高考数学总复习二项式定理

高考数学总复习二项式定理

第四节 ‎ 二项式定理 考纲解读 1. 能用计数原理证明二项式定理.‎ 2. 会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题.‎ 命题趋势探究 1. 高考对本节内容的考查常以选择题或填空题的形式出现，并且高于中等偏易试题.‎ 2. 主要考查内容是：①利用通项求解展开式中的某指定项；②利用二项式特别是的展开式求解系数或求某些类似于二项展开式的式子的值；③二项式系数的有关问题.‎ 知识点精讲 一、二项式定理 ‎ .‎ 展开式具有以下特点：‎ ‎（1）项数：共项.‎ ‎（2）二项式系数：依次为组合数.‎ ‎（3）每一项的次数是一样的，都为次，展开式依的降幂、的升幂排列展开.特别地，.‎ 二、二项式展开式的通项（第项）‎ ‎ 二项式展开的通项为.其中的二项式系数.令变量（常用）取1，可得的系数.‎ 注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点：‎ ①分清是第项，而不是第项；‎ ②在通项公式中，含这6个参数，只有是独立的，在未知的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求和.‎ 三、 二项式展开式中的系数 ‎ （1）二项式系数与项的系数 ‎ 二项式系数仅指而言，不包括字母所表示的式子中的系数.例如：的展开式中，含有的项应该是，其中叫做该项的二项式系数，而的系数应该是（即含项的系数）.‎ （2） 二项式系数的性质 ‎ ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 ‎，…，.‎ ‎ ②二项展开式中间项的二项式系数最大.‎ ‎ 如果二项式的幂指数是偶数，中间项是第项，其二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项，它们的二项式系数和相等并且最大.‎ ‎（3）二项式系数和与系数和 ①二项式系数和 .‎ 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，‎ ‎ .‎ ②系数和 求所有项系数和，令；求变号系数和，令；求常数项，令。‎ 题型归纳及思路提示 题型172 二项式定理展开式的应用 思路提示 对二项展开式的认识不仅要关注展开式中对各项的特点，更重要的是要理解等式两边的关系，右边是左边个因式积的结果，而左边是右边各项和的结果，这就为此类问题的解决提供了思考的方向和解决的思路。‎ 例12.30 用计数原理证明：‎ ‎ .‎ 解析: ，其展开式的通项为，是由个中的个中每一个取，个中每一个取相乘取得的，这样的取法（只需从个中取，自然剩余个中取）共有种，即 .‎ 故 ‎ 变式1 在的展开式中，的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 变式2 在的展开式中，的系数为________（用数字作答）.‎ 变式3 的展开式中整理后的常数项为_________（用数字作答）.‎ 题型173 二项展开式通项的应用 思路提示 二项展开式的通项从微观角度反映了二项展开式的全貌，是展开式的缩影，它可以用于求二项展开式的任意指定项及其系数等。‎ 例12.31 （1）（2012安徽理7）的展开式的常数项是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎(2)展开式中的系数为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ 解析：（1）利用计数原理求解，当左边因式取2，所得常数项为，当左边因式取， 所得常数项为，故展开式中常数项为 ，故选. ‎ ‎ .故展开式中含的项 .故选.‎ 变式1 展开式中的系数为_________。‎ 变式2 展开式中的常数项为_____________。‎ 变式3 已知的展开式中没有常数项，，且，=_____.‎ 例12.32 （1）求证： .‎ ‎（2）求证：.‎ 解析 （1）因为，又，，所以展开式至少有4项，即 .证毕.‎ ‎（2）首先，显然有 ‎ ；同时 （至少有3项），故有.‎ 变式1 ，.求证：.‎ 变式2 求证： .‎ 变式3 对于，求证：. ‎ 例12.33 (1)展开式中的系数为，=________.‎ ‎(2)(2012重庆理4)的展开式中常数项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 解析 （1），令x=1得系数为，的幂，由展开式中的 的系数为，得， 。