湖北省高考数学试卷理科答案与解析资料

湖北省高考数学试卷理科答案与解析资料

‎2015年湖北省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ i B．‎ ‎﹣i C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎﹣1‎ ‎2．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎134石 B．‎ ‎169石 C．‎ ‎338石 D．‎ ‎1365石 ‎3．（5分）（2015•湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎212‎ B．‎ ‎211‎ C．‎ ‎210‎ D．‎ ‎29‎ ‎4．（5分）（2015•湖北）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）‎ B．‎ P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）‎ ‎　‎ C．‎ 对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）‎ D．‎ 对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）‎ ‎5．（5分）（2015•湖北）设a1，a2，…，an∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ p是q的充分条件，但不是q的必要条件 ‎　‎ B．‎ p是q的必要条件，但不是q的充分条件 ‎　‎ C．‎ p是q的充分必要条件 ‎　‎ D．‎ p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（　　）‎ ‎　‎ A sgn[g（x）]=sgnx B sgn[g（x）]=﹣sgnx C sgn[g（x）]=sgn[f（x）]‎ D sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]‎ ‎7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ P1＜P2＜P3‎ B．‎ P2＜P3＜P1‎ C．‎ P3＜P1＜P2‎ D．‎ P3＜P2＜P1‎ ‎8．（5分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 对任意的a，b，e1＞e2‎ ‎　‎ B．‎ 当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2‎ ‎　‎ C．‎ 对任意的a，b，e1＜e2‎ ‎　‎ D．‎ 当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2‎ ‎9．（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎77‎ B．‎ ‎49‎ C．‎ ‎45‎ D．‎ ‎30‎ ‎10．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎6‎ 二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎11．（5分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=　　．‎ ‎12．（5分）（2015•湖北）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为　　．‎ ‎13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=　　m．‎ ‎14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．‎ ‎（1）圆C的标准方程为　；‎ ‎（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：‎ ‎①=； ②﹣=2； ③+=2．‎ 其中正确结论的序号是　　．（写出所有正确结论的序号）‎ 选修4-1：几何证明选讲 ‎15．（5分）（2015•湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=　　．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎16．（2015•湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=　　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x Asin（ωx+φ）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ ‎（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式 ‎（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．‎ ‎（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；‎ ‎（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．‎ ‎20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．‎ ‎（1）求Z的分布列和均值；‎ ‎（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2015•湖北）已知数列{an}的各项均为正数，bn=n（1+）nan（n∈N+），e为自然对数的底数．‎ ‎（1）求函数f（x）=1+x﹣ex的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；‎ ‎（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；‎ ‎（3）令cn=（a1a2…an），数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn．‎ ‎　答案：‎ ‎1、‎ 解：i607=i604+3=i3=﹣i，‎ 它的共轭复数为：i．‎ 故选：A．‎ ‎2、‎ 解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，‎ 故选：B．‎ ‎3、‎ 解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，‎ 可得，可得n=3+7=10．‎ ‎（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29．‎ 故选：D．‎ ‎4、‎ 解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）．‎ 故选：C．‎ ‎5、‎ 解：由a1，a2，…，an∈R，n≥3．‎ 运用柯西不等式，可得：‎ ‎（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，‎ 若a1，a2，…，an成等比数列，即有==…=，‎ 则（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，‎ 即由p推得q，‎ 但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=an=0，则a1，a2，…，an不成等比数列．‎ 故p是q的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎6、‎ 解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），‎ 不妨令f（x）=x，a=2，‎ 则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，‎ sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，‎ sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；‎ 对于D，令f（x）=x+1，a=2，‎ 则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x﹣1，‎ sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；‎ sgn[g（x）]=sgn（﹣x﹣1）=，‎ ‎﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；‎ 故选：B．‎ ‎7、‎ 解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：‎ P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），‎ 则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，‎ S2=1×1﹣2×=1﹣=，‎ S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，‎ ‎∴S2＜S3＜S1，‎ 即P2＜P3＜P1，‎ 故选：B．‎ ‎8、‎ 解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；‎ 双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，‎ ‎∴=﹣=，‎ ‎∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，‎ 故选：D．‎ ‎9、‎ 解：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），‎ B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}‎ ‎∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，‎ ‎∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），‎ ‎（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素 故选：C．‎ ‎10、‎ 解：∵[t]=1，∴t∈[1，2），‎ 又∵[t2]=2，∴t2∈[2，3），‎ ‎∴t∈[，），‎ 又t2∈[2，3），∴t4∈[4，9），‎ ‎∴[t4]=4，‎ ‎∴正整数n的最大值4‎ 故选：B．‎ ‎11、‎ 解：由⊥，得•=0，即•（）=0，‎ ‎∵||=3，‎ ‎∴．‎ 故答案为：9．‎ ‎12、‎ 解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．‎ f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|‎ ‎=2sinx﹣|ln（x+1）|‎ ‎=sin2x﹣|ln（x+1）|，‎ 分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，‎ 由函数的图象可知，交点个数为2．‎ 所以函数的零点有2个．‎ 故答案为：2．‎ ‎13、‎ 解：设此山高h（m），则BC=h，‎ 在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．‎ 根据正弦定理得=，‎ 解得h=100（m）‎ 故答案为：100．‎ ‎14、‎ 解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），‎ ‎∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，‎ ‎∵|AB|=2，∴|BE|=1，‎ 则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，‎ ‎∴圆心C（1，），‎ 则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，‎ 故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2．