2017高考真题解答题专项训练圆锥曲线理科教师版

2017高考真题解答题专项训练圆锥曲线理科教师版

2017--2018 年高考真题解答题专项训练：圆锥曲线（理科）教师版 1．（2017.上海卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 ， 为 的上顶点， 为 上异于 上、下顶点的动点， 为 x 正半轴上的动点. （1）若 在第一象限，且 ，求 的坐标； （2）设 ，若以 A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求 M 的横坐标； （3）若 ，直线 AQ 与 交于另一点 C，且 ， ， 求直线 的方程. 试题分析： （1）联立 与 ，可得 （2）设 TF ， T T T T F T 或 T T T F T F（3）设 FF ，线段 的中垂线与 轴的交点即 FF ，∵ ， ∴ F F ，∵ ，∴ F F ，代入并联立椭圆方程， 解得 F ， F ，∴ ，∴直线 的方程为 F 2．（2017.新课标 3 卷）已知抛物线 C：y2=2x，过点（2,0）的直线 l 交 C 于 A,B 两点， 圆 M 是以线段 AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上； （2）设圆 M 过点  4, 2P  ，求直线 l 与圆 M 的方程. 试题解析：（1）设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， : 2l x my  . 由 2 2,{ 2 x my y x    可得 2 2 4 0y my   ，则 1 2 4y y   . 又 2 2 1 2 1 2,2 2 y yx x  ，故  2 1 2 1 2 44 y yx x   . 因此OA的斜率与OB 的斜率之积为 1 2 1 2 4 14 y y x x     ，所以OA OB . 故坐标原点O在圆 M 上. （2）由（1）可得   2 1 2 1 2 1 22 , 4 2 4y y m x x m y y m        . 故圆心 M 的坐标为 2 2,m m ，圆 M 的半径  22 22r m m   . 由 于 圆 M 过 点  4, 2P  ， 因 此 0AP BP   ， 故      1 2 1 24 4 2 2 0x x y y      ， 即    1 2 1 2 1 2 1 24 2 20 0x x x x y y y y       ， 由（1）可得 1 2 1 24, 4y y x x   . 所以 22 1 0m m   ，解得 1m  或 1 2m   . 当 1m  时，直线l 的方程为 2 0x y   ，圆心 M 的坐标为 3,1 ，圆 M 的半 径为 10 ，圆 M 的方程为   2 23 1 10x y    . 当 1 2m   时，直线l 的方程为 2 4 0x y   ，圆心 M 的坐标为 9 1,4 2     ，圆 M 的半径为 85 4 ，圆 M 的方程为 2 29 1 85 4 2 16x y             . 3．（2017.浙江卷）如图，已知抛物线x y.点 A - ， ， ， ，抛物线上的点 P （x,y） - ＜x＜ ,过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q （I）求直线 AP 斜率的取值范围； （II）求 PA PQ 的最大值 试题解析： （Ⅰ）设直线 AP 的斜率为 k， ， 因为 ，所以直线 AP 斜率的取值范围是 ． （Ⅱ）联立直线 AP 与 BQ 的方程 F F 解得点 Q 的横坐标是 ． 因为|PA|= = ， |PQ|= ， 所以 ． 令 ， 因为 ̵ ， 所以 f(k)在区间 上单调递增， 上单调递减， 因此当 k= 时， 取得最大值 ． 4．（2017.北京卷）已知抛物线 C：y2＝2px 过点 P(1,1)．过点 10, 2      作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点． (1)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段 BM 的中点． 试题解析：（Ⅰ）由抛物线 C： 2 2y px 过点 P（1，1），得 1 2p  . 所以抛物线 C 的方程为 2y x . 抛物线 C 的焦点坐标为（ 1 4 ，0），准线方程为 1 4x   . （Ⅱ）由题意，设直线 l 的方程为 1 2y kx  （ 0k  ），l 与抛物线 C 的交点为  1 1,M x y ，  2 2,N x y . 由 2 1 { 2y kx y x    ，得  2 24 4 4 1 0k x k x    . 则 1 2 2 1 kx x k   ， 1 2 2 1 4x x k  . 因为点 P 的坐标为（1，1），所以直线 OP 的方程为 y x ，点 A 的坐标为 1 1,x y . 直线 ON 的方程为 2 2 yy xx  ，点 B 的坐标为 2 1 1 2 , y yx x       . 因为 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 22y y y y y y x xy xx x     1 2 2 1 1 2 2 1 1 22 2kx x kx x x x x                 1 2 2 1 2 12 2 2k x x x x x       2 2 2 1 12 2 4 2 kk k k x     0 ， 所以 2 1 1 1 2 2y yy xx   . 故 A 为线段 BM 的中点. 5．（2017.山东卷）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E ： 2 2 2 2 1x y a b    0a b  的 离心率为 2 2 ，焦距为 2 . （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线 l ： 1 3 2y k x  交椭圆 E 于 ,A B 两点， C 是椭圆 E 上一点， 直 线 OC 的 斜 率 为 2k ， 且 1 2 2 4k k  ， M 是 线 段 OC 延 长 线 上 一 点 ， 且 : 2:3MC AB  ， M 的半径为 MC ， ,OS OT 是 M 的两条切线，切点分别为 ,S T .求 SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率. 试题解析：（I）由题意知 2 2 ce a   ， 2 2c  ， 所以 2, 1a b  ， 因此 椭圆 E 的方程为 2 2 12 x y  . （Ⅱ）设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 联立方程 2 2 1 1,2{ 3 ,2 x y y k x     得 2 2 1 14 2 4 3 1 0k x k x    ， 由题意知 0  ， 且   1 1 2 1 22 2 1 1 2 3 1,2 1 2 2 1 kx x x xk k      ， 所以 2 2 1 12 1 1 2 2 1 1 1 81 2 2 1 k kAB k x x k       . 