x)取得最大值.‎ ‎10.(12分)(2011·中山模拟)已知f(x)=sin x+sin.‎ ‎(1)若α∈[0,π],且sin 2α=,求f(α)的值;‎ ‎(2)若x∈[0,π],求f(x)的单调递增区间.‎ 解 (1)由题设知,f(α)=sin α+cos α.‎ ‎∵sin 2α==2sin α·cos α>0,α∈[0,π],‎ ‎∴α∈,sin α+cos α>0.‎ 由(sin α+cos α)2=1+2sin α·cos α=,‎ 得sin α+cos α=,∴f(α)=.‎ ‎(2)f(x)=sin,又0≤x≤π,‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为.‎ B级 综合创新备选 ‎(时间:30分钟 满分:40分)‎ 一、选择题(每小题5分,共10分)‎ ‎1.(★)函数y=sin2x+sin x-1的值域为(  ).‎ A.[-1,1] B. C. D. 解析 (数形结合法)y=sin2x+sin x-1,令sin x=t,则有y=t2+t-1,t∈[-1,1],画出函数图象如图所示,从图象可以看出,当t=-及t=1时,函数取最值,代入y=t2+t-1可得y∈.‎ 答案 C ‎【点评】 本题采用换元法转化为关于新元的二次函数问题,再用数形结合来解决,但换元后注意新元的范围.‎ ‎2.(2011·山东)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=(  ).‎ A. B. C.2 D.3‎ 解析 由题意知f(x)的一条对称轴为x=,和它相邻的一个对称中心为原点,则f(x)的周期T=,从而ω=.‎ 答案 B 二、填空题(每小题4分,共8分)‎ ‎3.(2011·绍兴模拟)关于函数f(x)=4sin(x∈R),有下列命题:‎ ‎①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍;‎ ‎②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos;‎ ‎③y=f(x)的图象关于点对称;‎ ‎④y=f(x)的图象关于直线x=-对称.‎ 其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上).‎ 解析 函数f(x)=4sin的最小正周期T=π,由相邻两个零点的横坐标间的距离是=知①错.‎ 利用诱导公式得f(x)=4cos=‎ ‎4cos=4cos,知②正确.‎ 由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心,将x=-代入得f(x)=4sin eq lc[ c](avs4alco1(2×lc( c)(avs4alco1(-f(π,6)))+f(π,3)))=4sin 0=0,‎ 因此点是f(x)图象的一个对称中心,故命题③正确.曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点,且与y轴平行,而x=-时y=0,点不是最高点也不是最低点,故直线x=-不是图象的对称轴,因此命题④不正确.‎ 答案 ②③‎ ‎4.函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在上单调递增,且在这个区间上的最大值是,那么ω等于________.‎ 解析 因为f(x)=2sin ωx(ω>0)在上单调递增,且在这个区间上的最大值是,所以2sinω=,且0<ω<,因此ω=.‎ 答案  三、解答题(共22分)‎ ‎5.(10分)(2012·南通调研)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.‎ ‎(1)求φ;‎ ‎(2)求函数y=f(x)的单调增区间.‎ 解 (1)令2×+φ=kπ+,k∈Z,‎ ‎∴φ=kπ+,k∈Z,‎ 又-π<φ<0,则-<k<-,k∈Z,‎ ‎∴k=-1,则φ=-.‎ ‎(2)由(1)得:f(x)=sin,‎ 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,‎ 可解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,‎ 因此y=f(x)的单调增区间为,k∈Z.‎ ‎6.(12分)已知a>0,函数f(x)=-2asin+‎2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.‎ ‎(1)求常数a,b的值;‎ ‎(2)设g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.‎ 解 (1)∵x∈,∴2x+∈.‎ ‎∴sin∈,‎ ‎∴-2asin∈[-‎2a,a].‎ ‎∴f(x)∈[b,‎3a+b],‎ 又∵-5≤f(x)≤1,‎ ‎∴b=-5,‎3a+b=1,‎ 因此a=2,b=-5.‎ ‎(2)由(1)得a=2,b=-5,‎ ‎∴f(x)=-4sin-1,‎ g(x)=f=-4sin-1‎ ‎=4sin-1,‎ 又由lg g(x)>0得g(x)>1,‎ ‎∴4sin-1>1,‎ ‎∴sin>,‎ ‎∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,‎ 其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z,‎ ‎∴g(x)的单调增区间为,k∈Z.‎ 又∵当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递减,即kπ+<x<kπ+,k∈Z.‎ ‎∴g(x)的单调减区间为,k∈Z.‎
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