微元法高考物理专题复习建议

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微元法高考物理专题复习建议

‎“微元法”高考物理专题复习建议 刘小兵 南京市金陵中学河西分校(江苏 南京210019)‎ ‎ 【摘要】在研究物理问题时,从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到解决事物整体的方法,称为“微元法”。这是物理研究中非常重要的方法,在高考中屡屡出现,从应用来看,可以分为选取微元作为研究对象、微元求导和微元求和等三个方面。本文归纳总结了“微元法”解题步骤,力图通过最简单的例子和规范的解题过程引领示范,并且运用各种图象让物理情景形象生动地呈现,易于学生理解和提升。‎ ‎【关键词】微元法 变力 变加速度 化变为恒 化曲为直 在处理和研究物理问题时,将研究对象或物理过程进行无限细分(化变为恒、化曲为直),从其中抽取某一微小单元(研究对象或研究过程)进行研究,从而找到被研究对象或被研究过程遵循的物理规律,这种方法称为“微元法”。从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到解决事物整体的方法。 这是一种深刻的思维方法,化变为恒,化曲为直,通过分割逼近,获得“微元”,从而可以运用中学阶段的解题手段,再累加求和(或求商求导),最终达到了求解整体的目的。‎ 人教版课本中多处涉及到了“微元思想”,由于散落在各册教材中,学生印象比较模糊,因此在总复习专题复习时以“微型例题”形式总结。如推导v-t图的面积表示位移、研究重力做功、推导向心加速度,等等,都用到了“微元法”。‎ ‎【微型例题1】试用“微元法”推导说明v-t的面积表示位移。‎ 图1‎ 解析:Step1 在匀速直线运动的v-t图象中,如图1, 图象与时间轴所围的面积表示位移x=vt.‎ 可以把整个匀变速直线运动的运动过程分成几个比较小的时间段,把每一小段时间内的匀变速运动粗略地看成是匀速直线运动(化变为恒)‎ ‎。然后把运动物体在每一个时间间隔内的位移(即小矩形的面积)都表示出来,最后求和,就得到了匀变速直线运动的总位移。‎ Step2 从图2看出,矩形面积之和小于匀变速直线运动在该段时间内的位移。‎ Step3 选取的时间段Δt越小,各匀速直线运动位移和与匀变速直线运动位移之间的差值就越小,如图3。‎ 当Δt→0时,各矩形面积之和趋近于v-t图象的面积。‎ Step4 如果把整个运动过程划分得非常非常细(微元法),很多很小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了,位移的大小等于如图4所示的梯形的面积.‎ 图2‎ 图4‎ 图3‎ 图5‎ ‎【微型例题2】已知物体以O为圆心,R为半径,做角速度为的匀速圆周运动,求物体的向心加速度的大小.‎ 解析:如图5所示,物体的运动速度由变到,速度变化为 .(矢量差)‎ 在θ很小时,有的方向指向圆心,并且有,(在矢量三角形中,和大小相等,弦长视为弧长,扇形的弧长)(微元法)‎ 又有,‎ 图6‎ 故. ‎ ‎【微型例题3】将一个质量为的物体,通过图中曲线路径由A点到C点(A、C两点离地高度分别为、).试求重力对物体所做的功是多少?‎ 解析:如图6‎ 所示,把路径分成许多小段,每一段可以看作一个小斜面(设斜面长为,倾角为,重力做功),各个斜面的高度为、、…从A 到C 重力对物体所做的功等于物体在通过各个小斜面时重力做功的和,即…‎ 亦即.‎ 可见,课本中的“微元法”“随风潜入夜,润物细无声”,并且不特别指明方法——“微元法”。我们在总复习时应该加以提炼和归纳,便于学生备考。本文分为三种题型:题型一、以“微元”为研究对象;题型二、微元求导;题型三、微元求和。‎ 题型一、以“微元”为研究对象 ‎1、选取质量元△m 图7‎ 一旦我们遇到“质量元”的时候规律都是相同的,我们可以将其分解为无数个微小的“质量元”,我们选取其中之一作为研究对象,写出表达式就能使得问题迎刃而解。‎ ‎【例1】加速启动的火车车厢内的一桶水,若已知水面与水平面之间的夹角为,则火车加速行驶的加速度为多大?‎ FN mgsin 图9‎ 解析:我们需要从水面上提取所需的“水元”,其质量为△m,其受力情况如图所示,合力F合=△mg, 根据牛顿第二定律可知,则a=g ,方向与启动方向相同。