由题意可知圆 M 的半径 r 为 2 2 1 1 2 1 1 1 82 2 3 2 1 k kr k    由题设知 1 2 2 4k k  ， 所以 2 1 2 4k k  因此直线OC 的方程为 1 2 4y xk  . 联立方程 2 2 1 1,2{ 2 ,4 x y y xk    得 2 2 21 2 2 1 1 8 1,1 4 1 4 kx yk k    ， 因此 2 2 2 1 2 1 1 8 1 4 kOC x y k     . 由题意可知 1sin 2 1 SOT r OCr OC r     ， 而 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 8 1 4 1 1 82 2 3 2 1 k OC k r k k k      2 1 2 2 1 1 1 23 2 4 1 4 1 k k k    ， 令 2 11 2t k  ， 则  11, 0,1t t   ， 因此 2 2 2 3 3 1 3 1 12 2 21 12 1 1 1 92 2 4 OC t r t t t t t               ， 当且仅当 1 1 2t  ，即 2t  时等号成立，此时 1 2 2k   ， 所以 1sin 2 2 SOT  ， 因此 2 6 SOT   ， 所以 SOT 最大值为 3  . 综上所述： SOT 的最大值为 3  ，取得最大值时直线l 的斜率为 1 2 2k   . 6．（2017 新课标全国Ⅱ）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 . （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 在直线 上，且 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 过 C 的左焦点 F. 试题解析：解：（1）设 P（x，y），M（ FF ）,则 N（ FF ）， NP x F MN （ FF ） 由 NP NM 得 F F ， F . 因为 M（ FF ）在 C 上，所以 x . 因此点 P 的轨迹为 . 由题意知 F（-1,0），设 Q（-3，t），P（m，n），则 OQ ， t ， PF m ， n ， OQ PF m tn ， OP m ， n ， PQ （ m ， t n ）. 由 OP PQ 得-3m- T +tn- =1，学&科网又由（1）知 T ，故 3+3m-tn=0. 所以 OQ PF F ，即， OQ PF .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直 于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 7．（2017.天津卷）设椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点为 F ，右顶点为 A ，离心率 为 1 2 .已知 A 是抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点， F 到抛物线的准线l 的距离为 1 2 . （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设l 上两点 P ， Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B （ B 异于点 A ）， 直线 BQ 与 x 轴相交于点 D .若 APD 的面积为 6 2 ，求直线 AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设 F 的坐标为 ,0c .依题意， 1 2 c a  ， 2 p a ， 1 2a c  ， 解得 1a  ， 1 2c  ， 2p  ，于是 2 2 2 3 4b a c   . 所以，椭圆的方程为 2 2 4 13 yx   ，抛物线的方程为 2 4y x . （Ⅱ）解：设直线 AP 的方程为  1 0x my m   ，与直线l 的方程 1x   联立，可得 点 21,P m      ，故 21,Q m     .将 1x my  与 2 2 4 13 yx   联立，消去 x ，整理得  2 23 4 6 0m y my   ，解得 0y  ，或 2 6 3 4 my m   .由点 B 异于点 A ，可得点 2 2 2 3 4 6,3 4 3 4 m mB m m         . 由 21,Q m     ， 可 学 * 科 . 网 得 直 线 BQ 的 方 程 为   2 2 2 6 2 3 4 21 1 03 4 3 4 m mx ym m m m                      ，令 0y  ，解得 2 2 2 3 3 2 mx m   ， 故 2 2 2 3 ,03 2 mD m      .所以 2 2 2 2 2 3 61 3 2 3 2 m mAD m m     .又因为 APD 的面积为 6 2 ， 故 2 2 1 6 2 6 2 3 2 2 m m m    ， 整理 得 23 2 6 2 0m m   ， 解得 6 3m  ， 所以 6 3m   . 所以，直线 AP 的方程为3 6 3 0x y   ，或3 6 3 0x y   . 8．（2017.江苏卷）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆   2 2 2 2: 1 0x yE a ba b   ＞ ＞ 的 左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 1 2 ，两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上，且 位于第一象限，过点 F1 作直线 PF1 的垂线 l1,过点 F2 作直线 PF2 的垂线 l2. （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）若直线 l1，l2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标. 试题解析：解：（1）设椭圆的半焦距为 c. 因为椭圆 E 的离心率为 1 2 ，两准线之间的距离为 8，所以 1 2 c a  ， 22 8a c  ， 解得 2, 1a c  ，于是 2 2 3b a c   ， 因此椭圆 E 的标准方程是 2 2 14 3 x y  . （2）由（1）知，  1 1,0F  ，  2 1,0F . 设  0 0,P x y ，因为点 P 为第一象限的点，故 0 00, 0x y  . 当 0 1x  时， 2l 与 1l 相交于 1F ，与题设不符. 当 0 1x  时，直线 1PF 的斜率为 0 0 1 y x  ，直线 2PF 的斜率为 0 0 1 y x  . 