2011-2018高考数学立体几何分类汇编理

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2011-2018 新课标(理科)立体几何分类汇编 一、选填题 【2012 新课标】（7）如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线 画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ B ） 【解析】选 。该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为 ，此几 何体的体积为 【2012 新课标】（11）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的求面上， 是边长为 的正三角形， 为球 的直径，且 ；则此棱锥的体积为（ A ） 【解析】 的外接圆的半径 ，点 到面 的距离 ， 为球 的直径 点 到面 的距离为 此棱锥的体积为 另： 排除 【2013 新课标 1】6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容 器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰 好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( A ) A、500π 3 cm3 B、866π 3 cm312 C、1372π 3 cm3 D、2048π 3 cm3 【解析】设球的半径为 R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4，球心到截面圆的距离为 R-2，则 ，解得 R=5，∴球的体积为 =500π 3 ，故选 A. 【2013 新课标 1】8、某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体 积为( A ) A、16+8π B、8+8π C、16+16π D、8+16π 1 ( )A 6 ( )B 9 ( )C 12 ( )D 18 B 3 1 1 6 3 3 93 2V = × × × × = S ABC− O ABC∆ 1 SC O 2SC = ( )A 2 6 ( )B 3 6 ( )C 2 3 ( )D 2 2 ABC∆ 3 3r = O ABC 2 2 6 3d R r= − = SC O ⇒ S ABC 2 62 3d = 1 1 3 2 6 223 3 4 3 6ABCV S d∆= × = × × = 1 323 6ABCV S R∆< × = , ,B C D 2 2 2( 2) 4R R= − + 34 5 3 π × 3cm 【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4，上边放一个长为 4 宽 为 2 高为 2 长方体，故其体积为 = ，故选 . 【2013 新课标 2】4. 已知 m，n 为异面直线，m⊥平面 α，n⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m，l⊥n，l α，l β，则( D　　)． A．α∥β 且 l∥α B．α⊥β 且 l⊥β C．α 与 β 相交，且交线垂直于 l D．α 与 β 相交，且交线平行于 l 【解析】因为 m⊥α，l⊥m，l α，所以 l∥α.同理可得 l∥β。又因为 m，n 为异面直线，所以 α 与 β 相交，且 l 平行于它们的交线．故选 D. 【2013 新课标 2】7. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O－xyz 中的坐标分别是(1,0,1)， (1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为(　　A )． 【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系 O－xyz 的图像如 图： 【2014 新课标 1】12. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出 的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 （ B 　　） A、6 B、6 C、4 D、4 【解析】几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C 到 BD 的中点的距离为：4， ，AC= =6，AD=4 ，显然 AC 最长。 【2014 新课标 2】6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比 值为(　C 　) A.17 27 B.5 9 C.10 27 D.1 3 【解析】该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为 π×32×2＋ π×22×4＝34π(cm3)，原毛坯的体积为 π×32×6＝54π(cm3)，切削掉部分的体积为 54π－34π＝ 20π(cm3)，故所求的比值为20π 54π ＝10 27 。 21 2 4 4 2 22 π × × + × × 16 8π+ A 【2014 新课标 2】11. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点， BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为(　 C ) A. 1 10 B.2 5 C. 30 10 D. 2 2 【解析】如图，E 为 BC 的中点．