2012年北京市高考数学试卷(理科)

2012年北京市高考数学试卷(理科)

‎2012年北京市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.‎ ‎1．已知集合，则A∩B=（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设不等式组，表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于的概率是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设．“”是“复数是纯虚数”的（　　）‎ ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．执行如图所示的程序框图，输出的值为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图，于点，以为直径的圆与交于点．则 第25页（共25页）‎ ‎（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．从中选一个数字．从、、中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，则的值为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 第25页（共25页）‎ 二.填空题共小题．每小题分．共分.‎ ‎9．直线（为参数）与曲线 （为参数）的交点个数为　 　．‎ ‎10．已知是等差数列，为其前项和．若，则=　　．‎ ‎11．在中，若 ，则=　 　．‎ ‎12．在直角坐标系中．直线过抛物线的焦点．且与该抛物线相交于、两点．其中点在轴上方．若直线的倾斜角为．则的面积为　 　． ‎ ‎13．己知正方形的边长为，点是边上的动点．则的值为　　．‎ ‎14．已知,若同时满足条件：‎ ‎①或；‎ ‎②．‎ 则的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．已知函数.‎ ‎（1）求的定义域及最小正周期；‎ ‎（2）求的单调递增区间．‎ ‎16．如图，在中， ，，分别是上的点，且∥，将沿折起到的位置，使，如图．‎ 第25页（共25页）‎ ‎（1）求证：⊥平面；‎ ‎（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；‎ ‎（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．‎ ‎17．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；‎ ‎（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中．当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值．‎ ‎（求：，其中为数据的平均数）‎ 第25页（共25页）‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；‎ ‎（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值．‎ 第25页（共25页）‎ ‎19．已知曲线 ‎（1）若曲线是焦点在轴点上的椭圆，求的取值范围；‎ ‎（2）设，曲线与轴的交点为（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，直线与直线交于点．求证：三点共线．‎ 第25页（共25页）‎ ‎ ‎ ‎20．设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记ri（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．‎ ‎（1）如表A，求K（A）的值；‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎﹣0.8‎ ‎0.1‎ ‎﹣0.3‎ ‎﹣1‎ ‎（2）设数表A∈S（2，3）形如 ‎1‎ ‎1‎ c a b ‎﹣1‎ 求K（A）的最大值；‎ ‎（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．‎ ‎　‎ 第25页（共25页）‎ ‎2012年北京市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.‎ ‎1．（2012•北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，） C．﹙，3﹚ D．（3，+∞）‎ ‎【分析】求出集合B，然后直接求解A∩B．‎ ‎【解答】解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，‎ 又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，‎ 所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（2012•北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．‎ ‎【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，‎ 满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，‎ 面积为=4﹣π，‎ ‎∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=‎ 故选：D．‎ 第25页（共25页）‎ ‎　‎ ‎3．（2012•北京）设a，b∈R．“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件．‎ ‎【解答】解：因为a，b∈R．“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”．‎ ‎“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立．‎ 所以a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．（2012•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，‎ 第2次判断后S=2，k=2，‎ 第3次判断后S=8，k=3，‎ 第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．（2012•北京）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（　　）‎ A．CE•CB=AD•DB B．CE•CB=AD•AB C．AD•AB=CD2 D．CE•EB=CD2‎ ‎【分析】连接DE，以BD为直径的圆与BC交于点E，DE⊥BE，由∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，△ACD∽△CBD，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出CE•CB=AD•BD．‎ ‎【解答】解：连接DE，‎ ‎∵以BD为直径的圆与BC交于点E，‎ ‎∴DE⊥BE，‎ ‎∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，‎ ‎∴△ACD∽△CBD，‎ ‎∴，‎ ‎∴CD2=AD•BD．‎ ‎∵CD2=CE•CB，‎ ‎∴CE•CB=AD•BD，‎ 故选A．‎ 第25页（共25页）‎ ‎　‎ ‎6．（2012•北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（　　）‎ A．24 B．18 C．12 D．6‎ ‎【分析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．‎ ‎【解答】解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；‎ 从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；‎ ‎2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有=6种；‎ 故共有3=18种 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．（2012•北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（　　）‎ A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12‎ ‎【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．