新课程标准下解析几何高考考情解读

新课程标准下解析几何高考考情解读

新课程标准下《解析几何》高考考情解读 一．考情概述 1. 考试要求 内容 考试说明（理科）‎ 考试说明（文科）‎ 必修2，第二章：平面解析几何初步 ‎1．直线与方程 ‎（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．‎ ‎（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．‎ ‎（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．‎ ‎（4）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系．‎ ‎（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．‎ ‎（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．‎ ‎2．圆与方程 ‎（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．‎ ‎（2）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．‎ ‎（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．‎ ‎（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想．‎ ‎3．空间直角坐标系 ‎　（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．‎ ‎　（2）会简单应用空间两点间的距离公式．‎ ‎1．直线与方程 ‎（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．‎ ‎（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．‎ ‎（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．‎ ‎（4）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系．‎ ‎（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．‎ ‎（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．‎ ‎2．圆与方程 ‎（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．‎ ‎（2）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．‎ ‎（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．‎ ‎（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想．‎ ‎3．空间直角坐标系 ‎　（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．‎ ‎　（2）会推导空间两点间的距离公式．‎ 选修2-1，第三章：圆锥曲线与方程（理）‎ 选修1-1‎ ‎（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．‎ ‎（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质（范围、对称性、定点、离心率）．‎ ‎（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．‎ ‎（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．‎ ‎（3）了解双曲线、抛物线 ‎，圆锥曲线与方程（文）‎ ‎（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、定点、离心率、渐近线）．‎ ‎（4）了解曲线与方程的对应关系 ‎（5）理解数形结合的思想 ‎（6）了解圆锥曲线的简单应用．‎ 的定义、几何图形、标准方程，知道它的简单几何性质．‎ ‎（4）理解数形结合的思想．‎ ‎（5）了解圆锥曲线的简单应用．‎ 选修4-4，坐标系与参数方程 ‎（1）了解坐标系的作用．‎ ‎（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎（3）能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎（4）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程．通过比较这些图形的极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．