由于 M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，故 MN∥B1C1 且 MN＝1 2 B1C1，故 MN 綊 BE，所以四边形 MNEB 为平行四边形，所以 EN 綊 BM， 所以直线 AN，NE 所成的角即为直线 BM，AN 所成的角．设 BC＝1，则 B1M＝1 2B1A1＝ 2 2 ，所以 MB＝ 1＋1 2 ＝ 6 2 ＝NE，AN＝AE＝ 5 2 ，在△ANE 中，根据余弦定理得 cos ∠ANE＝ 30 10 。 【2015 新课标 1】6.《九章算术》是我国古代 内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周 八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如 图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆 底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为 多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆 放斛的米约有（ B ） A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 【2015 新课标 1】(11)圆柱被一个平面截去一部分后 与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中 的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20π，则 r=（ B ） （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 【2015 新课标 2】（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截 去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） （A） （B） （C） （D） 【解析】由三视图得，在正方体 中，截去四面体 ，如图所示，，设正方 体棱长为 ，则 ，故剩余几何体体积为 ，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ． 8 1 7 1 6 1 5 1 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1A A B D− a 1 1 1 3 31 1 1 3 2 6A A B DV a a− = × = 3 3 31 5 6 6a a a− = 5 1 C BA D D1 C1 B1 A1 【2015 新课标 2】（9）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为 该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面 积为（ C ） A．36π B.64π C.144π D.256π 【解析】如图所示，当点 C 位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，设球 的半径为 ，此时 ，故 ，则球 的表面 积为 ，故选 C． 【2016 新课标 1】（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直 的半径.若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（ A ） （A） （B） （C） （D） 【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的 （如右图所示），故 解得 ， 。 【2016 新课标 1】(11)平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A，a//平面 CB1D1， 平面 ABCD=m， 平面 ABA1B1=n，则 m、n 所成角的正弦值为（ A ） (A) (B) (C) (D) 【详细解答】令平面 a 与平面 CB1D1 重合，则 m = B1 D1，n= CD1 故直线 m、n 所成角为 ，正弦值为 【2016 新课标 2】6. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视 图，则该几何体的表面积为( C ) （A）20π （B）24π （C）28π （D）32π 【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为 ，周 长为 ，圆锥母线长为 ，圆柱高为 ．由图得 ， ，由 勾股定理得： 【2016 新课标 2】14. ， 是两个平面，m，n 是两条线，有下列四个命题： ①如果 ， ， ，那么 。②如果 ， ，那么 ． ③如果 , ,那么 。 ④如果 , ,那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相 AOB O ABC− O R 2 31 1 1 363 2 6O ABC C AOBV V R R R− −= = × × = = 6R = O 24 144S Rπ π= = r c l h 2r = 2π 4πc r= = ( )222 2 3 4l = + = 2 1π 2S r ch cl= + +表 4π 16π 8π= + + 28π= 28 3 π 17π 18π 20π 28π 1 8 34 7 28 3 8 3r ππ = 2r = 2 27 14 3 178 4S r rπ π π∴ = ⋅ + ⋅ = a ∩ a ∩ 3 2 2 2 3 3 1 3 60o 3 2 α β m n⊥ m α⊥ n β∥ α β⊥ m α⊥ n α∥ m n⊥ a β∥ m α⊂ m β∥ m n∥ α β∥ α β B O A C 等． 其中正确的命题有 ②③④ .