高考一轮数学复习 52平面向量的数量积 理 同步练习名师解析

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高考一轮数学复习 52平面向量的数量积 理 同步练习名师解析

第5章 第2节 知能训练·提升 考点一:向量的数量积运算 ‎1.(2010·崇文检测)设a、b、c是三个向量,以下命题中真命题的序号是________.‎ ‎①若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;‎ ‎②若a·b=0,则a=0或b=0;‎ ‎③若a、b、c互不共线,则(a·b)·c=a·(b·c);‎ ‎④(‎3a+2b)·(‎3a-2b)=9|a|2-4|b|2.‎ 答案:④‎ ‎2.若向量a、b、c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a=________.‎ 解析:解法一:由已知得|c|=|a|+|b|,c=-a-b,故向量a与b同向,而向量c与它们的和反向.‎ 所以有a·b+b·c+c·a=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.‎ 解法二:∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a),‎ ‎∴a·b+b·c+c·a===-13.‎ 答案:-13‎ 考点二:向量的模 ‎3.(2010·台州模拟)已知向量a、b的夹角为120°,|a|=1,|b|=5,则|‎3a-b|等于 ‎(  )‎ A.7            B.6‎ C.5 D.4‎ 解析:∵|3a-b|2=(3a-b)2=9a2+b2-6a·b=9+25-6×1×5×cos120°=49,∴|3a-b|=7.‎ 答案:A ‎4.(2010·大连模拟)已知a=y-x,b=2x-y,|a|=|b|=1,a·b=0,则|x|+|y|等于(  )‎ A.7 B.2 C.5 D.+ 解析:∵a·b=(y-x)·(2x-y)‎ ‎=-|y|2-2|x|2+3x·y=0,‎ 又∵|a|2=(y-x)2=|y|2+|x|2-2x·y=1,‎ ‎|b|2=(2x-y)2=4|x|2-4x·y+|y|2=1,‎ 可得|x|=,|y|=,‎ ‎∴|x|+|y|=+.‎ 答案:D 考点三:向量的夹角 ‎5.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b)·c=,则a与c的夹角 ‎(  )‎ A.30° B.60°‎ C.120° D.150°‎ 答案:C ‎6.已知|a|=4,|b|=3,(‎2a-3b)·(‎2a+b)=61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ;‎ ‎(2)求|a+b|;‎ ‎(3)=a,=b,作三角形ABC,求△ABC的面积.‎ 解:(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61,‎ 得4|a|2-4a·b-3|b|2=61,‎ ‎∵|a|=4,|b|=3,代入求得a·b=-6,‎ ‎∴cosθ===-,‎ 又θ∈[0°,180°],∴θ=120°.‎ ‎(2)可先平方转化为向量的数量积..‎ ‎|a+b|2=(a+b)2=|a|2+‎2a·b+|b|2‎ ‎=42+2×(-6)+32=13,‎ ‎∴|a+b|=.‎ ‎(3)计算a、b夹角的正弦,再用面积公式求值.‎ 由(1)知∠BAC=θ=120°,‎ ‎||=|a|=4,||=|b|=3,‎ ‎∴S△ABC=||·||·sin∠BAC=×3×4×sin120°=3.‎ 考点四:向量的垂直 ‎7.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a、b满足关系|ka+b|=|a-kb|(其中k>0).‎ ‎(1)求证:(a+b)⊥(a-b);‎ ‎(2)求将a与b的数量积表示为关于k的函数f(k);‎ ‎(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时a与b的夹角θ.‎ 解:(1)解法一:由a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),‎ 则a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),‎ a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),‎ 又(a+b)·(a-b)=(cosα+cosβ)·(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)·(sinα-sinβ)=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=1-1=0,‎ ‎∴(a+b)⊥(a-b).‎ 解法二:由a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),‎ 则(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0,‎ ‎∴(a+b)⊥(a-b).