‎ 没有要求．‎ 1. 近三年新课程标各省《解析几何》高考分值表（理科）‎ ‎*从考试要求看，新考纲更加注重数学知识本身的认知规律，强调基本知识与基本技能，注重通性通法，教材的编写贯彻了新课标“反复出现、螺旋上升”的新理念．‎ ‎ *从各省的《标准》卷看，分值的分布都比较稳定，题型都是一大几小，加重了解析几何知识与其他知识的融合，与考试要求相吻合．‎ 二．考情分析 ‎（一）基本的解题思想 ‎1．函数与方程思想 函数的思想就是运用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立或构造函数，再运用函数的图像和性质，从而使问题获得解决．‎ 方程的思想就是从问题的数量关系入手，将问题中的条件转化为数学模型——方程或方程组，然后通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题使问题获得解决．‎ 例1（2012广东理）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率，且椭圆上的点到点的距离的最大值为3．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在椭圆上，是否存在点，使得直线：与圆：‎ 相交于不同的两点、，且△的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的△的面积；若不存在，请说明理由．‎ 思路：（1）建立函数关系求最值；（2）离心率条件要先用．‎ 解析：（1）由可得，因为，所以，即 所以椭圆的方程为：‎ 设椭圆上的一动点，‎ 则 ① 若，当时，，解得 ‎② 若，‎ 综合①②，，所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）假设在椭圆上，存在点满足题意，则 在△中，，‎ 所以当时，有最大值，‎ 此时，点到直线的距离 ‎ 即，‎ ‎ ， ‎ ‎ 所以在椭圆上存在点，使得直线与圆相交于不同的两点 ‎、，且△的面积最大，最大值为．‎ ‎2．数形结合思想 数形结合思想是根据”数”与”形”之间的对应关系，通过相互转化来解决问题，华罗庚教授写了一首诗：“数与形，本是相倚依，焉然分作两边飞，数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数与形，永远结合，切莫分离”．非常形象地阐述了“以形助数”“以数解形”的关系，它是优化解题的重要思想方法．‎ 例2（2011江西理）若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）‎ ‎ A．（，） B．（，0）∪（0，）‎ ‎ C．[，] D．（，）∪（，+）‎ 本题的本质是一圆与两直线有四个交点，画出图形，即可得出答案B．‎ ‎3．分类与整合思想 分类与整合是一种非常重要的逻辑方法与数学思想，它需要有一定的分析能力与分类技巧，有利于培养学生思维的条理性和概括性．‎ ‎（2009全国Ⅱ文22）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为．‎ ‎ （Ⅰ）求，的值；‎ ‎ （Ⅱ）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？‎ 若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由．‎ 解析：（Ⅰ）设，直线，由坐标原点到的距离为 ‎ 则，解得 ．又．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆的方程为．设、‎ 由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设 ‎ 代入椭圆的方程中整理得，显然．‎ 由韦达定理有：．．．．．．．．①‎ 假设存在点P，使成立，则其充要条件为：‎ 点，点P在椭圆上，即．‎ 整理得．w．w．w．k．s．5．u．c．o．m ‎ 又在椭圆上，即．‎ 故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②‎ 将及①代入②解得 ‎,=,即．‎ 当;‎ 当．‎ ‎4．转化与化归思想 转化与化归思想就是借助数学各知识间的联系，根据已知条件将数学命题由一种形式向另一种形式转化，回归到一类已经解决或比较容易解决的问题，它是中学数学最基本的思想方法．‎ ‎《解析几何》中的转化与化归思想，要体现在轨迹条件坐标化，把图形条件转化为坐标条件，几乎所有的解析几何大题都要用到此思想．‎ 例4（2012重庆理20）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为，线段，的中点分别为，且△ 是面积为4的直角三角形．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过 做直线交椭圆于P，Q两点，使，求直线的方程．‎ 解析：（Ⅰ）设所求椭圆的标准方程为 ‎，右焦点为，‎ 因是直角三角形，又,‎ 故为直角，因此,得．‎ 结合得，故，所以离心率．