(填写所有正确命题的编号) 【2016 新课标 3】9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的的是某多面体的三视 图，则该多面体的表面积为（ B ） (A)18＋36 5 (B)54＋18 5 (C)90 (D)81 【2016 新课标 3】10. 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球，若 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA13，则 V 的最大值是（ B ） (A)4π (B)9π 2 (C)6π (D)32π 3 【2017 新课标 1】7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由 正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形. 该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ B ） A．10 B．12 C．14 D．16 【2017 新课标 1】16．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的 等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC， CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折 痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为____ ___。 【2017 新课标 2】4. 如图，网格纸上小正方形 的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视 图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何 体的体积为（ B ） A． B． C． D． 【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半。 【2017 新课标 2】10.已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ C ） A． B． C． D． 【解析】 ， ， 分别为 ， ， 中点，则 ， 夹角为 和 夹角或其补 角（异面线所成角为 ） 90π 63π 42π 36π 4 15 2 21 1π 3 10 π 3 6 63π2 2 = − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =V V V总 上 1 1 1C CΑΒ − Α Β C 120∠ΑΒ =  2ΑΒ = 1C CC 1Β = = 1 ΑΒ 1CΒ 3 2 15 5 10 5 3 3 M N P AB 1BB 1 1B C 1AB 1BC MN NP π0 2     ， 可知 ， ，作 中点 ，则可知 为直角三角形． ， ， 中， ， ，则 ，则 中， ， 则 中， 又异面线所成角为 ，则余弦值为 。 【2017新课标3】8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ B ） A． B． C． D． 【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径 ，则圆柱体体积 ，故选B. 【2017新课标3】16． ， 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 的直角边 所在直线与 ， 都垂直，斜边 以直线 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线 与 成 角时， 与 成 角； ②当直线 与 成 角时， 与 成 角； ③直线 与 所成角的最小值为 ； ④直线 与 所成角的最大值为 ．其中正确的是___②③_____（填写所有正确结论的编号） 【解析】由题意知， 三条直线两两相互垂直，画出图形如图． 不妨设图中所示正方体边长为1，故 ， ，斜边 以直线 为旋转轴旋转，则 点保持不变， 点的运动轨迹是以 为圆心，1为半径的圆。以 为坐标原点，以 为 轴 正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向建立空间直角坐标 系． 则 ， ，直线 的方向单位向量 ， ， 点起始坐标为 ， 直线 的方向单位向量 ， ，设 点在运动过程中的 坐标 ， 其中 为 与 的夹角， 。 那么 在运动过程中的向量 ， ． 设 与 所成夹角为 ，则 ． 1 1 5 2 2MN AB= = 1 1 2 2 2NP BC= = BC Q PQM△ 1=PQ 1 2MQ AC= ABC△ 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC= + − ⋅ ⋅ ∠ = 4 +1− 2× 2×1⋅ − 1 2     = 7 7=AC 7 2MQ = MQP△ 2 2 11 2MP MQ PQ= + = PMN△ 2 2 2 cos 2 MN NP PMPNM MH NP + −∠ = ⋅ ⋅ 2 2 2 5 2 11 2 2 2 10 55 22 2 2      + −               = = − ⋅ ⋅ π0 2     ， 10 5 π 3π 4 π ２ π 4 2 2 1 31 2 2r  = − =   2 3ππ 4V r h= = a b ABC AC a b AB AC AB a 60° AB b 30° AB a 60° AB b 60° AB a 45° AB a 60° a b AC、 、 | | 1AC = 2AB = AB AC A B C C x y z (1,0,0)D (0,0,1)A a B (0,1,0) b B (cos ,sin ,0)B θ θ′ θ B C′ CD [0,2π)θ ∈ 'AB π[0, ]2 α ∈ 故 ，所以③正确，④错误．