高考数学专题之排列组合综合练习

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高考数学专题之排列组合综合练习

‎1.从中选个不同数字,从中选个不同数字排成一个五位数,则这些五位数中偶数的个数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.五个同学排成一排照相,其中甲、乙两人不排两端,则不同的排法种数为( )‎ A.33 B.36 C.40 D.48‎ ‎3.某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师),其中甲和乙不能都去,甲和丙只能都去或都不去,则不同的选派方案有( )‎ A.900种 B.600种 C.300种 D.150种 ‎4.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们发言中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有__________种(用数字作答).‎ ‎5.有五名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲不能站在最左端,而乙必须站在丙的左侧(不一定相邻),则不同的站法种数为__________.(用数字作答)‎ ‎6.有个座位连成一排,现有人就坐,则恰有个空位相邻的不同坐法是__________.‎ ‎7.现有个大人,个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人,则不同的合影方法有__________种.(用数字作答)‎ ‎8.(2018年浙江卷)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)‎ ‎9.由0,1,2,3,4,5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数.‎ ‎10.将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中.‎ ‎(1)有多少种放法?‎ ‎(2)若每盒至多一球,则有多少种放法?‎ ‎(3)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?‎ ‎(4)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法?‎ 参考答案 ‎1.C ‎【解析】试题分析:第一步,先从3个奇数中选两个,第二步,从4个偶数中选择3个;第三步,从选出的偶数中选出一个放在个数;其余的数进行全排列即可,所以这些五位数中偶数的个数为,故选C.‎ 考点:1.组合问题;2.排列问题;3.两个计数原理.‎ ‎2.B ‎【解析】分析:现从剩余的三人中选取两人,排在队伍的两端,再排含有甲乙的三个人,即可得到答案.‎ 详解:由题意,现从剩余的三人中选取两人,排在队伍的两端,‎ 再排含有甲乙的三个人,共有种不同的排法,故选B.‎ 点睛:本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用,有关排列组合的综合问题,往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题,解答这类问题理解题意很关键,一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”,在应用分类计数加法原理讨论时,既不能重复交叉讨论又不能遗漏,这样才能提高准确率.在某些特定问题上,也可充分考虑“正难则反”的思维方式.‎ ‎3.B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两步进行,先从8名教师中选出4名,因为甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,所以可按选甲和不选甲分成两类,由分类计数原理可得这一步的情况数目,再把四名老师分配去4个边远地区支教,对四名教师进行全排列即可,最后,由分步计数原理,计算可得答案.‎ ‎【详解】‎ 第一类,甲去,则丙一定去,乙一定不去,再从剩余的5名教师中选2名,有(种)不同选法,‎ 第二类,甲不去,则丙一定不去,乙可能去也可能不去,从6名教师中选4名,有(种)不同选法,‎ 所以不同的选派方案共有(10+15)(种).‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)解排列组合问题要遵循两个原则:一是按元素(或位置)的性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).‎ ‎(2)不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法.‎ ‎4.120‎ ‎【解析】分析:先选一个插入甲乙之间(甲乙需排列),再选一个排列即可.‎ 详解:先从除了甲乙以外的6人中选一人,安排在甲乙中间,有种,‎ 最后再选出一人和刚才的三人排列得:.‎ 故答案为:120.‎ 点睛:求解排列、组合问题常用的解题方法:‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”;(2)元素相间的排列问题——“插空法”;(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”;(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.‎ ‎5.48‎ ‎【解析】由题意可得: ‎ 则不同的站法种数为 ‎6.‎ ‎【解析】分析:通过分类讨论两个相邻空位的分布不同情况解决问题:两个空位在两端,两个空位不在两端。‎ 详解:当相邻两个空位在两端时,必有一个人坐在空位旁边,余下两个人坐三个空位,‎ 则有 ‎ 当相邻两个空位不在两端时,有三种情况,必有两人坐在空位旁边,余下一人坐两个空位中的一个,则有 ‎ 所以共有+=72‎ 所以不同做法共有72种。‎ 点睛:本题考查了排列组合问题的综合应用,对问题分清条理,分类清晰,步骤明确是解决这类问题的关键,属于中档题。‎ ‎7.‎ ‎【解析】分析:根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论:第一类:2个小孩在一起,第二类小孩都不相邻.分别计算求和即可得出结论。‎ 详解:根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论:第一类:2个小孩在一起:,第二类:小孩都不在一起:,故不同的合影方法有216+144=360种,故答案为360‎ 点睛:考查计数原理和排列组合的综合,对于此类题首先要把题意分析清楚,分清楚所讨论的类别,再根据讨论情况逐一求解即可,注意计算的准确性.‎ ‎8.1260.‎ ‎【解析】分析:按是否取零分类讨论,若取零,则先排首位,最后根据分类与分步计数原理计数.‎ 详解:若不取零,则排列数为若取零,则排列数为 因此一共有个没有重复数字的四位数.‎ 点睛:求解排列、组合问题常用的解题方法:‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”;(2)元素相间的排列问题——“插空法”;(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”;(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.‎ ‎9.156‎ ‎【解析】分析:可分当末位为和末位不为两种情况分类讨论,再根据分类计数原理求得结果.‎ 详解:可分为两类:‎ ‎(1)当末位为时,可以组成个;‎ ‎(2)当末位是或时,则首位有四种选法,中间可以从剩余的个数字选取两个,‎ 共可以组成种,‎ 由分类计数原理可得,共可以组成个没有重复数字的四位偶数.‎ 点睛:本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理的应用,着重考查了分类的数学思想方法,对于数字问题是排列中常见到的问题,条件变换多样,把排列问题包含数字问题时,解答的关键是看清题目的实质,注意数列字的双重限制,即可在最后一位构成偶数,由不能放在首位.‎ ‎10.(1)256;(2)24;(3)144;(4)8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)1号小球可放进任意一个盒子里,故4种放法,2、3、4号小球也可任意放进一个盒子里,故各4种放法,根据分步计数原理,共44=256种放法;‎ ‎(2)每盒至多一球,即每个盒子中一个球,是全排列问题;‎ ‎(3)四个球放三个盒子,即有两个球在一个盒子里,进而求解;‎ ‎(4)首先任选一球放进编号相同的盒子,有C41种放法,其余球任放进一个盒子里,且使得编号不同,有2种放法,即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)每个小球都可能放入四个盒子中的任何一个,将小球一个一个放入盒子,共有4×4×4×4=44=256(种)放法.‎ ‎(2)这是全排列问题,共有A44=24(种)放法.‎ ‎(3)先取四个球中的两个“捆”在一起,有C42种选法,把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子, 有A43种投放方法,所以共有C42A43=144(种)放法.‎ ‎(4)一个球的编号与盒子编号相同的选法有C41种,当一个球与一个盒子的编号相同时,用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种,故共有C41×2=8(种)放法.‎ ‎【点睛】‎ 在计数过程中,首先要确定要完成一件什么事,并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”,求每“类”或每“步”中不同方法的种数;再利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数.‎
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