‎ ‎【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，‎ 第25页（共25页）‎ 一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，‎ 所以S底==10，‎ S后=，‎ S右==10，‎ S左==6．‎ 几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（2012•北京）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　）‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ ‎【分析】由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．‎ ‎【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点 则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率 由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大 第25页（共25页）‎ 即前9年的年平均产量最高，‎ 故选C ‎　‎ 二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.‎ ‎9．（2012•北京）直线（t为参数）与曲线 （α为参数）的交点个数为　2　．‎ ‎【分析】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程为x+y﹣1=0‎ 曲线 （α为参数）化为普通方程为x2+y2=9‎ ‎∵圆心（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离为d=‎ ‎∴直线与圆有两个交点 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎10．（2012•北京）已知﹛an﹜是等差数列，sn为其前n项和．若a1=，s2=a3，则a2=　1　．‎ ‎【分析】由﹛an﹜是等差数列，a1=，S2=a3，知=，解得d=，由此能求出a2．‎ ‎【解答】解：∵﹛an﹜是等差数列，a1=，S2=a3，‎ ‎∴=，‎ 解得d=，‎ a2==1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ 第25页（共25页）‎ ‎11．（2012•北京）在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=　4　．‎ ‎【分析】根据a=2，b+c=7，cosB=﹣，利用余弦定理可得，即可求得b的值．‎ ‎【解答】解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣，‎ ‎∴‎ ‎∴b=4‎ 故答案为：4‎ ‎　‎ ‎12．（2012•北京）在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2=4x的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为　　．‎ ‎【分析】确定直线l的方程，代入抛物线方程，确定A的坐标，从而可求△OAF的面积．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）‎ ‎∵直线l过F，倾斜角为60°‎ ‎∴直线l的方程为：，即 代入抛物线方程，化简可得 ‎∴y=2，或y=﹣‎ ‎∵A在x轴上方 ‎∴△OAF的面积为=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎13．（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为　1　．‎ ‎【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可．‎ ‎【解答】解：因为====1．‎ 第25页（共25页）‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎14．（2012•北京）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：‎ ‎①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；‎ ‎②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．‎ 则m的取值范围是　（﹣4，﹣2）　．‎ ‎【分析】①由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求 ‎②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求 ‎【解答】解：对于①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，‎ 又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0‎ ‎∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面 则 ‎∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0‎ 又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0‎ ‎∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立 第25页（共25页）‎ ‎∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，‎ ‎（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，‎ ‎（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，‎ ‎（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．‎ 综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．‎ 故答案为：（﹣4，﹣2）．‎ ‎　‎ 三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（2012•北京）已知函数f（x）=．‎ ‎（1）求f（x）的定义域及最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）的单调递增区间．‎ ‎【分析】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期．‎ ‎（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎=sin2x﹣1﹣cos2x=sin（2x﹣）﹣1 k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z}‎ ‎（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π．‎ ‎（2）由，k∈Z，‎ 第25页（共25页）‎ 解得，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，‎ 原函数的单调递增区间为，k∈Z，，k∈Z ‎　‎ ‎16．（2012•北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．‎ ‎（1）求证：A1C⊥平面BCDE；‎ ‎（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；‎ ‎（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．‎ ‎【分析】（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；‎ ‎（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为 假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，‎ ‎∴DE⊥平面A1CD，‎ 又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE 又A1C⊥CD，CD∩DE=D 第25页（共25页）‎ ‎∴A1C⊥平面BCDE ‎（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0）‎ ‎∴，‎ 设平面A1BE法向量为 则∴∴‎ ‎∴‎ 又∵M（﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）‎ ‎∴‎ ‎∴CM与平面A1BE所成角的大小45°‎ ‎（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]‎ ‎∴，‎ 设平面A1DP法向量为 则∴‎ ‎∴‎ 假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，‎ ‎∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2‎ ‎∵0≤a≤3‎ ‎∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直 第25页（共25页）‎ ‎　‎ ‎17．