设 与 所成夹角为 ， . 当 与 夹角为 时，即 ， ． ∵ ，∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ，此时 与 夹角为 ，∴②正确，①错误． 【2018 新课标 1】7．某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如 右图所示，圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上 的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的 路径中，最短路径的长度为（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【2018 新课标 1】12．已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【2018 新课标 2】9．在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【2018 新课标 2】16．已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底 面所成角为 45°，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【2018 新课标 3】3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件 的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是 棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体， 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ） 【答案】A 【2018 新课标 3】10．设 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， 为等边三角 形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（ ） π π[ , ]4 2 α ∈ π[0, ]2 β ∈ 60° π 3 α = 1 2sin 2 cos 2 cos 23 2 2 πθ α= = = = 2 2cos sin 1θ θ+ = 2| cos | 2 θ = 2 1cos | cos |2 2 β θ= = π[0, ]2 β ∈ π= 3 β AB′ b 60° M A N B M N 2 17 2 5 3 α α 3 3 4 2 3 3 3 2 4 3 2 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB BC= = 1 3AA = 1AD 1DB 1 5 5 6 5 5 2 2 S SA SB 7 8 SA SAB△ 5 15 40 2π A B C D， ， ， ABC∆ 9 3 D ABC− A． B． C． D． 【答案】B 二、解答题 【2011 新课标】 如图，四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。 【答案】 （Ⅰ）因为 , 由余弦定理得 ，从而 BD2+AD2= AB2，故 BD AD 又 PD 底面 ABCD，可得 BD PD 所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD （Ⅱ）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为 轴的正半轴建立空间直角坐标 系 D- ，则 , , , 。 设平面 PAB 的法向量为 n=（x,y,z），则 即 因此可取 n= 设平面 PBC 的法向量为 m，则 可取 m= （0，-1， ） 故二面角 A-PB-C 的余弦值为 【2012 新课标】19. 如图，直三棱柱 中， ， 是棱 的中点， （1）证明： （2）求二面角 的大小。 【答案】（1）在 中， 得： 同理： 得： 面 （2） 面 取 的中点 ，过点 作 于点 ，连接 ，面 面 面 得：点 与点 重合 且 是二面角 的平面角 12 3 18 3 24 3 54 3 60 , 2DAB AB AD∠ = ° = 3BD AD= ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ x xyz ( )1,0,0A ( )0 3,0B ， ( )1, 3,0C − ( )0,0,1P 3 0 3 0 x y y z − + = − = ( 3,1, 3) 0 0 m PB m BC ⋅ = ⋅ =   3− 4 2 7cos , 72 7 m n −= = − 2 7 7 − 1 1 1ABC A B C− 1 1 2AC BC AA= = D 1AA BDDC ⊥1 BCDC ⊥1 11 CBDA −− Rt DAC∆ AD AC= 45ADC °∠ = 1 1 145 90A DC CDC° °∠ = ⇒ ∠ = 1 1 1,DC DC DC BD DC⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 1BCD DC BC⇒ ⊥ 1 1,DC BC CC BC BC⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 1 1ACC A BC AC⇒ ⊥ 1 1A B O O OH BD⊥ H 1 1,C O C H 1 1 1 1 1 1 1AC B C C O A B= ⇒ ⊥ 1 1 1A B C ⊥ 1A BD 1C O⇒ ⊥ 1A BD 1OH BD C H BD⊥ ⇒ ⊥ H D 1C DO∠ 11 CBDA −− 设 ，则 ， 既二面角 的大小为 【2013 新课标 1】18、（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=A A1， ∠BAA1=60°. （Ⅰ）证明 AB⊥A1C; （Ⅱ）若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直 线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。 