河南省高考理科数学试题及答案

河南省高考理科数学试题及答案

‎2012年全国卷新课标——数学理科 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎ 1. 已知集合，，则中所含元素的个数为 ‎ A. 3 B. 6 C. 8 D. 10‎ ‎ 2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ‎ A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种 ‎ ‎ 3. 下面是关于复数的四个命题：‎ ‎ ‎ ‎ 的共轭复数为 的虚部为 ‎ 其中的真命题为 ‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎4. 设是椭圆 的左右焦点，为直线上的一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 5. 已知为等比数列，，，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数和 ‎ 实数，输出，，则 ‎ A. 为的和 ‎ B. 为的算术平均数 13‎ ‎ C. 和分别是中最大的数和最小的数 ‎ D. 和分别是中最小的数和最大的数 ‎ 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 ‎ 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ‎ A. 6‎ ‎ B. 9‎ ‎ C. 12‎ ‎ D. 18‎ ‎ 8. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，，两点，，则的实轴长为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 9. 已知，函数在单调递减，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎10. 已知函数，则的图像大致为 13‎ ‎11. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎12. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎ 13.已知向量，夹角为，且，，则 .‎ ‎ 14. 设满足约束条件则的取值范围为 .‎ ‎ 元件1‎ ‎ 元件2‎ ‎ 元件3‎ ‎ 15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的 使用寿命（单位：小时）服从正态分布 ‎，且各元件能否正常工作互相独立，‎ 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .‎ ‎16. 数列满足，则的前60项和为 .‎ 三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎ 17. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知，，分别为三个内角，，的对边，.‎ ‎ (Ⅰ) 求；‎ ‎ (Ⅱ) 若，的面积为，求，.‎ ‎ 18. （本小题满分12分）‎ ‎ 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.‎ ‎ (Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量 13‎ ‎（单位：枝，）的函数解析式；‎ ‎ (Ⅱ) 花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.‎ ‎ （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；‎ ‎ （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.‎ ‎ 19. （本小题满分12分）‎ ‎ 如图，直三棱柱中，，是棱的中点，‎ ‎ (Ⅰ) 证明：‎ ‎ (Ⅱ) 求二面角的大小.‎ ‎ 20. （本小题满分12分）‎ ‎ 设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、两点 ‎ (Ⅰ) 若，面积为，求的值及圆的方程；‎ ‎ (Ⅱ)若、、三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到，的距离的比值.‎ ‎ ‎ ‎ 21. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ (Ⅰ) 求的解析式及单调区间；‎ ‎ (Ⅱ) 若，求的最大值 ‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.‎ 13‎ ‎ 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 ‎ 如图，，分别为边，的中点，直线交的 ‎ 外接圆于，两点.若，证明：‎ ‎ (Ⅰ) ；‎ ‎ (Ⅱ) .‎ ‎ 23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.正方形的顶点都在上，且，，，依逆时针次序排列，点的极坐标为.‎ ‎ (Ⅰ)点，，，的直角坐标；‎ ‎ (Ⅱ) 设为上任意一点，求的取值范围.‎ ‎ 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知函数.‎ ‎ (Ⅰ) 当时，求不等式的解集；‎ ‎ (Ⅱ) 的解集包含，求的取值范围.‎ ‎2012年全国卷新课标——数学理科答案 ‎ （1）【解析】选D.