高考数学140分难点突破训练——数列与数学归纳法含详解

高考数学140分难点突破训练——数列与数学归纳法含详解

‎2009届高考数学难点突破训练——数列与数学归纳法 ‎1.如图，曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形△OP1Q1，△Q1P2Q2，…△Qn-1PnQn…设正三角形的边长为,n∈N﹡(记为),.（1）求的值; （2）求数列{}的通项公式。‎ ‎ ‎ ‎2. 设都是各项为正数的数列，对任意的正整数，都有成等差数列，成等比数列．‎ ‎（1）试问是否成等差数列？为什么？‎ ‎（2）如果，求数列的前项和．‎ ‎3. 已知等差数列｛｝中，＝8，＝66. ‎ ‎（Ⅰ）求数列｛｝的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，，求证：.‎ ‎4. 已知数列{}中，（n≥2，），数列，满足（）‎ ‎　　（1）求证数列{}是等差数列；‎ ‎　　（2）求数列{}中的最大项与最小项，并说明理由；‎ ‎　　（3）记…，求．‎ ‎5. 已知数列{an}中，a1>0, 且an+1=，‎ ‎ (Ⅰ)试求a1的值，使得数列{an}是一个常数数列；‎ ‎ (Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立；‎ ‎ (Ⅲ)若a1 = 2，设bn = | an+1－an| (n = 1，2，3，…)，并以Sn表示数列{bn}的前n项的和，求证：Sn<．‎ ‎6. （1）已知：，求证；‎ ‎（2）已知：，求证：。‎ ‎7. 已知数列各项均不为0，其前n项和为，且对任意，都有（p为大于1的常数），并记 .‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）比较与的大小；‎ ‎（3）求证：().‎ ‎8. 已知，各项为正的等差数列满足 ‎，又数列的前项和是 ‎。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求证数列是等比数列；‎ ‎（3）设，试问数列有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由。‎ ‎9. 设数列前项和为,且(3,其中m为常数,m (1) 求证:是等比数列;‎ 若数列的公比q=f(m),数列满足求证:为等差数列,求.‎ ‎10. 已知数列满足：且，．‎ ‎（Ⅰ）求，，，的值及数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和；‎ ‎11. 将等差数列所有项依次排列，并作如下分组：…第一组1项，第二组2项，第三组4项，…，第n组项。记为第n组中各项的和。已知。‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）求的通项公式；‎ ‎（3）设的前n项的和为，求。‎ ‎12. 设各项为正数的等比数列的首项，前n项和为，且。‎ ‎（Ⅰ）求的通项；‎ ‎（Ⅱ）求的前n项和。‎ ‎13. 设数列是首项为0的递增数列，（）， 满足：对于任意的总有两个不同的根。‎ ‎（1）试写出，并求出；‎ ‎（2）求，并求出的通项公式；‎ ‎（3）设，求。‎ ‎14. 已知数列，其中是首项为1，公差为1‎ 的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.‎ ‎(Ⅰ)若，求；（Ⅱ）试写出关于的关系式，并求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，‎ 把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ (所得的结论不必证明)‎ ‎15. 一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到 ，记为 ；②当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一个结果的倍.‎ ‎（1）当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？试猜想的关系式，并证明你的结论；‎ ‎（2）记为数列的前项的和。当从B口得到16112195的倒数时，求此时对应的的值.‎ ‎16. 已知数列，其前n项和Sn满足是大于0的常数），且a1=1，a3=4.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式an；‎ ‎（3）设数列的前n项和为Tn，试比较与Sn的大小.‎ ‎17. 定义：若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，且，其中为正整数．‎ ‎(1)设，证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；‎ ‎(2)设(1)中“平方递推数列” 的前项之积为，即，求数列的通项及关于的表达式；‎ ‎(3)记，求数列的前项之和，并求使的的最小值．‎ ‎18. 在不等边△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，，依次成等差数列，给定数列，，．‎ ‎　　（1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号：‎ ‎　　数列，，（　）．‎ ‎　　A．是等比数列而不是等差数列　　B．