‎ ‎（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），‎ 又∵|AB|=2，且E为AB中点，‎ ‎∴A（0，﹣1），B（0，+1），‎ ‎∵M、N在圆O：x2+y2=1上，‎ ‎∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），‎ ‎∴|NA|=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎|NB|=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎∴===，‎ 同理可得=，‎ ‎∴=，①成立，‎ ‎﹣=﹣（）=2，②正确．‎ ‎+=+（）=，③正确．‎ 故答案为：①②③．‎ ‎15、‎ 解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，‎ 可得PA=2PB，‎ 在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），‎ 可得△PAB∽△PAC，‎ ‎∴==．‎ 故答案为：．‎ ‎16、‎ 解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，‎ 由C的参数方程为（ t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4．‎ 联立，得，即．‎ ‎∴A（），B（），‎ ‎∴|AB|=．‎ 故答案为：．‎ ‎17、‎ 解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x Asin（ωx+φ）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ 且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．‎ ‎（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．‎ 因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．‎ 令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．‎ 由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，‎ 解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．‎ ‎18、‎ 解：（1）设a1=a，由题意可得，‎ 解得，或，‎ 当时，an=2n﹣1，bn=2n﹣1；‎ 当时，an=（2n+79），bn=9•；‎ ‎（2）当d＞1时，由（1）知an=2n﹣1，bn=2n﹣1，‎ ‎∴cn==，‎ ‎∴Tn=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，‎ ‎∴Tn=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，‎ ‎∴Tn=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，‎ ‎∴Tn=6﹣．‎ ‎19、‎ 解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，‎ 由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，‎ 所以BC⊥平面ABCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．‎ 又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．‎ 而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．‎ 又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．‎ 由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，‎ 即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．‎ ‎（2）如图1，‎ 在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．‎ 由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．‎ 又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．‎ 所以DG⊥DF，DG⊥DB 故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，‎ 设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，‎ 在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DGF=∠FDB=，‎ 则 tan=tan∠DPF===，解得．‎ 所以==‎ 故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．‎ ‎（解法2）‎ ‎（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，‎ 则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），‎ 于是=0，即PB⊥DE．‎ 又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．‎ 因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．‎ 由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，‎ 即四面体BDEF是一个矩形，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．‎ ‎（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；‎ 由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．‎ 若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，‎ 则运用向量的数量积求解得出cos==，‎ 解得．所以所以==‎ 故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．‎ ‎20、‎ ‎（12分）‎ 解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有 ‎，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．‎ 当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．‎ 将z=1000x+1200y变形为，‎ 当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，‎ 最大获利Z=Zmax=2.4×1000+4.8×1200=8160．‎ 当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．‎ 将z=1000x+1200y变形为，‎ 当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，‎ 最大获利Z=Zmax=3×1000+6×1200=10200．‎ 当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．‎ 将z=1000x+1200y变形为：，‎ 当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Zmax=6×1000+4×1200=10800．‎ 故最大获利Z的分布列为：‎ Z ‎8160‎ ‎10200‎ ‎10800‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708‎ ‎（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，‎ 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：‎ ‎21、‎ 解：（1）∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，‎ 同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．‎ ‎∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，‎ 其方程为．‎ ‎（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=，‎ ‎②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），‎ 由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，‎ ‎∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，‎ ‎∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，‎ 由，可得P（，），同理得Q（，），‎ 原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|xP﹣xQ|，‎ 可得S△OPQ=|PQ|d=|m||xP﹣xQ|=|m|||=||②，‎ 将①代入②得S△OPQ=||=8||，‎ 当k2＞时，S△OPQ=8（）=8（1+）＞8，‎ 当0≤k2＜时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），‎ ‎∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，‎ ‎∴S△OPQ=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，‎ ‎∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，‎ 综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．‎ ‎22、‎ ‎（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣ex．‎ 当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；‎ 当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减．‎ 故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．‎ 当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜ex．‎ 令，得，即．①‎ ‎（2）解：；=；‎ ‎．‎ 由此推测：=（n+1）n．②‎ 下面用数学归纳法证明②．‎ ‎（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．‎ ‎（2）假设当n=k时，②成立，即．‎ 当n=k+1时，，由归纳假设可得 ‎=．‎ ‎∴当n=k+1时，②也成立．‎ 根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．‎ ‎（3）证明：由cn的定义，②，算术﹣几何平均不等式，bn的定义及①得 Tn=c1+c2+…+cn=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎＜ea1+ea2+…+ean=eSn．‎ 即Tn＜eSn．‎