‎ 图8‎ ‎【例2】证明,如图8,建筑工地上的黄砂,无论怎样堆,其锥角保持不变。假如圆锥的底周长为,高为 ‎,求黄砂之间的动摩擦因数。(假设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等)‎ 解析:如图9所示,圆锥形黄砂堆倾角为,取砂粒子质量元△m 进行受力分析,△m沿堆面不向下滑动,则处于平衡状态且达到最大静摩擦力,所以 ‎△mgsin = △mgcos ,即=tan 。所以.‎ ‎2、选取时间元 图10‎ ‎【例3】高压采煤水枪出口的横截面积为S,水的射速为v,水射到煤层上后速度变为零,若水的密度为ρ,试求水对煤的冲击力.‎ 解析:如图10所示,取很小的一小段时间内冲到墙上的一小段水柱为研究对象,设其质量为,则。‎ 根据牛顿第二定律,,解得。‎ ‎3、选取电量元 图11‎ ‎【例4】 如图11所示,一个均匀的带电圆环,带电量为Q,半径为R,圆心为O 点. 通过O 点作垂直于圆环面的直线,在此线上取一点P,P到O的距离为R,则带电圆环在P点处产生的电场强度多大?方向怎样? ‎ 解析:只能适用于点电荷产生的电场,无法直接求解。故在圆环直径的两端对称地取两段微元研究,设其电量均为Δq,它们在P 点处的场强的合场强;‎ 求和:;‎ 由于,‎ 故.其方向沿OP 连线向外。‎ ‎4、选取圆弧元 图12‎ ‎【例5】如图12所示,有一台小型石磨,某人用大小恒为F,方向始终与磨杆垂直的力推磨。假设施力点到固定转轴的距离为L,在使磨转动一周的过程中,推力做了多少功?‎ ‎  解析:由于力F方向不断变化,因此是一个变力做功问题,如果将推力作用点的轨迹分成无限多小段…,每一段曲线近似为直线,力F的方向也近似与这一小段的轨迹重合,则每小段均可看作恒力做功过程。‎ ‎  运用恒力作功的计算式求出各小段推力做的功,….则转动一周过程中推力做的功….‎ 题型二、微元求导 物理学中表示变化快慢的物理量瞬时值的定义式都是根据“微元求导(求商)”来定义的。如,…都是运用了当时,微元求商(即求导)的极限思想。‎ 图13‎ ‎【例6】(2012年江苏高考)一只皮球竖直向上抛出,皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比.下列描绘将皮球在上升过程中加速度大小a与时间t关系的图象,可能正确的是( )‎ 解析:,根据,对上升过程有,即,随着时间推移,v减小,a减小,如何减小呢?对求导,,可见图的切线斜率的绝对值减小,本题答案选C。‎ ‎【例7】 P 、Q 是某电场中一条电场线上的两点, 一点电荷仅在电场力作用下, 沿电场线从P 点运动到Q 点, 经过此两点时速度大小分别为和 , 其速度v 随位移x 变化的图象如图14所示, 请比较P 、Q 两点电场强度的大小.‎ 图14‎ 解析:在图上作P、Q两点的曲线切线,其斜率的绝对值分别为、,显然有,即.由于,两点的加速度分别为,,图中,所以.电荷只受电场力,故.‎ 题型三、微元求和 对于变力作用的物理过程,有时用能量无法求解。此时可以考虑用“微元法求和”。其基本思路是:Step1 确定研究对象,写出瞬时表达式;Step2 取一小段时间(时间极短,加速度、速度都来不及变);Step3 换元,使之具有“平权性”,才能正确合理求和;Step4 对各小段求和;Step5 写出解答,得到结果。‎ ‎【例8】一质量为m 的雨滴,从距地面h 高处由静止开始下落,假设雨滴在运动中受到的空气阻力跟速度的一次方成正比,即有f = kv( k为已知常数) ,已知雨滴落地前已开始做匀速运动,当地的重力加速度为g. 试问:‎ (1) 雨滴的运动时间;‎ (2) 定性画出图、图。‎ 解析:(1)(Step1 写瞬时式)‎ ‎,根据有,即,从而 ;‎ ‎(Step2 取微元)取一小段时间,;‎ ‎(Step3 换元)由于很小,,,所以;‎ ‎(Step4 求和)‎ 亦即 ‎(Step5 写结果)又有 解得.‎ ‎(2)下落中,v先增大后匀速,由可知,先减小后为0,v-t图如图15。‎ t a ‎0‎ 图16‎ t v ‎0‎ 图15‎ 又对求导,得到,图的斜率绝对值减小,画出图如图16。