上海市崇明区高考数学一模试卷

上海市崇明区高考数学一模试卷

‎2018年上海市崇明区高考数学一模试卷 ‎　‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）‎ ‎1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=　 　．‎ ‎2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为　 　．‎ ‎3．（4分）不等式＜0的解是　 　．‎ ‎4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=　 　．‎ ‎5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是　 　．（用数字作答）‎ ‎6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=　 　．‎ ‎7．（5分）若函数f（x）=xa的反函数的图象经过点（，），则a=　 　．‎ ‎8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为　 　cm2．‎ ‎9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=　 　．‎ ‎10．（5分）若无穷等比数列{an}的各项和为Sn，首项 a1=1，公比为a﹣，且 Sn=a，则a=　 　．‎ ‎11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有　 　种不同的选法．（用数字作答）‎ ‎12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=　 　．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）‎ ‎13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（　　）‎ A．＜ B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b ‎15．（5分）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（　　）‎ A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）‎ ‎17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，‎ ‎（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；‎ ‎（2）求异面直线A1B与 B1D1所成角的大小．‎ ‎18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．‎ ‎（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；‎ ‎（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角 A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．‎ ‎19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第 n （n∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．‎ ‎（1）试求 f （n）的表达式；‎ ‎（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．‎ ‎20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．‎ ‎（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；‎ ‎（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；‎ ‎（3）若a=2，且kOA•kOB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．‎ ‎21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成 立，则称函数f（x）在其定义域 D上是“k﹣利普希兹条件函数”．‎ ‎（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；‎ ‎（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；‎ ‎（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有 ‎|f（x1）﹣f（x2）|≤1．‎ ‎　‎ ‎2018年上海市崇明区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）‎ ‎1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=　3　．‎ ‎【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，‎ A∪B={1，2，3，5}，‎ ‎∴a=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为　（1，0）　．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，‎ p=2∴焦点坐标为：（1，0）‎ 故答案为：（1，0）‎ ‎　‎ ‎3．（4分）不等式＜0的解是　（﹣1，0）　．‎ ‎【解答】解：不等式＜0，即 x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，‎ 故答案为：（﹣1，0）．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=　1﹣i　．‎ ‎【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i 故答案为：1﹣i．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是　21　‎ ‎．（用数字作答）‎ ‎【解答】解：（x﹣）7的展开式的通项为=，‎ 由7﹣3r=1，得r=2，‎ ‎∴一次项的系数是．‎ 故答案为：21．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=　2　．‎ ‎【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知 函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是 T==π，解得ω=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若函数f（x）=xa的反函数的图象经过点（，），则a=　　．‎ ‎【解答】解：若函数f（x）=xa的反函数的图象经过点（，），‎ 则：（，）满足f（x）=xα，‎ 所以：，‎ 解得：，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为　18π　cm2．‎ ‎【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，‎ 设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为 V=πa2•a=27π，‎ 解得a=3cm；‎ ‎∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．‎ 故答案为：18π．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=　﹣　．‎ ‎【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，‎ ‎∴x＞0时，﹣f（x）=2﹣x﹣a（﹣x），‎ ‎∴f（x）=﹣2﹣x﹣ax，‎ ‎∵f（2）=2，‎ ‎∴f（2）=﹣2﹣2﹣2a=2，‎ 解得a=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）若无穷等比数列{an}的各项和为Sn，首项 a1=1，公比为a﹣，且 Sn=a，则a=　2　．‎ ‎【解答】解：无穷等比数列{an}的各项和为Sn，首项 a1=1，公比为a﹣，‎ 且 Sn=a，‎ 可得=a，即有=a，‎ 即为2a2﹣5a+2=0，‎ 解得a=2或，‎ 由题意可得0＜|q|＜1，‎ 即有0＜|a﹣|＜1，‎ 检验a=2成立；a=不成立．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有　780　种不同的选法．（用数字作答）‎ ‎【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论：‎ ‎①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C53C31=30种选法，‎ 这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，‎ 此时有30×12=360种不同的选法，‎ ‎②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C52C32=30种选法，‎ 这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，‎ 此时有30×12=360种不同的选法，‎ ‎③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C51C33=5种选法，‎ 这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，‎ 此时有5×12=60种不同的选法，‎ 则一共有360+360+60=780；‎ 故答案为：780．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=　4　．‎ ‎【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，‎ 设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC=α，‎ 由||=2，知A（﹣a+2cosα，2sinα），‎ ‎∴=（a﹣2cosα，b﹣2sinα），‎ ‎=（2a，0），‎ ‎∴•=2a（a﹣2cosα）+0=2a2﹣4acosα=6，‎ ‎∴a2﹣2acosα=3；‎ 又=（2a﹣2cosα，﹣2sinα），‎ ‎∴=（2a﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2‎ ‎=4a2﹣8acosα+4‎ ‎=4（a2﹣2acosα）+4‎ ‎=4×3+4‎ ‎=16，‎ ‎∴||=4，即AC=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）‎ ‎13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，‎ 由题意得，=ad﹣bc．