【答案】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE， ， ，∵AB= ， = ，∴ 是正 三角形，∴ ⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵ =E，∴AB⊥面 ， ∴ AB⊥ ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 EC⊥AB， ⊥AB， 又∵面 ABC⊥面 ，面 ABC∩面 =AB，∴EC⊥面 ，∴EC⊥ ，∴EA， EC， 两两相互垂直，以 E 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，| |为单位长度，建立 如图所示空间直角坐标系 ，由题设知 A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(－1,0,0),则 = （1,0， ）, = =(－1,0, ), =(0,－ , ), 设 = 是平面 的法向 量， 则 ，即 ， 可取 =（ ，1，-1）， ∴ = ， ∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 . 【2013 新课标 2】18．如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别是 AB， BB1 的中点，AA1＝AC＝CB＝ . (1)证明：BC1∥平面 A1CD； (2)求二面角 D－A1C－E 的正弦值． 【答案】 (1)连结 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 中点．又 D 是 AB 中点，连 结 DF，则 BC1∥DF. 因为 DF⊂平面 A1CD，BC1 平面 A1CD， 所以 BC1∥平面 A1CD. AC a= 1 2 2 aC O = 1 1 12 2 30C D a C O C DO °= = ⇒ ∠ = 11 CBDA −− 30° 1A B 1A E 1AA 1BAA∠ 060 1BAA∆ 1A E 1CE A E∩ 1CEA 1AC 1EA 1 1ABB A 1 1ABB A 1 1ABB A 1EA 1EA x O xyz− 1A 3 3 3 3 3 3 n ( , , )x y z 1 1CBB C 3 0 3 0 x z x y  + = + = n 3 10 5 10 5 2 2 AB (2)由 AC＝CB＝ 得，AC⊥BC. 以 C 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C－xyz. 设 CA＝2，则 D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)， ＝(1,1,0)， ＝(0,2,1)， ＝(2,0,2)． 设 n＝(x1，y1，z1)是平面 A1CD 的法向量， 则 即 可取 n＝(1，－1，－1)． 同理，设 m 是平面 A1CE 的法向量，则 可取 m＝(2,1，－2)． 从而 cos〈n，m〉＝ ，故 sin〈n，m〉＝ .即二面角 D－A1C－E 的正弦值为 . 【2014 新课标 1】19．如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中， 侧面 BB1C1C 为菱形，AB⊥B1C． （Ⅰ ）证明：AC=AB1； （Ⅱ ）若 AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值． 【答案】 （1）连结 BC1，交 B1C 于点 O，连结 AO，∵侧面 BB1C1C 为菱形， ∴BC1⊥B1C，且 O 为 BC1 和 B1C 的中点，又 ∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面 ABO， ∵AO⊂平面 ABO，∴B1C⊥AO， 又 B1O=CO， ∴AC=AB1， （2） ∵AC⊥AB1，且 O 为 B1C 的中点，∴AO=CO， 又 ∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB， ∴OA，OB，OB1 两两垂直， 以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向，| |为单位长度， 的方向为 y 轴的正方向， 的方向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系， ∵∠CBB1=60°，∴△CBB1 为正三角形，又 AB=BC， ∴A（0，0， ），B（1，0，0，），B1（0， ，0），C（0， ，0） ∴ =（0， ， ）， = =（1，0， ）， = =（﹣1， ，0）， 设向量 =（x，y，z）是平面 AA1B1 的法向量， 2 2 AB 1 1 1 1 0, 2 2 0. x y x z + =  + = 3 | || | 3 =·n m n m 6 3 6 3 则 ，可取 =（1， ， ）， 同理可得平面 A1B1C1 的一个法向量 =（1，﹣ ， ）， ∴cos＜ ， ＞= = ， ∴二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值为 【2014 新课标 2】18.