（2012•北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；‎ ‎（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．‎ ‎（求：S2=[++…+]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）‎ ‎【分析】（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；‎ ‎（3）计算方差可得=，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为；‎ 第25页（共25页）‎ ‎（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为；‎ ‎（3）由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200‎ ‎∴=，‎ ‎∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．‎ ‎　‎ ‎18．（2012•北京）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx ‎（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；‎ ‎（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．‎ ‎【分析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；‎ ‎（2）根据a2=4b，构建函数，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，‎ 由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①‎ 又f（1）=a+1，g（1）=1+b，‎ ‎∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：．‎ ‎（2）由题设a2=4b，设 则，令h'（x）=0，解得：，；‎ ‎∵a＞0，∴，‎ 第25页（共25页）‎ ‎ x ‎ （﹣∞，﹣）‎ ‎﹣‎ ‎）‎ ‎ h′（x）‎ ‎+‎ ‎﹣‎ ‎+‎ ‎ h（x）‎ ‎ 极大值 ‎ 极小值 ‎∴原函数在（﹣∞，﹣）单调递增，在单调递减，在）上单调递增 ‎①若，即0＜a≤2时，最大值为；‎ ‎②若＜﹣，即2＜a＜6时，最大值为 ‎③若﹣1≥﹣时，即a≥6时，最大值为h（﹣）=1‎ 综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为；当a∈（2，+∞）时，最大值为．‎ ‎　‎ ‎19．（2012•北京）已知曲线C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2=8（m∈R）‎ ‎（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；‎ ‎（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．‎ ‎【分析】（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m的取值范围；‎ ‎（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3），解得：，设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程为：，则，从而可得，=（xN，kxN+2），欲证A，G，N三点共线，只需证，‎ 第25页（共25页）‎ 共线，利用韦达定理，可以证明．‎ ‎【解答】（1）解：原曲线方程可化简得：‎ 由题意，曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得：，解得：‎ ‎（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3）＞0，解得：‎ 由韦达定理得：①，，②‎ 设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程为：，则，‎ ‎∴，=（xN，kxN+2），‎ 欲证A，G，N三点共线，只需证，共线 即成立，化简得：（3k+k）xMxN=﹣6（xM+xN）‎ 将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．‎ ‎　‎ ‎20．（2012•北京）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记ri（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．‎ ‎（1）如表A，求K（A）的值；‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎﹣0.8‎ 第25页（共25页）‎ ‎0.1‎ ‎﹣0.3‎ ‎﹣1‎ ‎（2）设数表A∈S（2，3）形如 ‎1‎ ‎1‎ c a b ‎﹣1‎ 求K（A）的最大值；‎ ‎（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．‎ ‎【分析】（1）根据ri（A），Cj（A），定义求出r1（A），r2（A），c1（A），c2（A），c3（A），再根据K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|R3（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|C3（A）|中的最小值，即可求出所求．‎ ‎（2）先用反证法证明k（A）≤1，然后证明k（A）=1存在即可；‎ ‎（3）首先构造满足的A={ai，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后证明是最大值即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知r1（A）=1.2，r2（A）=﹣1.2，c1（A）=1.1，c2（A）=0.7，c3（A）=﹣1.8‎ ‎∴K（A）=0.7‎ ‎（2）先用反证法证明k（A）≤1：‎ 若k（A）＞1‎ 则|c1（A）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0‎ 同理可知b＞0，∴a+b＞0‎ 由题目所有数和为0‎ 即a+b+c=﹣1‎ ‎∴c=﹣1﹣a﹣b＜﹣1‎ 与题目条件矛盾 ‎∴k（A）≤1．‎ 易知当a=b=0时，k（A）=1存在 ‎∴k（A）的最大值为1‎ ‎（3）k（A）的最大值为．‎ 第25页（共25页）‎ 首先构造满足的A={ai，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）：，．‎ 经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，．‎ 下面证明是最大值．若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得．‎ 由k（A）的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x，2]中．由于x＞1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x﹣1．‎ 设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g＜h，则g≤t，h≥t+1．另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负．‎ 考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x﹣1（即每个负数均不超过1﹣x）．因此|r1（A）|=r1（A）≤t•1+（t+1）（1﹣x）=2t+1﹣（t+1）x=x+（2t+1﹣（t+2）x）＜x，‎ 故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾．因此k（A）的最大值为．‎ ‎　‎ 第25页（共25页）‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；邢新丽；zlzhan；刘长柏；豫汝王世崇；minqi5（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2017年2月3日 第25页（共25页）‎