高考文科数学第一轮复习测试题10

高考文科数学第一轮复习测试题10

命题要点：(1)综合法(′11年2考，′10年2考)；(2)分析法；(3)反证法(′11年1考).)‎ A级 ‎(时间：40分钟　满分：60分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．下列各式中对x∈R都成立的是(　　)．‎ A．lg(x2＋1)≥lg(2x) B．x2＋1＞2x C.≤1 D．x＋≥2‎ 解析　A、D中x必须大于0，故A、D排除，B中应x2＋1≥ 2x，故B不正确．‎ 答案　C ‎2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是(　　)．‎ A．a，b都不能被5整除 B．a，b都能被5整除 C．a，b中有一个不能被5整除 D．a，b中有一个能被5整除 解析　由反证法的定义得，反设即否定结论．‎ 答案　A ‎3．(2011·福州调研)下列命题中的假命题是(　　)．‎ A．三角形中至少有一个内角不小于60°‎ B．四面体的三组对棱都是异面直线 C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点 D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数 解析　a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．‎ 答案　D ‎4．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”‎ 是否成立(　　)．‎ A．不成立 B．成立 C．不能断定 D．能断定 解析　∵Sn＝2n2－3n，‎ ‎∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．‎ 又∵an＋1－an＝4(n≥1)，‎ ‎∴{an}是等差数列．‎ 答案　B ‎5．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋、b＋、c＋(　　)．‎ A．都大于2 B．都小于2‎ C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2‎ 解析　∵a＞0，b＞0，c＞0，‎ ‎∴＋＋＝＋＋‎ ≥6，当且仅当a＝b＝c时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.‎ 答案　D 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设应该是___________________________________________________________．‎ 解析　用反证法证明命题时，假设结论不成立，即否定命题的结论．‎ 答案　三角形的三个内角都大于60°‎ ‎7．要证明“＋＜‎2‎”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)．‎ ‎①反证法，②分析法，③综合法．‎ 答案　②‎ ‎8．(2011·韶关模拟)下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．‎ 解析　要使＋≥2，只要＞0且＞0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．‎ 答案　3‎ 三、解答题(共23分)‎ ‎9．(11分)设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.‎ 证明　∵a＋b＝1，‎ ‎∴＋＋＝＋＋ ‎＝1＋＋1＋＋≥2＋2＋ ‎＝2＋2＋4＝8，当且仅当a＝b＝时等号成立．‎ ‎10．(12分)已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.‎ 证明　a⊥b⇔a·b＝0，‎ 要证≤.‎ 只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，‎ 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋‎2a·b＋b2)，‎ 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤‎2a2＋2b2，‎ 只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，‎ 即(|a|－|b|)2≥0，‎ 上式显然成立，故原不等式得证．‎ B级 ‎(时间：30分钟　满分：40分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为(　　)．‎ A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 解析　∵≥≥，‎ 又f(x)＝x在R上是减函数．‎ ‎∴f≤f()≤f.‎ 答案　A ‎2．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：‎ ‎①1](　　)．‎ A．n B．n＋‎1 C．n－1 D．n2‎ 解析　由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1]‎ 答案　A 二、填空题(每小题4分，共8分)‎ ‎3．如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是 ‎________.‎ 解析　首先a≥0，b≥0且a与b不同为0.‎ 要使a＋b＞a＋b，只需(a＋b)2＞(a＋b)2，即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b.‎ 答案　a≥0，b≥0且a≠b ‎4．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号)．‎ ‎①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．‎ 解析　①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，‎ ‎∴x∥平面y或x⊂平面y.‎ 又∵x⊄平面y，故x∥y成立．‎ ‎②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立．‎ ‎③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立．‎ ‎④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立．‎ ‎⑤x，y，z均为直线，x，y可平行、异面、相交，故⑤不成立．‎ 答案　①③④‎ 三、解答题(共22分)‎ ‎5．(10分)若a、b、c是不全相等的正数，求证：‎ lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.‎ 证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，‎ ‎∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.‎ 又上述三个不等式中等号不能同时成立．‎ ‎∴··＞abc成立．‎ 上式两边同时取常用对数，‎ 得lg＞lg abc，‎ ‎∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.‎ ‎6．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.‎ ‎(1)证明：是f(x)＝0的一个根；‎ ‎(2)试比较与c的大小；‎ ‎(3)证明：－2＜b＜－1.‎ ‎(1)证明　∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，‎ ‎∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，‎ ‎∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，‎ 又x1x2＝，∴x2＝，‎ ‎∴是f(x)＝0的一个根．‎ ‎(2)解　假设＜c，又＞0，‎ 由0＜x＜c时，f(x)＞0，‎ 知f＞0与f＝0矛盾，‎ ‎∴≥c，‎ 又∵≠c，∴＞c.‎ ‎(3)证明　由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，‎ ‎∴b＝－1－ac.‎ 又a＞0，c＞0，∴b＜－1.‎ 二次函数f(x)的图象的对称轴方程为 x＝－＝＜＝x2＝，‎ 即－＜.又a＞0，‎ ‎∴b＞－2，∴－2＜b＜－1.‎