如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB∥平面 AEC； （Ⅱ）设二面角 D-AE-C 为 60°，AP=1，AD= ，求 三棱锥 E-ACD 的体积. 【答案】 （1）连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点 又 E 为的 PD 的中点，所以 EO∥PB EO 平面 AEC,PB 平面 AEC，所以 PB∥平面 AEC （2）因为 PA 平面 ABCD，ABCD 为矩形，所以 AB,AD,AP 两两垂直 如图，以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向， 为单位长，建立空间直角坐标系， 则 A—xyz,则 D(0, ,0),则 E(0, , ), =(0, , ) 设 B(m,0,0)(m＞0)，则 C（m, ，0）设 n(x,y,z)为平面 ACE 的法向量，则{ 即{ 可取 =（ ,-1, ）又 =（1,0,0）为平面 DAE 的法向量， 由题设 = ，即 = ，解得 m= 因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥 E-ACD 的 高为 ，三棱锥 E-ACD 的体积为 V= = 3 ⊂ ⊄ ⊥ 3 3 2 1 2 3 2 1 2 3 0 1 02 3 2 3mx y y z + = + = 1n 3 m 3 1n 1 2cos( , )n n 1 2 2 3 3 4m+ 1 2 3 2 1 2 1 3 × 1 2 × 3 × 3 2 × 1 2 3 8 【2015 新课标 1】（18）如图，四边形 ABCD 为菱形， ∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE⊥平面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）证明：平面 AEC⊥平面 AFC （2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 【2015 新课标 2】如图，长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E = D1F = 4，过点 E，F 的平面 α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 D D1 C1 A1 E F A B C B1 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线 AF 与平面 α 所成的角的正弦值。 【答案】 【2016 新课标 1】18. 如图，在已 A，B，C，D，E，F 为顶 点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD， ， 且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 ． （I）证明平面 ABEF EFDC； （II）求二面角 E-BC-A 的余弦值． 【答案】（I） ， ， 又 ,所以平面 ABEF EFDC； （II）以 E 为坐标原点，EF，EB 分别为 x 轴和 y 轴建立空间直角坐标系（如图），设 ， 则 ，因为二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 ，即 ， 易得 , , ， , 设平面 与平面 的法向量分别为 和 ，则 90AFD∠ =  60 ⊥ ,AF FE AF FD⊥ ⊥ AF FECD⊥ 面 AF ABFE⊆ 面 ⊥ 2AF = 1FD = 60 60oEFD FEC∠ = ∠ = (0,2,0)B (2,2,0)A 1 3( ,0, )2 2C EBC ABCD 令 ，则 ， 由 ， 令 ，则 ， ，二面角 E-BC-A 余弦值 . 【2016 新课标 2】19. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O， ， ，点 E， F 分别在 AD，CD 上， ，EF 交 BD 于点 H.将△ DEF 沿 EF 折到△ 的位置 . （I）证明： 平面 ABCD； （II）求二面角 的正弦值. 【答案】 ⑴证明：∵ ，∴ ，∴ ． ∵四边形 为菱形，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ．∵ ，∴ ； 又 ， ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ．又∵ ， ∴ 面 ． ⑵建立如图坐标系 ． ， ， ， ， , , 设面 法向量 ， 由 得 ，取 ∴ ．同理可得面 的法向量 , ， ∴ 5 4AE CF= = AE CF AD CD = EF AC∥ ABCD AC BD⊥ EF BD⊥ EF DH⊥ EF D H′⊥ 6AC = 3AO = 5AB = AO OB⊥ 4OB = 1AEOH ODAO = ⋅ = 3DH D H′= = 2 2 2'OD OH D H′ = + 'D H OH⊥ OH EF H= 'D H ⊥ ABCD H xyz− ( )5 0 0B ， ， ( )1 3 0C ， ， ( )' 0 0 3D ， ， ( )1 3 0A −， ， 'ABD 4 3 0 3 3 0 x y x y z + = − + + = 3 4 5 x y z =  = −  = 'AD C 2 95sin 25 θ = 1 1x = 1 1 30, 3y z= = − 2 2z = 2 2 30, 2x y= = 2 19 19 − 5AB = 6AC = 5 4AE CF= = D EF′ 10OD′ = D H′ ⊥ B D A C′− − 【2016 新课标 3】(19)如图，四棱锥 P－ ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD∥BC，AB ＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4， M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点。 （1）证明：MN∥平面 PAB （2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值. 【答案】 【2017 新课标 1】18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 . （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC， ，求二面角 A-PB-C 的余弦值. 【答案】 （1）由已知 ，得 AB⊥AP，CD⊥PD. 由于 AB∥CD，故 AB⊥PD，从而 AB⊥平面 PAD. 又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAD. （2）在平面 内做 ，垂足为 ，由（1）可知， 平面 ，故 ，可得 平面 . 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系 。由（1）及已知可得 ， ， ， ， 所以 ， ， ， 设 是平面 的法向量，则 ，即 ，可取 . 设 是平面 的法向量，则 ，即 ，可取 ，则 ， 90BAP CDP∠ = ∠ =  90APD∠ =  90BAP CDP∠ = ∠ = ° ⊂ PAD PF AD⊥ F AB ⊥ PAD AB PF⊥ PF ⊥ ABCD F x F xyz− 2( ,0,0)2A 2(0,0, )2P 2( ,1,0)2B 2( ,1,0)2C − ( , , )x y z=n PCB 2 2 02 2 2 0 x y z x − + − =  = (0, 1, 2)= − −n ( , , )x y z=m PAB 2 2 02 2 0 x z y  − =  = (1,0,1)=n 3cos , | || | 3 ⋅= = −< > n mn m n m N M D B C A P z y x N M D C A P 所以二面角 的余弦值为 。 【2017 新课标 2】19. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD， E 是 PD 的中点. （1）证明：直线 平面 PAB （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 ，求二面角 M-AB-D 的余弦值 【答案】 （1）令 中点为 ，连结 ， ， ． ∵ ， 为 ， 中点，∴ 为 的中位线，∴ ．又∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ， ∴ ．∴四边形 为平行四边形，∴ ，又∵ ，∴ （2）以 中点 为原点，如图建立空间直角坐标系．设 ， 则 ， ， ， ， ，， ． 在底面 上的投影为 ，∴ ．∵ ，∴ 为等腰直角三角 形． ∵ 为直角三角形， ，∴ ． 设 ， ， ．∴ ． ． ∴ ．∴ ， ， ．设平面 的法向量 ． ，∴ ， ， ． 设平面 的法向量为 ， ，∴ ． ∴二面角 的余弦值为 ． A PB C− − 3 3 − o1 , 90 ,2AB BC AD BAD ABC= = ∠ = ∠ = / /CE o45 PA F EF BF CE E F PD PA EF PAD△ 1 2EF AD∥ 90BAD ABC∠ = ∠ = ° BC AD∥ 1 2AB BC AD= = 1 2BC AD∥ EF BC∥ BCEF CE BF∥ BF PAB⊂ 面 CE PAB面∥ AD O 1AB BC= = (0 0 0)O ， ， (0 1 0)A −， ， (1 1 0)B −， ， (1 0 0)C ， ， (0 1 0)D ， ， (0 0 3)P ， ， M ABCD M ′ MM BM′ ′⊥ 45MBM ′∠ = ° MBM ′△ POC△ 3 3OC OP= 60PCO∠ = ° MM a′ = 3 3CM a′ = 31 3OM a′ = − 31 0 03M a  ′ −    ， ， 2 2 2 23 1 61 0 13 3 2BM a a a a  ′ = + + = + = ⇒ =    3 21 13 2OM a′ = − = − 21 0 02M  ′ −    ， ， 2 61 02 2M  −    ， ， ABM 1 1 6 02y z+ = ABD M AB D− − 10 5 z y x M' M O F P A B C D E 【2017新课标3】19. 如图，四面体 中， 是正三角形， 是直角三角 形． ， ． （1）证明：平面 平面 ； （2）过 的平面交 于点 ，若平面 把四面体 分成体积相等的两部分．求二面角 的余弦 值． 