是等差数列而不是等比数列 ‎　　C．既是等比数列也是等差数列　　D．既非等比数列也非等差数列 ‎　　（2）证明你的判断．‎ ‎19. 已知是等差数列，其前n项和为Sn，已知a2=8，S10=185，‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设，证明是等比数列，并求其前n项和Tn.‎ ‎20. 已知数列{an}中，，（n＝2，3，4，…）‎ ‎ （I）求的值；‎ ‎ （II）证明当n＝2，3，4，…时，‎ ‎21. 已知等差数列{}中，是其前n项的和且 ‎ （I）求数列{}的通项公式。‎ ‎ （II）若从数列{}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来的顺序组成一个新数列{}，求数列{}的前n项和。‎ ‎22. 已知正项等比数列{}满足条件：①；②，求{}的通项公式．‎ ‎23. 已知函数f（x）＝（ax＋b）图象过点A（2，1）和B（5，2）．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎　　（2）记，，是否存在正数k，使得…对一切均成立，若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由．‎ ‎24. 已知f(x)=log2(x+m),m∈R ‎（1）如果f(1)，f(2)，f(4)成等差数列，求m的值；‎ ‎（2）如果a,b,c是两两不等的正数，且a,b,c依次成等比数列，试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论。‎ ‎25. 已知等差数列{an}的公差d>0.Sn是它的前n项和，又与的等比中项是，与的等差中项是6，求an。‎ ‎26. 和分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为120和60，而第二项与第四项的和分别是90和34，令集合，，，…，，，，，…，．求证：．‎ ‎27. 已知曲线C：， ： （）。从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，‎ 设。 ‎ ‎ （I）求的坐标；‎ ‎ （II）求数列的通项公式；‎ ‎（III）记数列的前项和为，求证：‎ 答案：‎ ‎1. 解：①由条件可得,代入得 ‎ ‎② ∴；代入曲线并整理得,∴于是当时,‎ 即又当；,故 ∴所以数列{}是首项为、公差为的等差数列, 。‎ ‎2. 由题意，得， （1）‎ ‎ （2） ‎ ‎（1）因为，所以由式（2）得，从而当时，，‎ 代入式（1）得，‎ 即，故是等差数列．‎ ‎（2）由及式（1），式（2），易得 ‎ 因此的公差，从而，‎ 得 （3）‎ 又也适合式（3），得，‎ 所以，‎ 从而 ‎ ‎3. 解：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ ‎ = ‎ 而是递增数列 ， . ‎ ‎4. （1），‎ ‎　　而　，‎ ‎　　∴　．‎ ‎　　∴　{}是首项为，公差为1的等差数列．‎ ‎　　（2）依题意有，而，‎ ‎　　∴　．‎ ‎　　对于函数，在x＞3.5时，y＞0，，在（3.5，）上为减函数．‎ ‎　　故当n＝4时，取最大值3‎ ‎　　而函数在x＜3.5时，y＜0，，在（，3.5）上也为减函数．‎ ‎　　故当n＝3时，取最小值，＝-1．‎ ‎　　（3），，‎ ‎　　∴　．‎ ‎5. (Ⅰ)欲使数列{an}是一个常数数列，则an+1== an ‎ ‎ 又依a1>0，可得an>0并解出：an=，即a1 = an = ‎ ‎ (Ⅱ)研究an+1－an=－= (n≥2) ‎ 注意到>0‎ 因此，可以得出：an+1－an，an－an－1，an－1－an－2，…，a2－a1有相同的符号7’‎ 要使an+1>an对任意自然数都成立,只须a2－a1>0即可.‎ 由>0，解得：0时，an+1, ‎ ‎ 故Sn<2－=‎ ‎6. （1）令，由x>0，∴t>1，‎ 原不等式等价于 令f(t)=t-1-lnt，‎ ‎∵当时，有，∴函数f(t)在递增 ‎∴f(t)>f(1) 即t-1g(1)=0‎ ‎∴‎ 综上得 ‎（2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得 即得 ‎7. (1)易求得 ‎（2）‎ 作差比较易得：‎ ‎（3）当时，不等式组显然成立.‎ ‎ 当 由（2）知 ‎ 再证 而 同理：，，……，‎ 以上各式相加得：‎ 即 .‎ ‎8. （1），又 ‎ 或 ‎ ‎ 若，则，与矛盾；‎ ‎ 若，则，显然，‎ ‎ ‎ ‎（2），‎ ‎ 当时，，欧 ‎ 时，，‎ ‎ ‎ ‎ 数列是以9为首项，为公比的等比数列。 ‎ ‎（3），设是数列中的最大项，则 ‎ 由 可得 数列有最大项，最大项是。‎ ‎9. （1）由 ‎∴是等比数列。‎ ‎（2）‎ ‎10. （Ⅰ）经计算，，，． ‎ 当为奇数时，，即数列的奇数项成等差数列，‎ ‎； ‎ 当为偶数，，即数列的偶数项成等比数列，‎ ‎． ‎ 因此，数列的通项公式为． ‎ ‎（Ⅱ）， ‎ ‎ ……（1）‎ ‎ …（2）‎ ‎（1）、（2）两式相减，‎ 得 ‎ ‎．‎ ‎ ． ‎ ‎11. 设的公差为d，首项为，则 ‎ （1）‎ ‎ （2）‎ 解得，则。‎ ‎（2）当时，在前n-1组中共有项数为：。故第n组中的第一项是数列中的第项，且第n组中共有项。‎ 所以 当n=1时，也适合上式，故。‎ ‎（3）。即数列前8组元素之和，且这8组总共有项数 ‎。