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（　　）‎ A．＜ B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b ‎【解答】解：由a＞b，利用指数函数的单调性可得：2a＞2b．‎ 再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解答】解：∵S4+S6＞2S5，‎ ‎∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），‎ ‎∴21d＞20d，‎ ‎∴d＞0，‎ 故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，‎ 故选：C ‎　‎ ‎16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（　　）‎ A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2‎ ‎【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．‎ 把x=2代入上述方程可得：y=±1．‎ 不妨取A（2，1），B（2，﹣1）．‎ ‎=a+b=（2a+2b，a﹣b）．‎ 代入双曲线方程可得：﹣（a﹣b）2=1，‎ 化为ab=．‎ ‎∴=ab，化为：|a+b|≥1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）‎ ‎17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，‎ ‎（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；‎ ‎（2）求异面直线A1B与 B1D1所成角的大小．‎ ‎【解答】解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，‎ ‎∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，‎ ‎∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，‎ ‎∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，‎ ‎∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，‎ ‎∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4，‎ ‎∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：‎ V===．‎ ‎（2）∵BD∥B1D1，‎ ‎∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．‎ ‎∵BD=，A1D=A1B==2，‎ ‎∴cos∠A1BD===．‎ ‎∴∠A1BD=arccos．‎ ‎∴异面直线A1B与 B1D1所成角是arccos．‎ ‎　‎ ‎18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．‎ ‎（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；‎ ‎（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角 A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．‎ ‎【解答】解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）‎ ‎（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；‎ ‎（2）由f（）=，即2sin（A+）=‎ 可得sin（A+）=‎ ‎∵0＜A＜π ‎∴＜A＜‎ ‎∴A=或 ‎∴A=或 当A=时，cosA==‎ ‎∵a=，b=，‎ 解得：c=4‎ 当A=时，cosA==0‎ ‎∵a=，b=，‎ 解得：c=2．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第 n （n∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．‎ ‎（1）试求 f （n）的表达式；‎ ‎（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），‎ 第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×‎ ‎=（千万元）．‎ ‎∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．‎ ‎（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，‎ ‎∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；‎ 当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．‎ 又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23‎ ‎≈25﹣23=2＞0．‎ ‎∴该项目将从第8年开始并持续赢利．‎ 答：该项目将从2023年开始并持续赢利；‎ 方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，‎ 令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．‎ 从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；‎ 当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．‎ 又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．‎ ‎∴该项目将从第8年开始并持续赢利．‎ 答：该项目将从2023年开始并持续赢利．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．‎ ‎（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；‎ ‎（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；‎ ‎（3）若a=2，且kOA•kOB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．‎ ‎【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，‎ ‎∴△MF1F2为等腰直角三角形，‎ ‎∴OF1=OM，‎ 当a＞1时，=1，解得a=，‎ 当0＜a＜1时，=a，解得a=，‎ ‎（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），‎ 由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1x2=，‎ ‎∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，‎ ‎∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，‎ ‎∴•=0，‎ ‎∴x1x2+y1y2=0，‎ ‎∴+=0，‎ ‎∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0‎ ‎∴m2（a2+1）=2a2，‎ ‎（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，‎ 设A（x1，y1），（x2，y2），‎ ‎∵kOA•kOB=﹣，‎ ‎∴•=﹣，‎ ‎∴x1x2=﹣4y1y2，‎ 由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2‎ ‎=++m2=，‎ ‎∴=﹣4×，‎ ‎∴2m2﹣4k2=1，‎ ‎∴|AB|=•=•‎ ‎=2•=‎ ‎∵O到直线y=kx+m的距离d==，‎ ‎∴S△OAB=|AB|d==•==1‎ ‎　‎ ‎21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成 立，则称函数f（x）在其定义域 D上是“k﹣利普希兹条件函数”．‎ ‎（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；‎ ‎（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；‎ ‎（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有 ‎|f（x1）﹣f（x2）|≤1．‎ ‎【解答】解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，‎ ‎ 不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．‎ ‎∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，‎ ‎∴k的最小值为 ．‎ ‎（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），‎ 令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，‎ 而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，‎ ‎∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．‎ 证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，‎ 则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．‎ 若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．‎ 若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，‎ ‎∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．‎ 综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．‎ ‎　‎