‎ ‎(2)a·b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β).‎ 解法一:ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ),‎ a-kb=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ),‎ ‎∴|ka+b|2=(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2‎ ‎=1+k2+2k(cosαcosβ+sinαsinβ)‎ ‎=1+k2+2kcos(α-β),‎ ‎|a-kb|2=(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2‎ ‎=1+k2-2k(cosαcosβ+sinαsinβ)‎ ‎=1+k2-2kcos(α-β),‎ 由|ka+b|=|a-kb|,‎ 得1+k2+2kcos(α-β)=3[1+k2-2kcos(α-β)],‎ ‎∴8kcos(α-β)=2(k2+1),‎ 又k>0,∴cos(α-β)=,‎ 即a·b=(k>0).‎ ‎∴f(k)=(k>0).‎ 解法二:∵|a|==1,‎ ‎|b|==1.‎ 由|ka+b|2=3|a-kb|2,得 k2|a|2+2ka·b+|b|2=3|a|2-6ka·b+3k2|b|2,‎ ‎8ka·b=2(k2+1),‎ 即a·b=(k>0),故f(k)=(k>0).‎ ‎(3)∵k>0,∴a·b==+≥.‎ 当k=1时,等号成立,‎ 所以a·b的最小值为.‎ 此时a·b=|a|·|b|cosθ=,‎ ‎∴cosθ=.‎ 又∵0≤θ≤π,∴θ=.‎ ‎8.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π).‎ ‎(1)求证:a+b与a-b互相垂直;‎ ‎(2)若ka+b与a-kb的模相等,求β-α.(其中k为非零实数)‎ ‎(1)证明:(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2‎ ‎=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0,‎ ‎∴a+b与a-b互相垂直.‎ ‎(2)解:ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ),‎ a-kb=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ),‎ ‎|ka+b|=,‎ ‎|a-kb|=.‎ ‎∵|ka+b|=|a-kb|,‎ ‎∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α).‎ 又k≠0,∴cos(β-α)=0.‎ 而0<α<β<π,∴β-α=.‎ ‎1.(2009·全国卷Ⅰ)设a、b、c是单位向量,且a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值为 ‎(  )‎ A.-2 B.-2‎ C.-1 D.1- 解析:∵a·b=0,(a-c)·(b-c)=a·b-a·c-b·c+c2=1-c·(a+b),‎ 求原式的最小值,即求c·(a+b)的最大值,而当c与a+b共线且同向时,c·(a+b)有最大值.‎ ‎∴(a-c)·(b-c)的最小值为1-.‎ 答案:D ‎2.(2009·全国卷Ⅱ)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=‎ ‎(  )‎ A. B. C.5 D.25‎ 解析:设b=(x,y),‎ 由得 解方程组得或 则|b|==5.故选C.‎ 答案:C ‎3.(2009·陕西)在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于 ‎(  )‎ A.- B.- C. D. 解析:由题知P为△ABC重心,则+=-.‎ 则·(+)=-2=-||2=-,‎ 故选A.‎ 答案:A ‎4.(2009·重庆)已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角是 ‎(  )‎ A. B. C. D. 解析:∵a·(b-a)=2,∴a·b-a2=2.‎ ‎∴1×6cos〈a,b〉-1=2,∴cos〈a,b〉=.‎ 又0≤〈a,b〉≤π,∴〈a,b〉=.‎ 答案:C ‎1.已知向量a=(sinx,1),b=(t,x),若函数f(x)=a·b在区间(0,)上是增函数,则实数t的取值范围是________.‎ 解析:∵f(x)=a·b=tsinx+x,‎ ‎∴f′(x)=tcosx+1,x∈(0,).‎ ‎∵f(x)在(0,)上为增函数,‎ ‎∴t≥-,其中x∈(0,).‎ ‎∴t∈[-1,+∞).‎ 答案:[-1,+∞)‎ ‎2.已知平面上的向量、满足||2+||2=4,||=2,设向量=2+,则||的最小值是________.‎ 解析:∵||2+||2=||2=4,∴⊥.‎ ‎||2=(2+)2=4||2+4·+2‎ ‎=4||2+||2=4+3||2≥4.‎ ‎∴||的最小值为2.‎ 答案:2‎
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