‎ ‎ 在中，，故 由题设条件，得，从而．‎ 因此所求椭圆的标准方程为：．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由题意知直线的倾斜角不为0，故可设直线的方程为：，代入椭圆方程得，‎ ‎ 设，则是上面方程的两根，因此 ‎,‎ 又，所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由,得,即，解得，‎ 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：和．‎ ‎5．特殊与一般思想 在解答数学问题时，把题中变化的若干变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特定图形、特殊方程、特殊模型）代替．即可得到问题的结论，再由特殊到一般，用数学方法论证在一般情况下也成立，这就是特殊与一般思想．在解数学选择题时，由选择题题型的特殊性，只完成第一步就可得出答案．‎ 例5（2012湖北理21）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足 ‎． 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； ‎ ‎（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点． 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（Ⅰ）如图1，设，，则由，‎ 可得，，所以，． ①‎ 因为点在单位圆上运动，所以． ②‎ 将①式代入②式即得所求曲线的方程为． ‎ 因为，所以 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，；‎ 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，． ‎ ‎（Ⅱ）解法1：如图2、3，，设，，则，，‎ 直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得 ‎．‎ 依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得 ‎，即．‎ 因为点H在直线QN上，所以．‎ 于是，． ‎ 而等价于，‎ 即，又，得， ‎ A y 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有． ‎ ‎ ‎ M ‎ ‎ O D x 图1‎ 图2 ‎ 图3 ‎ 解法2：如图2、3，，设，，则，，‎ 因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得 ‎． ③ ‎ 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，‎ 故． 于是由③式可得 ‎． ④‎ 又，，三点共线，所以，即． ‎ 于是由④式可得．‎ 而等价于，即，又，得，‎ 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有．‎ 在做此题之前，我们怎么知道时不存在呢？是否两种都要做？其实我们一可以从图形发现；二可以淡化分类，从方程入手；三是先取，求出，再证当时，对，均有．‎ ‎(二)基本解题方法 ‎1．联立方程法 联立方程法是《解析几何》中最基本、适用范围最广的一种方法，一般考虑把直线方程与圆锥曲线方程联立组成方程组，通过消去一个未知数得到一元二次方程，利用韦达定理，结合其他条件去解决问题．‎ 联立方程法几乎适合所有的解析几何题．‎ ‎2．点差法 设一圆锥曲线（，且，不全为负数）上两点，，则，上式下式并整理得：‎ 设线段的中点，即（）‎ 则．‎ 这说明已知中点的坐标可求出的斜率，已知的斜率可得出中点的坐标之间的关系，这就是所谓的“点差法”．‎ 点差法主要适用于直线与圆锥曲线相交时，有关线段中点与斜率的问题，解答过程非常简洁．‎ ‎3．点坐标法 已知抛物线（），我们可设抛物线上的点，这样非常直观明了，变量也更少，便于把握及运算，这就是所谓的“点坐标法”，它适合于抛物线，椭圆与双曲线很难适用．‎ 例6（2011浙江理21）已知抛物线:，圆:的圆心为点M ‎（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；‎ ‎（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程．‎ ‎ 解（I）由题意可知，抛物线的准线方程为： ‎ 所以圆心M（0，4）到准线的距离是 ‎（II）设，‎ 则题意得，‎ 设过点P的圆C2的切线方程为，‎ 即 ①‎ 则 即，‎ 设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以 将①代入 由于是此方程的根，‎ 故，所以 由，得，‎ 解得 即点P的坐标为，‎ 所以直线的方程为．‎ ‎*本题的点、、的设法就是点坐标法，这样减少了变量，便于计算和把握．