解析几何江苏高考

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解析几何 一、填空题 ‎1.（2007年）在平面直角坐标系xOY中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则 。‎ ‎2．（2008年）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，为半径作圆，若过作圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 ‎ ‎3.（2009年）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . ‎ ‎4.（2011年）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________‎ 12‎ ‎5.（2012年）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ．‎ 二、解答题 ‎1．（2007年）（本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线交于P，Q。‎ ‎（1）若，求c的值；（5分）‎ ‎（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）‎ ‎（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）‎ ‎2．（2008年）在平面直角坐标系中，记二次函数（）与两坐标轴有 三个交点．经过三个交点的圆记为．‎ ‎（1）求实数b的取值范围；‎ ‎（2）求圆的方程；‎ ‎（3）问圆是否经过定点（其坐标与的无关）？请证明你的结论．‎ ‎3.（2009年）（本小题满分16分） ‎ 在平面直角坐标系中，已知圆和圆.‎ 12‎ ‎（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；‎ ‎（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。‎ ‎4.（2010年）（本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。‎ ‎（1）设动点P满足,求点P的轨迹；‎ ‎（2）设，求点T的坐标；‎ ‎（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。‎ ‎5.（2011年）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k 12‎ ‎（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；‎ ‎（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB ‎ ‎ ‎6.（2012年）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线 与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率；‎ ‎（ii）求证：是定值．‎ 12‎ 答案 一、填空题 ‎1.‎ ‎2.‎ 解析：设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故，解得．‎ ‎3.‎ 解析： 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。‎ 直线的方程为：；‎ 直线的方程为：。二者联立解得：，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 则在椭圆上，‎ ‎，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解得：‎ ‎4.‎ 解析：设则，过点P作的垂线 ‎，‎ 12‎ ‎，所以，t在上单调增，在单调减，。‎ ‎5.‎ 解析：圆C的圆心为，半径为1；由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点；故存在，使得成立，即；而即为点C到直线的距离，故，解得，即k的最大值是.‎ 二、解答题 ‎1.（1）设直线AB的方程为y=kx+c，将该方程代入y=x2得x2－kx－c=0‎ 令A（a，a2），B（b，b2），则ab=﹣c ‎ 因为，解得c=2，或c=﹣1（舍去）故c=2‎ ‎（2）由题意知，直线AQ的斜率为 又r=x2的导数为r′=2x，所以点A处切线的斜率为2a 因此，AQ为该抛物线的切线 ‎（3）（2）的逆命题成立，证明如下：‎ 设Q（x0，﹣c）若AQ为该抛物线的切线，则kAQ=2a 12‎ 又直线AQ的斜率为，所以 得2ax0=a2+ab，因a≠0，有 ‎2.本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．‎ ‎（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；‎ 令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．‎ ‎（Ⅱ）设所求圆的一般方程为 令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．‎ 令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．‎ 所以圆C 的方程为.‎ ‎（Ⅲ）圆C 必过定点，证明如下：‎ 假设圆C过定点 ，将该点的坐标代入圆C的方程，‎ 并变形为 （*）‎ 为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，结合（*）式得 ‎，解得 经检验知，点均在圆C上，因此圆C 过定点。‎ ‎3.本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。‎ ‎(1)设直线的方程为：，即 由垂径定理，得：圆心到直线的距离，‎ 结合点到直线距离公式，得： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 12‎ 化简得：‎ 求直线的方程为：或，即或 ‎(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：‎ ‎，即：‎ 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 故有：，‎ 化简得：‎ 关于的方程有无穷多解，有： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解之得：点P坐标为或。‎ ‎4.本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。‎ ‎（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。‎ 由，得 化简得。‎ 故所求点P的轨迹为直线。‎ 12‎ ‎（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）‎ 直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB 方程为：，即。‎ 联立方程组，解得：，‎ 所以点T的坐标为。‎ ‎（3）点T的坐标为 直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB 方程为：，即。‎ 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，‎ 解得：、。‎ ‎（方法一）当时，直线MN方程为：‎ ‎ 令，解得：。此时必过点D（1，0）；‎ 12‎ 当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。‎ 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。‎ ‎（方法二）若，则由及，得，‎ 此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。‎ 若，则，直线MD的斜率，‎ 直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。‎ 因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。‎ ‎5.（1）M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),所以 ‎（2）由得，，AC方程：即：‎ 所以点P到直线AB的距离 ‎（3）法一：由题意设，‎ A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，‎ ‎，两式相减得：‎ 12‎ 法二：设,‎ A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,‎ ‎,两式相减得：,‎ ‎,‎ ‎6.【命题意图】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力.‎ ‎【解析】(1)设题设知，，由点（1，）在椭圆上，‎ 得=1，解得=1，于是，‎ 又点（，）在椭圆上，∴=1，即，解得=2，‎ ‎∴所求椭圆方程的方程是=1；‎ ‎（2）由（1）知(－1,0),(1,0), ∵∥， ‎ ‎ ∴可设直线的方程为：，直线的方程为：，‎ 设，，‎ 由，得，解得，‎ 故===， ①‎ 12‎ 同理，=， ②‎ ‎（ⅰ）由①②得－=，解得=得=2，‎ ‎∵，∴，∴直线的斜率为.‎ ‎（ⅱ）∵∥， ∴, ∴, ∴,‎ 由B点在椭圆知,∴,同理,‎ ‎∴==‎ 由①②知，+=，×=，‎ ‎∴==，∴是定值.‎ 12‎