‎ 则 ‎12. （Ⅰ）由 得 ‎ 即 可得 因为，所以 解得，因而 ‎ ‎ （Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故 则数列的前n项和 ‎ 前两式相减，得 ‎ ‎ 即 ‎ ‎13. （1）∵,当时,,, ‎ ‎ 又∵对任意的,总有两个不同的根,∴‎ ‎∴， ‎ 由(1),‎ ‎ ∵对任意的,总有两个不同的根, ∴ ‎ ‎ ∵对任意的,总有两个不同的根, ∴‎ 由此可得， ‎ （1） 当，‎ ‎∴ ‎ 当，‎ ‎∴‎ ‎14. （1）. ‎ ‎（2），，‎ 当时，. ‎ ‎（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. ‎ 研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围． ‎ ‎ ‎ ‎15. （1）由已知得 ‎ 当时，， 1分 同理可得 3分 猜想 ‎ 下面用数学归纳法证明成立 ‎①当时，由上面的计算结果知成立 6分 ‎②假设时，成立，即 ，‎ 那么当时，‎ 即 ‎ 当时，也成立 ‎ 综合①②所述，对 ，成立。 ‎ ‎（2）由（1）可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16. （I）解：由得 ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ （II）由，‎ ‎ ∴数列{}是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，‎ ‎ ‎ ‎ 当n=1时a1=1满足 ‎ ‎ （III）①‎ ‎ ，②‎ ‎ ①－②得，‎ ‎ 则. ‎ ‎ ‎ ‎ 当n=1时，‎ ‎ 即当n=1或2时，‎ ‎ 当n>2时， ‎ ‎17. （1）由条件an＋1＝2an2＋2an， 得2an＋1＋1＝4an2＋4an＋1＝(2an＋1)2．∴{bn}是“平方递推数列”．∴lgbn＋1＝2lgbn．∵lg(2a1＋1)＝lg5≠0，∴＝2．∴{lg(2an＋1)}为等比数列．‎ ‎（2）∵lg(2a1＋1)＝lg5，∴lg(2an＋1)＝2n－1×lg5，∴2an＋1＝5，∴an＝(5－1)．‎ ‎∵lgTn＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋…＋lg(2an＋1)＝＝(2n－1)lg5．‎ ‎∴Tn＝5．‎ ‎（3）cn＝＝＝＝2－，‎ ‎∴Sn＝2n－[1＋＋＋…＋]＝2n－＝2n－2[1－]＝2n－2＋2．‎ 由Sn＞2008得2n－2＋2＞2008，n＋＞1005，‎ 当n≤1004时，n＋＜1005，当n≥1005时，n＋＞1005，∴n的最小值为1005．‎ ‎18. （1）B　（2）因为、、成等差数列，所以，‎ 所以．又，，‎ ‎．显然，即、、成等差数列．若其为等比数列，有，所以，，与题设矛盾 ‎19. （1） 解得 ‎ ‎ （2）……7分 是公比为8的等比数列……10分 ‎ ‎ ‎20. （I），‎ ‎ 4分 ‎ （II）当k＝2，3，4，5，…时，‎ ‎ ‎ ‎ ∴，∴‎ ‎ ∴，∴ ‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴，∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎21. （I）设数列的公差为d，则，‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 由（1）（2）得 ‎ 数列的通项公式 ‎ ‎ （II）‎ ‎ ‎ ‎ 数列的前n项和 ‎ ‎22. 设等比数列的公比为q，由已知条件，‎ ‎　　得 ‎　　①÷②得：，所以　．①×②，得，‎ ‎　　即　．或．（舍去）‎ ‎　　由　　得：　‎ ‎　　∴　‎ ‎23. （1）由已知，得解得：．‎ ‎　　∴　‎ ‎　　（2）．‎ ‎　　设存在正数k，使得…对一切均成立，‎ ‎　　则…．记…‎ ‎，则…．‎ ‎　　∵　．‎ ‎　　∴　，∴　F（n）是随n的增大而增大，‎ ‎　　∵　，∴　当时，．‎ ‎　　∴　，即k的最大值为．‎ ‎24. （1）∵f(1),f(2),f(4)成等差数列，‎ ‎∴f(1)+f(4)=2f(2).‎ 即log2(1+m)+log2(4+m)=log2(2+m)2‎ ‎∴(m+1)(m+4)=(m+2)2‎ 即m2+5m+4=m2+4m+4‎ ‎∴m=0‎ ‎(2) ∵f(a)+f(c)=log2(a+m)+log2(c+m)=log2[(a+m)(c+m)],‎ ‎2f(b)=2log2(b+m)=log2(b+m)2,‎ ‎∵a,b,c成等比数列，‎ ‎∴‎ ‎∵(a+m)(c+m)-(b+m)2‎ ‎=ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2‎ ‎=ac+m(a+c)-b2-2bm ‎=m(a+c)-2m ‎∵a>0,c>0.‎ ‎∴a+c≥2‎ ‎①m>0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2>0, ‎ ‎∴log2[(a+m)(c+m)>log2(b+m)2‎ ‎∴f(a)+f(c)>2f(b);‎ ‎②m<0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2<0,‎ ‎∴log2[(a+m)(c+m)]

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