高考数学考纲解读与热点难点突破专题数列的综合问题教学案理含解析

高考数学考纲解读与热点难点突破专题数列的综合问题教学案理含解析

数列的综合问题 ‎【2019年高考考纲解读】‎ ‎1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.‎ ‎2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.‎ ‎3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．‎ ‎【重点、难点剖析】‎ 一、利用Sn，an的关系式求an ‎1．数列{an}中，an与Sn的关系 an＝ ‎2．求数列通项的常用方法 ‎(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．‎ ‎(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.‎ ‎(3)在已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.‎ ‎(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)． ‎ 二、数列与函数、不等式的综合问题 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．‎ 三、数列的实际应用 用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．‎ ‎【高考题型示例】‎ 题型一、 利用Sn，an的关系式求an 例1、已知等差数列{an}中，a2＝2，a3＋a5＝8，数列{bn}中，b1＝2，其前n项和Sn满足：bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)∵a2＝2，a3＋a5＝8， ‎ ‎∴2＋d＋2＋3d＝8，∴d＝1，∴an＝n(n∈N*)．‎ ‎∵bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)，①‎ ‎∴bn＝Sn－1＋2(n∈N*，n≥2)．②‎ 由①－②，得bn＋1－bn＝Sn－Sn－1＝bn(n∈N*，n≥2)，‎ ‎∴bn＋1＝2bn(n∈N*，n≥2)．‎ ‎∵b1＝2，b2＝2b1，‎ ‎∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎∴bn＝2n(n∈N*)．‎ ‎【感悟提升】给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.‎ ‎【变式探究】已知数列{an}的前n项和Sn满足：a1an＝S1＋Sn.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若an>0，数列的前n项和为Tn，试问当n为何值时，Tn最小？并求出最小值．‎ 解　(1)由已知a1an＝S1＋Sn，①‎ 可得当n＝1时，a＝a1＋a1，解得a1＝0或a1＝2，‎ 当n≥2时，由已知可得a1an－1＝S1＋Sn－1，②‎ ‎①－②得a1＝an.‎ 若a1＝0，则an＝0，此时数列{an}的通项公式为an＝0.‎ 若a1＝2，则2＝an，化简得an＝2an－1，‎ 即此时数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ 故an＝2n(n∈N*)．‎ 综上所述，数列{an}的通项公式为an＝0或an＝2n.‎ ‎(2)因为an>0，故an＝2n.‎ 设bn＝log2 ，则bn＝n－5，显然{bn}是等差数列，‎ 由n－5≥0，解得n≥5，所以当n＝4或n＝5时，Tn最小，‎ 最小值为T4＝T5＝＝－10.‎ 题型二　数列与函数、不等式的综合问题 例2、已知函数f(x)＝ln(1＋x)－.‎ ‎(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；‎ ‎(2)设数列{an}的通项an＝1＋＋＋…＋，证明：a2n－an＋>ln 2. ‎ ‎③若λ≥，‎ 则当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，‎ 当x≥0时，f(x)≤f(0)＝0，符合题意．‎ 综上，λ≥.‎ ‎∴实数λ的最小值为.‎ ‎(2)证明　由于a2n－an＋＝＋＋＋…＋＋＋，‎ 若λ＝，由(1)知，f(x)＝ln(1＋x)－，‎ 且当x>0时，f(x)<0，‎ 即>ln(1＋x)，‎ 令x＝，则>ln ，‎ ‎∴＋>ln ，‎ ＋>ln ，‎ ＋>ln ，‎ ‎…，‎ ＋>ln .‎ 以上各式两边分别相加可得 ＋＋＋＋＋＋…＋＋ ‎>ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln ，‎ 即＋＋＋…＋＋＋ ‎>ln ···…·＝ln ＝ln 2，‎ ‎∴a2n－an＋>ln 2.‎ ‎【感悟提升】解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点 ‎(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视． ‎ ‎(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件．‎ ‎(3)不等关系证明中进行适当的放缩．‎ ‎【变式探究】已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，满足S4＝2a4－1，S3＝2a3－1.