‎ 图17‎ ‎【例9】如图所示,一水平放置的光滑平行金属导轨上放有一质量为m的金属杆,导轨间距为L,导轨左端连有一阻值为R 的电阻,杆与导轨的电阻均忽略不计,整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中. 现给金属杆一个向右的初速度v0,然后任其向右运动,导轨足够长,试求:‎ ‎( 1) 证明金属杆的瞬时速度与其在导轨上的滑行位移成线性关系;‎ ‎( 2) 金属杆在导轨上向右运动的最大位移.‎ ‎(3)定性画出图、图。‎ 解析:(1)(Step1 写瞬时式)据有,亦即 则;‎ ‎(Step2 取微元)取一小段时间,故 ‎(Step3 换元);‎ ‎(Step4 求和),‎ 亦即(为了书写方便,可以等效写成,等效为逆向加速运动);‎ ‎(Step5 写结果)解得.‎ ‎(2)时位移最大。.‎ v a ‎0‎ 图19‎ x v ‎0‎ V0‎ 图18‎ ‎(3)本题中的图、图与【例8】中的第(2)问的答案一致。由,形如直线方程,图如图18。由画出图如图19。‎ 图19‎ ‎【例10】 如图20所示,一有界匀强磁场区域的宽度为L,方向竖直向下.在光滑的水平桌面上,现有一边长为 ( < L) 的正方形闭合金属线框以垂直磁场边界的初速度v0 滑入磁场,已知线框全部进入磁场中时的速度为v1,穿出磁场后的速度为v2.‎ ‎(1)试证明 .‎ ‎(2)定性画出图、图、图。‎ 解析:(1)(Step1 写瞬时式)‎ 据有,亦即,所以 ;‎ ‎(Step2 取微元)取一小段时间,;‎ ‎(Step3 换元);‎ ‎(Step4 求和);亦即;‎ ‎(Step5 写结果)‎ 进场:;出场:,两式右边相同,故左边亦相等。‎ 解得.‎ ‎(2)图、图、图如图21至图23所示。‎ x v ‎0‎ 图22‎ t v ‎0‎ 图21‎ t a ‎0‎ 图23‎ 运用微元法,能够深入研究物体的运动性质,甚至探究未知的运动。‎ 图24‎ ‎【例11】(2013年全国高考卷I)如图24,两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ,间距为L.导轨上端接有一平行板电容器,电容为C.导轨处于匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向垂直于导轨平面.在导轨上放置一质量为m 的金属棒,棒可沿导轨下滑,且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触.已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ,重力加速度大小为g.忽略所有电阻.让金属棒从导轨上端由静止开始下滑,求:‎ ‎(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系;‎ ‎(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系.‎ 解析:(1),,所以.‎ ‎(2)(Step1 写瞬时式)根据,‎ 所以;‎ ‎(Step2 取微元)取一小段时间,‎ ‎;‎ ‎(Step3 换元);‎ ‎(Step4 求和);‎ 即,再将代入,‎ ‎(Step5 写结果)‎ 得到.‎ 上式形如,说明导体棒做匀加速直线运动,加速度。‎ ‎ 在微元求和中,常常用到、、、,等等,值得注意。‎ 参考文献:‎ ‎[1]陈锋.窥一斑而见全豹—-微元法在中学物理中的应用[J].物理教学探讨,2012,30(3):46-48.‎ ‎[2]黄皓燕.微元思想在物理学习中的应用[J].物理教师,2009,30(5):51-53.‎ ‎[3]王化银.推进微元方法在物理教学中的应用[J].物理通报,2013(3):9-12.‎ ‎ ‎ 作者简介:刘小兵,男,中学高级教师,就职于江苏省南京市金陵中学河西分校。‎ 通讯地址:江苏省南京市梦都大街60号金陵中学河西分校 邮编:210019‎ 联系电话:13505160032 ‎ 邮箱:liuxiaobing6@163.com QQ:1932727051‎
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