‎ 法一：按的值为1，2，3，4计数，共个；‎ ‎ 法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是，小的是，共种选法.‎ ‎（2）【解析】选A.‎ 只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共种安排方案.‎ ‎（3）【解析】选C.‎ ‎ 经计算， .‎ ‎（4）【解析】选C.‎ 13‎ 画图易得,是底角为的等腰三角形可得，即, 所以.‎ ‎（5）【解析】选D.‎ ‎,,或,成等比数列，.‎ ‎（6）【解析】选C.‎ ‎（7） 【解析】选B.‎ 由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，‎ ‎.‎ ‎（8） 【解析】选C.‎ 易知点在上，得，.‎ ‎（9）【解析】选A.‎ 由得，，‎ ‎.‎ ‎(10) 【解析】选B.‎ 易知对恒成立，当且仅当时，取等号.‎ ‎(11) 【解析】选A.‎ 易知点到平面的距离是点到平面的距离的2倍.显然是棱长为1的正四面体，其高为，故，‎ ‎(12) 【解析】选B.‎ ‎ 与互为反函数，曲线与曲线关于直线对称，只需求曲线上的点到直线距离的最小值的2倍即可.设点，点到直线距离.‎ ‎ 令，则.由得；由得 13‎ ‎，故当时，取最小值.所以，.‎ 所以.‎ ‎(13) 【 解析】.‎ 由已知得，‎ ‎，解得.‎ ‎(14) 【解析】.‎ 画出可行域，易知当直线经过点时，取最小值；当直线经过点时，取最大值3.故的取值范围为.‎ ‎(15) 【解析】 .‎ 由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.‎ ‎(16) 【解析】1830.‎ 由得，‎ ‎……①‎ ‎……②,‎ 再由②①得, ……③‎ 由①得, …‎ ‎…‎ 由③得, …‎ 13‎ 所以, .‎ ‎(17) 解：(Ⅰ)法一:由及正弦定理可得 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎，，‎ ‎ ‎ 法二:由正弦定理可得，由余弦定理可得 .‎ 再由可得，， ‎ 即，‎ ‎ ‎ ‎，即，，‎ ‎， ，，‎ ‎ ‎ ‎ (Ⅱ)，，，‎ ‎， ， .‎ 解得.‎ 13‎ ‎(18) 解：(Ⅰ) （）；‎ ‎(Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，的分布列为 ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.7‎ 的数学期望=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，‎ 的方差=60-76×0.1+70-76×0.2+80-76×0.7=44.‎ ‎（ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，的分布列为 ‎55‎ ‎65‎ ‎75‎ ‎85‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.16‎ ‎0.54‎ 的数学期望=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，‎ 因为76.476，所以应购进17枝玫瑰花.‎ ‎(19) (Ⅰ) 证明：设， 直三棱柱， ， ，，.‎ 又，，平面.‎ 平面,.‎ ‎ ‎ ‎ (Ⅱ)由 (Ⅰ)知，，，又已知，.‎ 在中，， .‎ ‎ ，.‎ 法一：取的中点，则易证平面，连结，则，‎ 13‎ 已知，平面，，‎ 是二面角平面角.‎ 在中，，.‎ 即二面角的大小为.‎ 法二：以点为坐标原点，为轴，为轴,为轴,建立空间直角坐标系.则.‎ ‎，设平面的法向量为，‎ 则,不妨令,得,故可取.‎ 同理,可求得平面的一个法向量.‎ 设与的夹角为,则 , .‎ 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角的大小为.‎ ‎ (20) 解: (Ⅰ)由对称性可知,为等腰直角三角形,斜边上的高为,斜边长.‎ 点到准线的距离.‎ 由得, ,‎ ‎.‎ 圆的方程为.‎ ‎ (Ⅱ)由对称性,不妨设点在第一象限,由已知得线段是圆的在直径,‎ ‎,,,代入抛物线得.‎ 直线的斜率为.直线的方程为.‎ 13‎ 由 得,.‎ 由得, .故直线与抛物线的切点坐标为,‎ 直线的方程为.‎ 所以坐标原点到，的距离的比值为.‎ ‎(21) 解: (Ⅰ) ,令得,,‎ 再由,令得.‎ 所以的解析式为.‎ ‎,易知是上的增函数,且.‎ 所以 ‎ 所以函数的增区间为,减区间为.‎ ‎(Ⅱ) 若恒成立,‎ 即恒成立，‎ ‎,‎ ‎(1)当时,恒成立, 为上的增函数,且当时, ,不合题意;‎ ‎(2)当时,恒成立, 则,;‎ ‎(3)当时, 为增函数,由得,‎ ‎ 故 当时, 取最小值.‎ 依题意有,‎ 13‎ 即,‎ ‎,,‎ 令,则,‎ ‎,‎ 所以当时, 取最大值.‎ 故当时, 取最大值.‎ 综上, 若，则 的最大值为.‎ ‎(22) 证明：(Ⅰ) ∵，分别为边，的中点，‎ ‎∴.‎ ‎,,且 ，‎ 又∵为的中点，且 ，.‎ ‎，..‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，， ‎ ‎.‎ ‎(23) 解：(Ⅰ)依题意，点，，，的极坐标分别为.‎ 所以点，，，的直角坐标分别为、、、；‎ ‎(Ⅱ) 设，则 ‎ ‎.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎(24) 解：(Ⅰ) 当时，不等式 ‎ ‎ 或或 或.‎ 13‎ 所以当时，不等式的解集为或.‎ ‎(Ⅱ) 的解集包含，‎ 即对恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 所以，即.‎ 所以的取值范围为.‎ 13‎