‎ 处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．‎ 处理解析几何问题，我们总是要设许多的量、，、，、---等。但最终都要把它们化掉，这种设而不求思想贯穿解题过程的始终。‎ 解析几何问题虽然繁琐复杂，但总有规律可循：联立方程求交点、韦达定理求弦长，根的分布定范围，曲线定义不能忘，引参用参巧解题，数形结合思路明，设而不求方法好，一点破译全局活。‎ ‎（三）《圆锥曲线》中的“动中有静”问题 ‎1．以过椭圆的焦点弦为直径的圆与椭圆的相应准线相离；‎ 以过双曲线的焦点弦为直径的圆与椭圆的相应准线相交；‎ 以过抛物线的焦点弦为直径的圆与椭圆的相应准线相切；‎ ‎2．过椭圆（）的右焦点的直线与椭圆相交于、两点，在右准线上，且轴，为右准线与轴的交点，则直线恒过线段的中点．‎ ‎*双曲线（、在同一支上），抛物线均有类似的性质．‎ ‎3．过椭圆（）的左焦点作任意一条与两坐标轴都不垂直的弦，若为椭圆左准线与轴的交点，则恒为的内角平分线．‎ ‎*双曲线（、在同一支上），抛物线均有类似的性质．‎ ‎4．设、是椭圆（）的左右焦点，是椭圆上一动点，由向的外角平分线做垂线，垂足为，则点的轨迹方程为：．‎ ‎*设、是双曲线（，）的左右焦点，是椭圆上一动点，从向的内角平分线做垂线，垂足为，则点的轨迹方程为：．‎ ‎5．已知是椭圆（）上任意一点，、是左右焦点，点为的内心，延长线段交轴与点，则．‎ ‎*已知是双曲线（，）上任意一点，、是左右焦点，则的内切圆与轴相切与定点．‎ ‎ ‎ ‎6． 椭圆：（）的动弦与轴垂直，、是椭圆与轴的两个交点，则直线与的交点的轨迹方程是：（排除、两点）．‎ ‎*若把和互换，则命题也成立．‎ ‎7． 已知椭圆（），为椭圆上任意异于左右顶点的点，、是椭圆与轴的两个交点，则．‎ ‎*若、是椭圆与轴的两个交点，则仍然成立．‎ ‎*已知双曲线（，），为双曲线上任意异于左右顶点的点，、是双曲线与轴的两个交点，则．‎ ‎8．已知椭圆（），其右准线交轴与点，左右顶点分别为、，是上任意一点，直线、与椭圆的另一个交点分别为、，则直线恒过右焦点．‎ ‎9．已知、为椭圆（）上两个动点，且，‎ 则．‎ ‎10．若点为椭圆（）左准线与轴的交点，椭圆的左焦点为，过点作一直线交椭圆于、两点．关于轴对称的点为，则恒过左焦点．‎ ‎11．动直线与双曲线（，）及其渐近线交于、、、四点，则．（、在同一支上结论仍然成立）．‎ ‎12．动直线与双曲线：（，）的左、右两支分别交于、两点，与双曲线的由准线相交于点，为右焦点，则恒为的内角平分线．‎ ‎13．已知点为双曲线：（，）上除顶点外的任意一点，、是左右焦点，，，则（其中）．‎ ‎14．已知双曲线：（，），过其左焦点的直线交双曲线与、两点，交轴与点，设，则．‎ ‎15．已知点，为抛物线（）上任意两点，‎ 则（为定值）直线恒过定点．‎ 动中有静，变化中的不变是数学研究中的一大问题，也是高考的热点之一，仔细研究这些年的高考题，大家应深有体会．‎ 三．教学建议 1. 关注教材与考试要求的变化 1） 新教材删减的内容 ‎①两条直线的交角；②椭圆的第二定义、准线与非标准的椭圆方程；‎ ‎③双曲线的第二定义、准线及非标准的双曲线方程；‎ ‎④圆锥曲线的参数方程到《选修4-4》．‎ 2） 新教材增加的内容 ‎①极坐标系的有关概念（理科）‎ ‎②直线与圆锥曲线的参数方程（理科）‎ ‎③两种坐标下的量的转化 3） 降低了考试要求的内容 ‎①“双曲线”的考试要求从“理解“降低为“了解“‎ ‎②“抛物线“的考试要求从“理解“降低为“了解“（文科）‎ ‎③曲线与方程的概念降低了考试要求．‎ 4） 提高了考试要求的内容：‎ ‎①更突出思想方法的灌输，注重培养学生的能力．‎ ‎②突出了怎样用定义．‎ 2. 教学中要重点关注的问题 1） 把握好新《课程标准》，吃透教材．‎ 2） 夯实双基，回归本原（章建跃教授说过：数学最本原的东西是概念）‎ 3） 注重数学思想方法的灌输 4） 拓展学生解题思路，培养学生解决问题的能力 5） 重视教学反思，加强归纳总结．‎ 四．2013年高考《解析几何》趋势与展望 ‎1．题量保持在2-3个小题，一个解答题，分值22-28分．‎ ‎2．难度和这两年持平，从考试院来的消息说今年理科的难度系数比较恰当．‎ ‎3．关注直线与圆锥曲线的基本问题，把握好基本的解题技巧与方法．‎ ‎4．注重直线与圆锥曲线的位置关系问题，把握好有关弦长、面积、最值、不动点、参数、轨迹等问题．‎ ‎5．关注以解析几何知识为载体，结合向量、导数、不等式、平面几何等知识，构成知识交汇的问题．‎ 最后谈一谈与陶平生教授交流的一些体会，陶教授谈了他多年来的命题思路与构想．‎ 1. 逆向推演，顺瓜摸藤 2. 意料之外、情理之中 3. 旁敲侧击、暗度陈仓 4. 联想类比、由此及彼 5. 运用之妙、存乎一心（七心）‎ 6. 小中见大，得陇望蜀 7. 移花接木，适度转换 1. 居高临下，因流溯源．‎ 2. 标新立异，借题发挥 3. 寓题于乐，玩出新意（王元教授“数学竞赛好”）‎ 题目是：此中有真意，欲辩无忘言 结尾是：曲终人不见，江上数峰青 本讲座参考了戴佳珉老师主编的《普通高中课程标准数学高考考情解读》（北师大出版社出版）．黄根发老师、陶平生老师的一些文章与讲座，在此表示感谢．‎ ‎ 谢谢大家！‎ 江西省临川二中尧林华 ‎ 2012．09．02‎