【解析】⑴取 中点为 ，连接 ， ； 为等边三角形 ∴ ∴ . ∴ ,即 为等腰直角三角形， 为直角又 为底边 中点 ∴ 令 ，则 ，易得： ， ∴ ，由勾股定理的逆定理可得 ， 即 又∵ ， 由面面垂直的判定定理可得 ⑵由题意可知 ，即 , 到平面 的距离相等，即 为 中点，以 为原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向，设 ，建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 易得： ， ， 设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ， 则 ，解得 ，解得 若二面角 为 ，易知 为锐角，则 ABCD △ABC △ACD AB BD= ABC AC BD E AEC ABCD D AE C- - AC O BO DO ∵ ∆ABC BO AC⊥ AB BC= AB BC BD BD ABD DBC =  = ∠ = ∠ ABD CBD∴∆ ≅ ∆ AD CD= ACD∆ ADC∠ O AC DO AC⊥ AB a= AB AC BC BD a= = = = 2 2OD a= 3 2OB a= 2 2 2OD OB BD+ = 2DOB π∠ = OD OB⊥ OD ⊥ AC OD ⊥ OB AC ∩OB = O AC ⊂ ABC OB ⊂ ABC         OD ABC∴ ⊥ 平面 OD ADC⊂ 平面 ADC ABC⊥平面 平面 V VD ACE B ACE− −= B D ACE E BD O x y z AC a= ( )0,0,0O ,0,02 aA     0,0, 2 aD     30, ,02B a       30, ,4 4 aE a       AED AEC D AE C− − θ θ D A B C E O D A B C E y x O z 【2018 新课标 1】18. 如图，四边形 为正方形， ， 分别为 ， 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）求 与平面 所成角的正弦值． 【解析】 （1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以 BF⊥平面 PEF． 又 平面 ABFD，所以平面 PEF⊥平面 ABFD． （2）作 PH⊥EF，垂足为 H．由（1）得，PH⊥平面 ABFD． 以 H 为坐标原点， 的方向为 y 轴正方向， 为单位 长，建立如图所示的空间直角坐标系 H−xyz． 由（1）可得，DE⊥PE．又 DP=2，DE=1，所以 PE= ． 又 PF=1，EF=2，故 PE⊥PF．可得 ． 则 为平面 ABFD 的法向 量． 设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ，则 ． 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 ． 【2018 新课标 2】20. 如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值． 【解析】 （1）因为 ， 为 的中点，所以 ，且 . 连结 ，因为 ，所以 为等腰直角三角形， 且 ， . 由 知 .由 知 平面 . （2）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立 ABCD E F AD BC DF DFC△ C P PF BF⊥ PEF ⊥ ABFD DP ABFD BF ⊂ 3 3 3,2 2PH EH= = θ 3 4 P ABC− 2 2AB BC= = 4PA PB PC AC= = = = O AC PO ⊥ ABC M BC M PA C− − 30° PC PAM 4AP CP AC= = = O AC OP AC⊥ 2 3OP = OB 2 2AB BC AC= = ABC△ OB AC⊥ 1 22OB AC= = 2 2 2OP OB PB+ = PO OB⊥ ,OP OB OP AC⊥ ⊥ PO ⊥ ABC O x P A O C B M 空间直角坐标系 . 由已知得： 取平面 的法向量 . 设 ，则 . 设平面 的法向量为 . 由 得 ，可取 ， 所以 .由已知得 . 所以 .解得 （舍去）， . 所以 .又 ，所以 . 所以 与平面 所成角的正弦值为 . 【2018 新课标 3】19. 如图，边长为 2 的正方形 所在平面与 半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点． （1）证明：平面 平面 ； （2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二 面角的正弦值． 【解析】 （1）由题设知，平面 CMD⊥平面 ABCD，交线为 CD．因为 BC⊥CD，BC 平面 ABCD，所以 BC⊥平面 CMD，故 BC⊥DM． 因为 M 为 上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DM⊥CM． 又 BC CM=C，所以 DM⊥平面 BMC． 而 DM 平面 AMD，故平面 AMD⊥平面 BMC． （2）以 D 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D−xyz． 当三棱锥 M−ABC 体积最大时，M 为 的中点． 由题设得： ， 设 是平面 MAB 的法向量，则 即 可取 ． ⊂ CD  ⊂ CD (0,0,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,2,0), (0,1,1)D A B C M ( , , )x y z=n 2 0, 2 0. x y z y − + + =  = (1,0,2)=n O xyz− O(0,0,0),B(2,0,0), A(0,−2,0),C(0,2,0),P(0,0,2 3) PAC ( ,2 ,0)(0 2)M a a a− < ≤ PAM ( , , )x y z=n 2 2 3 0 (4 ) 0 y z ax a y  + = + − = ( 3( 4), 3 , )a a a= − −n 2 2 2 2 3 | 4| 3= 22 3( 4) 3 a a a a − − + + 4a = − 4 3a = 8 3 4 3 4( , , )3 3 3 = − −n PC PAM 3 4 ABCD CD M CD C D AMD⊥ BMC M ABC− MAB MCD 是平面 MCD 的法向量，因此 ， ， 所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 2 5 5