因为 1 1l PF ， 2 2l PF ，所以直线 1l 的斜率为 0 0 1x y   ，直线 2l 的斜率为 0 0 1x y  ， 从而直线 1l 的方程：  0 0 1 1xy xy    ， ① 直线 2l 的方程：  0 0 1 1xy xy    . ② 由①②，解得 2 0 0 0 1, xx x y y    ，所以 2 0 0 0 1, xQ x y      . 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得 2 0 0 0 1 x yy    ，即 2 2 0 0 1x y  或 2 2 0 0 1x y  . 又 P 在椭圆 E 上，故 2 2 0 0 14 3 x y  . 由 2 2 0 0 2 2 0 0 1 { 14 3 x y x y     ，解得 0 0 4 7 3 7,7 7x y  ； 2 2 0 0 2 2 0 0 1 { 14 3 x y x y     ，无解. 因此点 P 的坐标为 4 7 3 7,7 7       . 9．（2017.新课标 1 卷）已知椭圆 C： = （a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1）， P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆 C 上. （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的 和为–1，证明：l 过定点. P 试题解析：（1）由于 ， 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 ， 两点. 又由 知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上. 因此 ，解得 . 故 C 的方程为 . （2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2， 如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知 F ，且 ，可得 A，B 的坐标分别为（t， ），（t， ）. 则 ，得 ，不符合题设. 从而可设 l： T （ T ）.将 T 代入 得 T T F由题设可知 = T F . 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2= T ，x1x2= T . 而 T T T . 由题设 ，故 T F . 即 T T T F . 解得 T . 当且仅当 T 时， F ，欲使 l： T T ，即 T ， 所以 l 过定点（2， ） 10．（2018 年浙江卷）如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y2=4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上． （Ⅰ）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； （Ⅱ）若 P 是半椭圆 x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围． 详解：（Ⅰ）设 FF ， ， ． 因为 ， 的中点在抛物线上，所以 ， 为方程 F F 即 F F F F 的两个不同的实数根． 所以 F ． 因此， 垂直于 轴． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 F F F 所以 F F F ， F F ． 因此， 的面积 F F ． 因为 F F F F ，所以 F F F F ． 因此， 面积的取值范围是 F ． 11．（2018 年天津卷）设椭圆 2 2 2 2 1x x a b   (a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭 圆的离心率为 5 3 ，点 A 的坐标为  ,0b ，且 6 2FB AB  . （I）求椭圆的方程； （II）设直线 l： ( 0)y kx k  与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若 5 2 sin4 AQ AOQPQ   (O 为原点) ，求 k 的值. 详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为 2c，由已知有 2 2 5 9 c a  ， 又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b．由已知可得， FB a ， 2AB b ， 由 6 2FB AB  ，可得 ab=6，从而 a=3，b=2． 所以，椭圆的方程为 2 2 19 4 x y  ． （Ⅱ）设点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2）． 由已知有 y1>y2>0，故 1 2PQ sin AOQ y y   ． 又因为 2yAQ sin OAB   ，而∠OAB= π 4 ，故 22AQ y ． 由 5 2 4 AQ sin AOQPQ   ，可得 5y1=9y2． 由方程组 2 2{ 19 4 y kx x y    ， ， 消去 x，可得 1 2 6 9 4 ky k   ． 易知直线 AB 的方程为 x+y–2=0， 由方程组{ 2 0 y kx x y     ， ，消去 x，可得 2 2 1 ky k   ． 由 5y1=9y2，可得 5（k+1）= 23 9 4k  ， 两边平方，整理得 256 50 11 0k k   ， 解得 1 2k  ，或 11 28k  ． 所以，k 的值为 1 2 或 11 28 ． 12．（2018 年北京卷）已知抛物线 C： =2px 经过点 （1，2）．过点 Q（0，1）的直 线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N． （Ⅰ）求直线 l 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设 O 为原点， ， ，求证： 为定值． 详解：解：（Ⅰ）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2）， 所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x． 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0， 设直线 l 的方程为 y=kx+1（k≠0）． 由 得 F ． 依题意 F ，解得 k<0 或 00）． 设 A（x1，y1），B（x2，y2）． 由 得 F ． F ，故 ． 所以 ． 由题设知 ，解得 k=–1（舍去），k=1． 因此 l 的方程为 y=x–1． （2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为 ，即 ． 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 F F ， F FF ㄍ 解得 F ， F 或 F ， F ㄍ因此所求圆的方程为 或 ．