‎ ‎，令，得r=4，即常数项为.故选B。‎ 变式1 的展开式中含的项的系数为____________(用数字作答)。‎ 变式 2 设二项式()的展开式中的系数为A，常数项为B，若B=4A，则的值为___________。‎ 变式 3 展开式中与的系数和为____________(用数字作答)。‎ 例12.34 展开式中系数为有理数的项共有________项。‎ 解析：=()依题意，为4的整数倍，.故展开式中系数为有理项的项共有6项。‎ 变式1 的第三项和第二项系数之比为11：2，求展开式中有理项有多少个？‎ 变式2 (为有理数)，则=（ ） ‎ A. 45 B. 55 C. 70 D. 80‎ 变式3 展开式中存在常数项，正整数的最小值为__________.‎ 题型174 二项展开式的系数和问题 思路提示 有关系数和的问题不仅要注意二项式系数和的结果，重要的是研究二项式系数所用的方法即赋值法，这里就需要读者根据题目结合已知条件进行赋值。‎ 例12.35 已知=.求 ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）.‎ 解析 令，则①‎ 令，则.②‎ ‎(1)因为，所以.‎ ‎(2)(①-②)2得.‎ ‎(3) (①+②)得 ‎(4) 解法一：因为展开式中大于零，而小于零，所以=（）（）=2187.‎ 解法二：即为展开式中各项的系数和，故只需要对中令即可得的值等于=2187.‎ 评注： 求关于展开式中的系数和问题，往往根据展开式的特点给其中字母一些特殊的数值，如1，-1等，此即赋值法。‎ 变式1 已知二项展开式，则=______________.‎ 变式2 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）‎ A. -40 B. -20 C. 20 D. 40‎ 例12.36 若=（），则的值为（ ）‎ A. 2 B. 0 C. -1 D. -2‎ 解析：在二项式展开式中，令，得，令得 ‎，所以，故选C.‎ 变式1 已知=.若，那么自然数的值为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ 变式2 若，则=____________.‎ 题型175 二项展开式中系数或项的最大、最小问题 思路提示 ‎ 二项式系数最大（小）问题按前述“知识点精讲”原理求解.系数或项的最大、最小问题需按该项大于（或小于）等于相邻两项，列不等式组求解。‎ 例12.37 展开式中：‎ ‎（1）只有第7项的二项式系数最大，则=___________;‎ ‎（2）第7项二项式系数取最大值，= _____________.‎ 分析：只有一项的二项式系数最大是偶数；有两项二项式系数最大是奇数。‎ 解析：（1）=只有二项式系数最大，为偶数，最大值为，，得. (2)当为偶数时，；当为奇数时，最大二项式系数为和或或.所以。‎ 变式1 求展开式的系数最大项和最小项。‎ 变式2 求展开式中二项式系数最大项数和系数最大项数。‎ 最有效训练题52（限时30分钟）‎ ‎1.的二项展开式中，的系数为（ ）‎ A. 10 B.-10 C.40 D. -40‎ ‎2. (其中且)展开式中，与的系数相等，则=（ ）‎ A. 6 B. 7 C.8 D. 9‎ ‎3的展开式中，的系数为10，则实数等于（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎4. 的展开式中的常数项为（ ）‎ A. -24 B. -6 C. 6 D.24‎ ‎5.若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（ ）‎ A. -84 B. 84 C. -36 D. 36‎ ‎6. 设=，则的值为（ ）‎ A. 2 B. -1 C. -2 D. 1 ‎ ‎7. 若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的的系数为__‎ ‎8. 的二项展开式中，的系数与的系数之差为___________.‎ ‎9. 已知，若数列（）是一个单调递增数列，则的最大值为____________.‎ ‎10. 若，其中，则实数的值为_________;的值为____________.‎ ‎11. ‎ ‎12. 。‎ ‎（1） 若，求的值； ‎ ‎（2） 若，求中含的项的系数；‎ ‎（3） 证明：‎