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝log2(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：＋＋…＋<2.‎ ‎(1)解　设{an}的公比为q，‎ 由S4－S3＝a4，S4＝2a4－1得，‎ ‎2a4－2a3＝a4，‎ 所以＝2，所以q＝2.又因为S3＝2a3－1，‎ 所以a1＋2a1＋4a1＝8a1－1，所以a1＝1，‎ 所以an＝2n－1(n∈N*)．‎ ‎(2)证明　由(1)知bn＝log2(an＋1·an)‎ ‎＝log2(2n×2n－1)＝2n－1，‎ 所以Tn＝n＝n2，‎ 所以＋＋…＋＝＋＋…＋<1＋＋＋…＋ ‎＝1＋1－＋－＋…＋－ ‎＝2－<2.‎ 题型三　数列的实际应用 例3、科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放总量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(m>0)．‎ ‎(1)求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；‎ ‎(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．‎ 解　设2018年的碳排放总量为a1,2019年的碳排放总量为a2，…，‎ ‎(1)由已知，a1＝400×0.9＋m，‎ a2＝0.9×＋m ‎＝400×0.92＋0.9m＋m＝324＋1.9m.‎ ‎(2)a3＝0.9×＋m ‎＝400×0.93＋0.92m＋0.9m＋m，‎ ‎…，‎ an＝400×0.9n＋0.9n－1m＋0.9n－2m＋…＋0.9m＋m ‎＝400×0.9n＋m ＝400×0.9n＋10m ‎＝×0.9n＋10m.‎ 由已知∀n∈N*，an≤550，‎ ‎(1)当400－10m＝0，即m＝40时，显然满足题意；‎ ‎(2)当400－10m>0，即m<40时，‎ 由指数函数的性质可得×0.9＋10m≤550，解得m≤190.‎ 综合得m<40；‎ ‎(3)当400－10m<0，即m>40时，‎ 由指数函数的性质可得10m≤550，‎ 解得m≤55，综合得400，‎ 故当n≥4时，f(n)递增．‎ 又f(1)＝－<0，‎ f(7)＝7－21≈17－21＝－4<0，‎ f(8)＝8－23≈25－23＝2>0.‎ ‎∴该项目将从第8年开始并持续赢利．‎ 答：该项目将从2023年开始并持续赢利．‎ 方法二　设f(x)＝x－2x－7(x≥1)，‎ 则f′(x)＝xln －2，令f′(x)＝0，‎ 得x＝＝≈＝5，‎ ‎∴x≈4.‎ 从而当x∈[1,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；‎ 当x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．‎ 又f(1)＝－<0，‎ f(7)＝7－21≈17－21＝－4<0，‎ f(8)＝8－23≈25－23＝2>0.‎ ‎∴该项目将从第8年开始并持续赢利．‎ 答：该项目将从2023年开始并持续赢利．‎ 题型四　与数列相关的综合问题 ‎ 例4、设f(x)＝x2＋2x，f′(x)是y＝f(x)的导函数，若数列{an}满足an＋1＝f′(an)，且首项a1＝1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n项和为Tn，请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值.‎ 解　(1)由f(x)＝x2＋2x，得f′(x)＝x＋2.‎ ‎∵an＋1＝f′(an)，且a1＝1.‎ ‎∴an＋1＝an＋2则an＋1－an＝2，‎ 因此数列{an}是公差为2，首项为1的等差数列.‎ ‎∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.‎ ‎(2)数列{an}的前n项和Sn＝＝n2，‎ 等比数列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，∴q＝3.‎ ‎∴bn＝3n－1.‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn＝＝＝.‎ Tn≤Sn可化为≤n2.‎ 又n∈N*，∴n＝1，或n＝2‎ 故适合条件Tn≤Sn的所有n的值为1和2.‎ ‎【感悟提升】1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.‎ ‎2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.‎ ‎【变式探究】设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|<成立的n的最小值.‎ 解　(1)由已知Sn＝2an－a1，‎ 有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2).‎ 从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.‎ 又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，‎ 所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，‎ 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ 故an＝2n.‎ ‎ ‎